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Transkript Kapitel 3 Aufgabe 1: Vektorraum der Polynome

Hallo ich bin Sergej, in diesem Video gehen wir der Frage nach, warum die Menge der Polynome ein Vektorraum ist. Wir beweisen sogar diese Aussage, dass die Menge ein Vektorraum ist. Was sind denn Polynome? Ich erinnere euch daran sicherheitshalber.  Man fixiert eine normal Unbekannte, typischerweise x, und bündelt ganzzahlige Potenzen davon. Also x, x2, x3, usw. Dann multipliziert man diese Potenzen mit reellen Zahlen, Sage ich mal 5x, 2x2 und 10x3. Dann bildet man Summen oder Differenzen von solchen Ausdrücken. -5x+2x2-10x3. Eventuell addiert man noch eine reelle Zahl hinzu, meinetwegen 3. Die formalen Ausdrücke solcher Bauart nennt man Polynome. Zum Beispiel 10+x2, das ist auch ein Polynom. Oder auch x1-2x15, das ist auch ein Polynom. Nun kommt die folgende Terminologie hinzu: Die höchste auftretende Potenz in einem gegebenen Polynom heißt der Grad von diesem Polynom. Der Grad vom 1. Polynom ist 3, hier x3 ist die höchste Potenz. Der Grad vom 2. Polynom ist 2. Der Grad vom 3. Polynom ist 15 in diesem Beispiel. Gut, das sind Polynome. Nun passiert Folgendes, wir fixieren eine natürliche Zahl N, und werfen alle Polynome vom höchsten Grad N in einen Topf. Ja diesen Topf bezeichnen wir mit Rn[x], oder R≤n[x]. Das sind die Polynome, die wir erst mal in einer Menge zusammenfassen. Die Polynome kann man auch oft als Funktionen auffassen. Polynom ist eine Abbildung von R nach R. Deren Zuordnungsvorschrift durch diese polynomiale Formel gegeben ist. Manchmal unterscheidet man fein zwischen dem Polynom als solchem formalem Ausdruck und der polynomialen Funktion. Also eine Funktion, deren Zuordnungsvorschrift eine Polynomialfunktion ist. In diesem Video und allen nachfolgenden Videos, die mit Polynomen zu tun haben, wollen wir diese Unterscheidung nicht beachten. Für uns sind Polynome und polynomiale Funktionen dasselbe. Das wird für unsere Zwecke ausreichen. Nun wollen wir aus der Menge der Polynome einen Vektorraum machen. Dazu benötig man erst mal 2 Sachen. Man soll sagen, wie man Elemente der Menge miteinander addiert, dann soll man sagen, wie man Elemente dieser Menge mit Zahlen multipliziert. Da wir Polynome als Funktionen auffassen, als polynomiale Funktionen, kann man die Addition von Polynomen und die Multiplikation, punktweise erklären. Also durch diese Formel hier. Wir nehmen 2 Polynome p und q und wollen die Summe p+q bilden. Da wir Polynome als Funktionen auffassen, als polynomiale Funktionen, kann man die Addition von Polynomen und die Multiplikation, punktweise erklären. So banal ist das. Entsprechend mit einem Produkt. Also (λ×p)(x)=λ×p(x). Diese Formeln sollen für jedes x gelten. Auf diese Weise haben wir dann p+q als Polynom überall erklärt, entsprechend λp überall erklärt. Nun zeigen wir, dass die Menge der Polynome zusammen mit den 2 Operationen hier einen Vektorraum bildet. Alles läuft auf das Folgende aus, wir sollen zeigen, dass die Menge der Polynome in der Addition und der Multiplikation, die wir gerade gezeigt haben, die Vektorraumeigenschaften hat. Das heißt diese 4 Eigenschaften für die Addition und 4 Eigenschaften für die Multiplikation. Vorallem muss man sich klarmachen, wie das neutrale Element und die inversen Elemente bzgl. der Addition in diesem Vektorraum aussehen. Das neutrale Element bzgl. der Addition definieren wir folgendermaßen: Dieses Polynom, das neutrale Element bezeichne ich als e0. Das ist ein Polynom, das überall den Wert 0 hat. Ja besteht aus einem einzigen Koeffizienten, 0. Ja, das ist das neutrale Element. Wenn ich ein beliebiges Polynom p nehme, dann erkläre dazu das inverse Element bzgl. der Addition, -p folgendermaßen. Also -p an jeder Stelle x, ist gleich die Stelle -1 mal den Wert des Polynoms an der Stelle x. Das ist äquivalent dazu, dass ich alle Koeffizienten des Polynoms p, mit dem Vorzeichen -1 nehme, bzw dem umgekehrten Vorzeichen nehme. So sehen die inversen Elemente aus, und wenn wir die Dinge so definiert haben, dann ist es klar. Wenn ich ein beliebiges Polynom nehme, und dazu ein Null Polynom addiere, dann kommt dasselbe Polynom p raus. Entsprechend, wenn ich das Polynom p mit dem inversen Polynom addiere, kommt das Null Polynom raus. Damit der Beweis vollständig ist, müssen wir natürlich alle 8 Eigenschaften nachrechnen. Das werde ich nicht in allen Einzelheiten tun, ich greife exemplarisch die Eigenschaft 7 hier raus, und werde sie dann in allen Einzelheiten nachrechnen. Da gibt es am meisten zu tun, alles andere könnt ihr selbst machen. Das ist total ähnlich und in fast allen Fällen einfacher als Eigenschaft 7. Die 7. Vektorraumeigenschaft habe ich hier oben rot ausgeschrieben. Entsprechend, wenn ich das Polynom p mit dem inversen Polynom addiere, kommt das Null Polynom raus. Die Definition habe ich ebenfalls hier ausgeschrieben. Da ich ständig auf sie zurückgreifen werden, bezeichne ich die Formel mit gesonderten Zeichen. Die Formel für die Addition bezeichne ich mit (+) und die Formel für die Multiplikation mit Zahlen mit (×). Die Strategie ist die Folgende: Wir nehmen einen beliebigen Punkt x. Sei x beliebig und zeigen, dass die obige Formel an der Stelle x gilt. Da die Stelle x beliebig war, und die Formel an der Stelle x gilt, gilt die Formel überall. Somit haben wir die Formel gezeigt. Nun kommen die Einzelheiten, ich schreibe dann die linke Seite der Formel aus, an der Stelle x. (λ×(p+q))(x)=. Nun wollen wir langsam die Klammern auflösen. Dazu benutze ich die Definition der Multiplikation mit Zahlen. Also nach der Definition in der Formel (.) ist dann Wert des Polynoms =&labda;×(p+q)(x). Dann nutze ich die Definition der Summe, also nach der Definition der Summe=&labda;×(p(x)+q(x))=. Das sind reelle Zahlen, udn dafür gilt das Distributivgesetz. Dieses Nutze ich, das ist &labda;×p(x)+&labda;q(x)=. Nun nutze ich wieder (.). Dann kann ich Folgendes schreiben: (&labda;p)(x)+(&labda;q)(x)=. Nun nutze ich die Definition der Summe. Im aktuellen Ausdruck habe ich das (λp+λq)(x). Dann bin ich praktisch fertig. Also ich habe hier angefangen und hier aufgehört. Die stelle x war beliebig. Das heißt die Polynome, die hinten und vorne stehen müssen übereinstimmen. Also darauf folgt: Das Polynom &lambda(p+q)=&labda;p+&labda;q. Im Wesentlichen haben wir das Distributivgesetz für reelle Zahlen genutzt. Der Kern des Beweises. Immer wieder haben wir auf die Definition der Addition und Multiplikation zurückgegriffen. Gut, so beweist man die 7. Vektorraumeigenschaft. Alle übrigen Eigenschaften beweist man ähnlich, was noch einfach ist. Das ist weniger Schreibarbeit. An dieser Stelle haben wir dann in allen Stellen nachgewiesen, mit so erklärten Addition  und Multiplikation mit Zahlen ein Vektorraum ist. Nun kann man verschiedene Fragen aufwerfen zu diesem Vektorraum. 1. Was ist seine Dimension? 2. Wie sehen Basen in diesem Vektorraum aus. Außerdem kann man nach Unterräumen im Vektorraum der Polynome fragen. Zu all den Fragen gibt es Videos auf der Seite. Ich hoffe, ich habe euch neugierig gemacht und an dieser Stelle bedanke ich mich fürs Zuschauen.

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3 Kommentare
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    Hallo Hansdampf2709,
    Du hast recht, da stimmt etwas nicht mit der Lösung. In den Multiple-Choice-Test ist ein Tippfehler eingeschlichen. Die richtige Antwort auf die gestellte Frage ist 12x^3+4x-2. Danke für Deine Aufmerksamkeit.
    Gruß Sergej.

    Von Sergej Schidlowski, vor fast 3 Jahren
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    Die Lösung zu der Aufgabe macht für mich auch überhaupt keinen Sinn, wenn ich -12x^3-4x+2 und 12x^3+2x-4 addiere kommt für mich leider einfach -2x-2 raus.. Das wird nicht die nullfunktion egal wie oft ich das noch ausrechne.

    Von Hansdampf2709, vor fast 3 Jahren
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    Die Videos sind echt klasse! Allerdings würde ich mir bei den darauf folgenden Aufgaben wünschen das eine ausführlichere Erklärung zur Lösung bereitstehen würde.

    Von Aniolek, vor etwa 3 Jahren