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Transkript Kap3 Theorie 1: Allgemeine Vektorräume

Hallo, ich bin Sergej. In diesem Video beschäftigen wir uns mit dem Begriff des allgemeinen Vektorraumes. Am Ende des Videos präsentiere ich euch die allgemeine Definition, ich erläutere sie. Davor gibt es aber sehr viel Motivation, wie kommt man denn auf die Idee, sich mit einem allgemeinen Vektorraum zu befassen. Wir schauen uns ein paar Beispiele an, erkennen die gemeinsamen Eigenschaften und daraus kommen wir dann auf die allgemeine Definition. Beginnen möchte ich mit dem Raum R3. Das ist der Prototyp von jedem Vektorraum. Was ist denn der Raum R3, unser dreidimensionaler Raum? Wir können ihn als Menge von Pfeilen auffassen, die aus dem Ursprung ragen. Also irgendwo ist ein Ursprung festgelegt und wir haben da alle möglichen Pfeile in alle möglichen Richtungen. Diese Pfeile können wir addieren. Ich erinnere euch: Die Addition von Vektoren in R3 ist komponentenweise erklärt, hier sind die Formeln. Dann können wir diese Pfeile mit Zahlen multiplizieren. Multiplikation mit Zahlen ist ebenfalls komponentenweise erklärt. Das sind die Formeln, die sind uns wohl bekannt. Welche Anschauung steckt dahinter? Die geometrische Anschauung. Die Vektoren addieren sich nach der sogenannten Parallelogramm-Regel. Wenn ich hier die Vektoren a und b habe, dann konstruiere ich ein Parallelogramm mit den Seiten a und b und die Diagonale dieses Parallelogramms ist gerade der Summenvektor, wie üblich. Dann: Wenn ich einen Vektor c mit einer Zahl multipliziere, wenn die Zahl dann positiv und >1 ist, dann verlängere ich den Vektor, ich dehne einfach nur den Vektor durch Multiplikation. So. Wenn die Zahl α >1 ist, dann habe ich ein solches Bild. Wenn die Zahl α negativ wäre, würde der blaue Pfeil in die entgegengesetzte Richtung schauen. So, das ist der Vektorraum R3 mit 2 grundlegenden Operationen: Addition von Vektoren und Multiplikation von Vektoren mit Zahlen. Jetzt wollen wir uns genauer anschauen, welche Grundeigenschaften diese 2 Operationen haben. Nun, für die Addition von Vektoren und die Multiplikation von Vektoren mit Zahlen, die wir komponentenweise erklärt haben, gelten etliche Eigenschaften, 8 Stück an der Zahl. Die sind hier aufgezählt und sind sehr elementar, sie ergeben sich sofort aus den üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen. Lasst sie uns der Reihenfolge nach besprechen. Die 1. Eigenschaft der Addition besteht darin, dass, wenn ich 3 Vektoren aufeinander addieren möchte, dann ist es ja völlig egal, in welcher Reihenfolge ich die einzelnen Operationen ausführe. Dann die 2. Eigenschaft: Wenn ich 2 Vektoren addieren möchte, dann ist es völlig egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Vektoren in die Operation hereingehen. Ob ich a+b bilde oder b+a, das Ergebnis ist das gleiche. Wenn ich auf einen beliebigen Vektor, den Nullvektor, addiere, dann ändert sich der Vektor nicht. Wenn ich auf einen beliebigen Vektor den entgegengesetzten Vektor addiere, dann kommt da der Nullvektor heraus.

Bei der Multiplikation ist es auch sehr einfach. Wenn ich einen Vektor a mit 2 Zahlen α und β multiplizieren möchte, ist es ja völlig egal, ob ich zuerst die Zahlen untereinander multipliziere αβ, und dann das Ergebnis mit dem Vektor a, oder zuerst den Vektor a mit der Zahl β multipliziere und dann das Ergebnis mit der Zahl α. Das Ergebnis ist das gleiche. Wenn ich einen Vektor mit der Zahl 1 multipliziere, dann bleibt der Vektor unverändert. Außerdem: Wenn ich eine Vektorensumme mit einer Zahl multipliziere, dann darf ich diese Zahl in die Klammer hineinschieben. Entsprechend, wenn ich einen Vektor mit der Summe von 2 Zahlen αβ multipliziere, dann darf ich den Vektor wieder in die Klammer hineinschieben. Das sind ja die üblichen Rechenregeln und sie sind grundlegend für unseren Umgang mit Vektoren und mit Multiplikation mit Zahlen. Eigentlich bestehen alle unsere Manipulationen darin, dass wir immer wieder das hier anwenden. Deswegen haben diese Eigenschaften auch gelehrte Namen bekommen, die dürfen hier auch nicht fehlen. Die 1. Eigenschaft der Vektorenaddition heißt Assoziativität der Addition. Die 2. heißt Kommunativität der Addition. Im Kontext der 3. Eigenschaft heißt der Nullvektor das neutrale Element der Addition, aus offensichtlichen Gründen. Im Kontext der 4. Eigenschaft heißt das Element -a, das inverse Element bezüglich der Addition. Zu Element a gibt es ein inverses Element, sodass die Summe von beiden das neutrale Element ergibt. Die 3. und 4. Eigenschaft bei der Multiplikation heißen Distributivgesetze.

Gut. Das gilt also alles für unsere Pfeile, die wir dann komponentenweise addieren oder komponentenweise multiplizieren. Nun ist es aber so, dass man auch andere Mengen nehmen kann - ich meine, jetzt war die grundlegende Menge die Menge von Pfeilen, man kann aber eine andere Menge nehmen und auf dieser Menge Addition von Elementen erklären und Multiplikation von diesen Elementen mit Zahlen, sodass die Addition und Multiplikation genau dieselben Eigenschaften haben. Ein prominentes Beispiel kommt gleich.

Also statt der Pfeile, die aus dem Ursprung alle in unterschiedliche Richtungen herausragen, betrachten wir jetzt Funktionen von R nach R, die Menge der Abbildungen von R nach R. Diesen Funktionen wollen wir jetzt beibringen, wie sie sich zu addieren haben, und zwar durch die folgende Vorschrift: Wenn ich hier 2 Funktionen habe, f und g von R nach R, dann bilde ich die Summenfunktion folgendermaßen: Also wenn ich die Summenfunktion (f+g) an jeder Stelle x definiert habe, dann habe ich die Funktion ganz definiert. Die Definition mache ich ja sehr naheliegend: Ich sage dann, die Summenfunktion an der Stelle x soll den Wert f(x)+g(x) haben, also die Werte der einzelnen Funktionen an der Stelle x, und zwar für jedes x. So habe ich eine reellwertige Funktion (f+g) erklärt. Wenn ich eine Zahl α habe, dann erkläre ich das Produkt (α×f) ganz entsprechend. Solche Definitionen nennt man auch gerne punktweise. Also ich addiere Funktionen punktweise, ich multipliziere eine Funktion mit einer Zahl ebenfalls punktweise. Gut. Veranschaulichung dazu gibt es ja auf diesem Bild. Wenn die Graphen der Funktionen f und g so aussehen, dann wird die Summe ungefähr so aussehen. Also an jeder einzelnen Stelle addieren sich die Höhen der Funktion f und g und da kommt so eine Summenhöhe. Das ist eine völlig plausible Erklärung. Wir haben wieder eine Menge, wir haben ja gelernt, wie man Elemente dieser Menge addiert miteinander, wir haben gelernt, wie man Elemente dieser Menge mit Zahlen multipliziert. Und nun denken wir kurz darüber nach, welche Eigenschaften haben diese beiden Operationen + und ×. Und siehe da, die Eigenschaften sind dieselben wie im Fall von Pfeilen. Ich habe sie hier noch einmal aufgelistet. Ich habe einfach nur die Vektoren a, b, c mit Pfeilen weggewischt und da einfach nur Funktion f, g und h eingeschrieben. Ansonsten bleibt alles dasselbe. Und jetzt kommt was Wichtiges. Wir haben in diesen 2 Beispielen 2 völlig verschiedene Mengen, völlig verschiedene Objekte - einerseits Pfeile, andererseits Funktionen. Wir haben in beiden Fällen gelernt, wie wir die Dinge mit Zahlen multiplizieren, wie wir die Dinge untereinander addieren. Die formalen Eigenschaften von Addition und Multiplikation sind exakt dieselben. In der linearen Algebra kommt es darauf an, dass man mit Dingen arbeitet, die diese Eigenschaften haben. Es kommt auf die Rechenregeln der Multiplikation und der Addition an. Es kommt nicht so sehr darauf an, mit welchen Objekten wir da arbeiten. Ob es Pfeile sind oder Funktionen, das ist oft nicht so wichtig. Wichtig ist, dass diese Rechenregeln gelten. Und in der Tat: Wenn ihr euch noch einmal die Definition von linearer Unabhängigkeit, von Linearkombinationen, von Unterräumen anschaut, dann werdet ihr feststellen, dass diese Definitionen, diese Begriffe nur von diesen Rechenregeln Gebrauch machen. Dabei kommt es gar nicht darauf an, was da addiert wird, ob das Pfeile sind, ob das Funktionen sind, das ist egal.. Wichtig ist, dass diese formalen Rechenregeln gelten. Das ist der Startpunkt für jede Überlegung in der linearen Algebra, diese Rechenregeln. Deswegen haben die Mathematiker so überlegt: Wenn es nur auf diese Rechenregeln ankommt, dann wollen wir uns nicht so sehr kümmern, was da im Einzelnen addiert wird. Ob das Pfeile sind oder ob das Funktionen sind, das klammern wir erst mal aus. Wir denken einfach nur daran, dass bestimmte Objekte addiert werden und dafür diese Rechenregeln gelten. Und es lohnt sich auch, weil es neben diesen 2 Beispielen, die wir gerade behandelt haben, auch sehr viele andere prominente Beispiele gibt. Also man kann Folgen miteinander addieren, man kann Matrizen miteinander addieren, man kann Operatoren miteinander addieren, Differenzialoperatoren miteinander addieren - es gibt sehr, sehr viele Beispiele dafür. Also man hat eine Menge, 2 Operationen (Addition, Multiplikation mit Zahlen) und es gelten immer diese Eigenschaften. Deswegen kommt man zum Begriff des Vektorraumes. Vektorraum ist eben eine Menge, wobei man Elemente addieren kann und diese Elemente mit Zahlen multiplizieren kann, sodass diese Eigenschaften gelten. Und dann beschäftigt man sich mit Vektorräumen, wenn es einzig und allein auf diese Eigenschaften ankommt. Und so kommen wir jetzt auf die Definition eines allgemeinen Vektorraumes. Nun sind wir reif für die Definition eines abstrakten Vektorraumes. Wir bezeichnen mit dem Buchstaben K entweder die Menge der reellen Zahlen oder die Menge der komplexen Zahlen. Man sagt auch der Zahlenkörper K. Nun sei eine Menge V gegeben, und auf der Menge V sind 2 Operationen definiert, einmal die Addition, d. h. den beliebigen 2 Elementen v und w können wir die Summe zuordnen nach einer bestimmten Regel (also ich habe ja gesehen, was da im Fall von Pfeilen und im Fall von Funktionen gilt, welche Regeln es gibt). Jetzt klammern wir das außen vor. Wir wissen, dass einfach nur die Addition erklärt ist und mehr braucht man hier nicht für diese Funktion, Konkretes braucht man nicht für diese Funktion. Es ist auch Multiplikation gegeben, also jeder Zahl λ und jedem Vektor v wird ein Vektor λv zugeordnet, nach einer gewissen Regel. Die Menge v, zusammen mit diesen 2 Operationen oder Verknüpfungen, heißt Vektorraum über dem Körper K, falls diese Operationen die folgenden 8 Eigenschaften haben. Die sind die alten bekannten, die haben wir schon relativ ausführlich besprochen. Ich kommentiere nur einzelne Elemente davon. Die Elemente von V heißen nach wie vor Vektoren, bloß in der abstrakten Schreibweise schreibt man keine Pfeile mehr oberhalb von den Buchstaben v und w zum Beispiel, weil wir haben ja gesehen, Elemente eines Vektorraumes können auch Funktionen sein, oder auch Matrizen sage ich ruhig, oder Polynome oder was weiß ich, Differenzialoperatoren. Und da macht dieser Pfeil oberhalb von einer Funktion keinen Sinn mehr. Also man verzichtet auf die Pfeilnotation. Gut. Die Eigenschaften heißen wie besprochen, hier sind sie noch einmal: Assoziativität, Kommutativität der Addition, dann existiert ein neutrales Element (habe ich mit e bezeichnet, vorher war das der Nullvektor oder die Nullfunktion). Zu jedem Element v existiert ein Element vDach, sodass die Summe von beiden das neutrale Element ergeben und vDach heißt das inverse Element. Alle anderen Eigenschaften übertragen sich ohne Änderungen. Das ist die allgemeine Definition des Vektorraumes. Unter einem Vektorraum können wir ruhig die Menge der Pfeile verstehen, aber wir sollen wissen, es gibt auch andere Beispiele. Und konkret andere Beispiel behandele ich in weiteren Videos in diesem Themenkreis. Es gibt auch ein weiteres Theorievideo, wo die Begriffe Basisdimension, lineare Höhe, Erzeugungssystem und so weiter, Unterraum, auf die allgemeinen Vektorräume übertragen werden und es gibt natürlich jede Menge Übungsaufgaben zu diesen Themen. Also, wir sehen uns im nächsten Video hoffentlich und ich danke euch für die Aufmerksamkeit.

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Default

    Besser geht nicht! Vielen dank!:-)

    Von Gar Ga Jos, vor 8 Monaten
  2. Default

    Endlich habe ich das Thema mal von Grund auf verstanden. Super weiter so!

    Von Redjack, vor etwa 5 Jahren
  3. Default

    Besser kann es gar nicht mehr machen, sowohl vom Tafelbild, als auch von den Bemerkungen und Erläuterungen her... (So was wünsche ich mir zur algebraischen Topologie)

    Von Lutz Klaczynski, vor mehr als 5 Jahren