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Transkript Kap2 Theorie 3: Unterräume des IR^n und deren Dimension

Hallo, ich bin Sergei, in diesem Video befassen wir uns mit dem Begriff Unterraum, des Raumes Rn und Dimension des Unterraumes. Wir wollen uns erst einmal mit der Definition auseinandersetzten und dann diese Definition veranschaulichen. Wir wollen verstehen, was Unterräume sind und wie sie aussehen. Na gut, dann fangen wir an. Hier ist die Definition. Wir lesen zunächst die Definition. Unter einem Unterraum oder auch Teilraum des Rn versteht man eine Teilmenge, hier ist sie bezeichnet mit dem Buchstaben U. Sie soll zunächst nicht leer sein, eine nichtleere Teilmenge, die bezüglich der Vektorenaddition und Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist. Was bedeutet das? Abgeschlossenheit bezüglich der Addition bedeutet das Folgende. Wenn ich beliebige zwei Vektoren aus dem Unterraum nehme, meinetwegen v und w und die Summe bilde, so muss die Summe im Unterraum enthalten sein, in der Menge U enthalten sein, wenn das ein Unterraum sein soll. Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit Skalaren liest man ähnlich. Nimmt man einen beliebigen Vektor v in der Menge U und eine beliebige reelle Zahl und bildet das Vielfache &Lambda v, so muss dieses Vielfache in der Menge U enthalten sein. Das ist die formale Definition des Unterraums und zugegebenermaßen ist sie trocken. Man sieht nicht wirklich, was darunter gemeint ist. In den nächsten Minuten wollen wir nach und nach verstehen oder auch sehen, wie Unterräume aussehen. Und auf dem Weg dahin, noch eine kurze formale Überlegung. Wir wollen jetzt verstehen, warum jeder Unterraum den Nullvektor enthält. Bei der Frage, wie die Unterräume aussehen, ist es vielleicht hilfreich zu verstehen, dass jeder Unterraum den Nullvektor enthält und das wollen wir jetzt nachprüfen, ausgehend von dieser Definition. Na gut, sei U ein Unterraum. Ich nehme v, einen beliebigen Vektor daraus. Und, ich nehme die reelle Zahl &Lambda =0. 0 ist eine reelle Zahl, ganz wunderbar. Ja und dann nutze ich die zweite Eigenschaft, Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit Skalaren. Und, ich nehme die reelle Zahl &Lambda =0. 0 ist eine reelle Zahl, ganz wunderbar. Wie sieht konkret dieses &Lambda v aus? Wie sieht konkret dieses &Lambda v aus? Wir haben jetzt gezeigt, dass dieses &Lambda v, der Nullvektor im Unterraum U liegt. Also, egal wie U geartet ist, also ganz allgemein, jeder Unterraum U, ohne spezielle Voraussetzungen muss den Nullvektor enthalten. Und das ist eine wertvolle Information. Und daraus entnehmen wir ein lösliches Kriterium. Was haben wir gerade gezeigt? Das formulieren wir als Bemerkung. Bemerkung, 1. Wenn U ein Unterraum ist, dann folgt daraus, dass der Nullvektor dort enthalten ist. Und warum ist das nützlich? Wenn wir zum Beispiel eine Menge sehen, die den Vektor 0 nicht enthält. Also, wenn 0 nicht in einer gewissen Menge V enthalten ist, dann folgt daraus, dass V kein Unterraum ist, also V ist kein Unterraum. Und das ist praktisch bei den Übungsaufgaben. Bevor wir dann diese zwei Eigenschaften prüfen, müssen wir schauen, ob die vorgelegte Menge V oder U den Nullvektor enthält. Wenn sie den Vektor 0 nicht enthält, dann hat sie keine Chance Unterraum zu sein. Gut, das mit dem Nullvektor haben wir jetzt geklärt. Es ist trotzdem ein bisschen rätselhaft geblieben, wie die Unterräume aussehen. Und als Nächstes gebe ich eine komplette, vollständige Auflistung von Unterräumen in der Dimension 2, für Vektorraum Rn, der Dimension 2 und Dimension 3. Es gibt zwei Arten von Unterräumen des R², der Ebene. Entweder sind das die trivialen Unterräume oder die Geraden, die durch den Ursprung gehen. Was ist mit den trivialen Unterräumen gemeint? Also, der Raum R² selbst ist natürlich eine Teilmenge von R² und ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation und bezüglich der Addition. Und das ist sehr einfach einzusehen. Und R² ist ein Unterraum. Die Menge, die einzig und alleine aus dem Nullvektor besteht, ist auch ein Unterraum. Ja, also 0+0=0, ist wieder in diesem Raum enthalten und 0× jede reelle Zahl ist auch 0. Die Definitionseigenschaften des Unterraumes sind trivialerweise erfüllt. Ein bisschen interessanter sind die Geraden durch den Ursprung. Also, wir haben uns überlegt, dass jeder Unterraum auf jeden Fall den Nullvektor enthält und die Gerade, die durch den Ursprung geht, sie enthält auch den Nullvektor, hier ist er. Und, wie werden die Geraden durch den Ursprung analytisch beschrieben? Ja, das ist die Menge der Vektoren mit den Komponenten x1, x2, die eine solche Gleichung erfüllen, eine lineare Gleichung. Wobei die Zahlen a1 und a2 feste, vorgegebene Zahlen sind. Also das Paar von Zahlen a1, a2 beschreibt jeweils eine Gerade durch diese analytische Gleichung. Warum solche Gebilde, warum solche Geraden eben die Definitionseigenschaften des Unterraumes erfüllen, das erkläre ich in einer Übungsaufgabe. An dieser Stelle reicht es als Überblick zu wissen, dass andere Unterräume in R² nicht existieren. Also, das ist die vollständige Liste von Unterräumen in R². Und hier ist die vollständige Auflistung der Unterräume des R³. Da sind die trivialen Unterräume, also der Nullunterraum und der Raum R³ selbst. Da sind Geraden durch den Ursprung, hier die Geraden durch den Ursprung und Ebenen durch den Ursprung, hier das blau Markierte, das ist die Ebene. Und lasst uns noch einmal überlegen, warum die Ebene durch den Ursprung ein Unterraum ist, im Sinne der gegebenen Definition. Abgeschlossenheit bezüglich der Addition ist gegeben, warum? Wenn ich zwei Vektoren habe, die in der Ebenen liegen und sie addiere nach der Parallelogrammregel, dann wird die Summe in der Ebene bleiben. Also, Abgeschlossenheit bezüglich der Vektorenaddition ist gegeben. Nun Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit Skalaren, wenn ich einen Vektor in der Ebene E habe und diesen Vektor mit einem Skalar multipliziere, das heißt, ich verlängere den Vektor, ich dehne den Vektor oder ich stauche den Vektor oder ich klappe den Vektor um in die entgegengesetzte Richtung, egal, was ich mache, von dem oben Aufgezähltem, wird das Ergebnis in der Ebene bleiben. Nun Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit Skalaren, wenn ich einen Vektor in der Ebene E habe und diesen Vektor mit einem Skalar multipliziere, das heißt, ich verlängere den Vektor, ich dehne den Vektor oder ich stauche den Vektor oder ich klappe den Vektor um in die entgegengesetzte Richtung, egal, was ich mache, von dem oben Aufgezähltem, wird das Ergebnis in der Ebene bleiben. Und die gleiche Überlegung kann man mit der Geraden anstellen. Die gleiche Überlegung kann man auch mit den trivialen Unterräumen anstellen. Und ich garantiere Euch, das ist die vollständige Auflistung der Unterräume des R³. Andere Unterräume gibt es nicht. Und das ist sehr befriedigend. Wir haben eine konkrete, anschauliche Vorstellung von Unterräumen. Und vielleicht noch ein Wort, wie man die Unterräume analytisch beschreibt. Um eine Ebene zu beschreiben, nimmt man einen von 0 verschiedenen Vektor a, bestehend aus drei Zeilen, a1, a2, a3. Und die Koordinaten x1, x2, x3, die diese Gleichung erfüllen, die lineare Gleichung, also diese Summe =0. Alle diese Koordinaten beschreiben die Vektoren, die auf der Ebene liegen. Und um eine Gerade durch den Ursprung zu beschreiben, dafür braucht man zwei solche Gleichungen. Also, das sind ja zwei Ebenen, die sich schneiden. Also, zerschneidet man zwei Ebenen, ergibt sich eine Gerade und diese Gerade ist hier gegeben durch diese Menge. Wichtig ist dabei, dass diese Kooeffizientenvektoren, Vektor a, a1, a2, a3, Vektor b, b1, b2, b3, die Komponenten. Wichtig ist, dass diese Koeffizientenvektoren linear unabhängig sind. Sonst kriegt man hier keine Gerade. Gut, so das die Unterräume von R³ und ich hoffe, dass mit dieser Veranschaulichung der rätselhafte Begriff des Unterraumes entzaubert ist. Wir sehen die Unterräume und Unterraum, das ist so ein Versuch, eben Begriff der Geraden durch den Ursprung und der Ebenen durch den Ursprung zu verallgemeinern auf höhere Dimensionen. Übrigens Dimension, das ist unsere nächste Frage. Unter der Dimension eines Unterraumes versteht man maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die in diesem Unterraum enthalten sein können. Das ist ein bisschen abstrakt, aber man muss ja damit leben. Also, lasst uns ein paar Beispiele betrachten. Ich habe hier im dreidimensionalen Raum eine Gerade, die durch den Ursprung geht, wir wissen, das ist ein Unterraum und die Dimension davon ist, wie man intuitiv ja erraten kann, ist 1. Es gibt maximal einen linear unabhängigen Vektor, der in der Geraden enthalten ist. Wenn wir einen Vektor fixieren auf der Geraden, dann ist jeder weitere Vektor, der in der Geraden enthalten ist, linear abhängig vom fixierten Vektor. Das hießt, mehr als einen Vektor, der linear abhängig ist, kriegen wir nicht in der Geraden. Deswegen Dimension der Geraden, als Unterraum ist 1. Nun nehmen wir die Ebene. Und hier ist dasselbe Spiel. Ich nehme einen Vektor, ich fixiere einen Vektor, dann fixiere ich einen zweiten Vektor, sie zeigen in verschiedene Richtungen. Und dann jeder weitere Vektor, der in der Ebene enthalten ist, wird von den zwei fixierten Vektoren linear abhängig sein. Das heißt, höchstens kriege ich zwei Vektoren, linear unabhängig in der Ebene. Deswegen ist die Ebenen als Unterraum, zweidimensional. Also Dimension der Ebene ist 2. Gut und wenn ich allgemein den Raum Rn nehme und nach all dem, was wir über die lineare Unabhängigkeit und Dimension und Unterräume kennen, dann weiß man, dass die Dimension des Raumes Rn=n ist. Man nimmt ja die Standardbasis und die Standardbasis besteht aus n Vektoren. Und die sind linear unabhängig. Wenn man mehr nimmt, plus 1 Vektoren, sind sie automatisch linear abhängig. Also maximal kriegen wir in Rn, n Vektoren linear unabhängig. Die Dimension von Rn ist n. Wir nehmen dann den trivialen Unterraum, bestehend aus dem Nullvektor, da gibt es keine linear unabhängigen Vektoren. Die Dimension von diesem Vektorraum ist 0. Gut, das sind die Unterräume, das ist der Begriff der Dimension. Ich hoffe, das war hilfreich und auf dieser Seite gibt es auch Übungsaufgaben, wo ich mit diesen Sachen dann konkret arbeite und konkret rechne. Ich hoffe, das wird lehrreich für euch sein und vielen Dank für´s zuschauen.

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1 Kommentar
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    Wo finde ich die Übungsaufaben zu deinen Videos?

    Von Flinn, vor mehr als 4 Jahren