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Transkript Kap2 Aufgabe 5: Unterräume des IR^3

Hallo! Ich bin Sergej. In dieser Übungsaufgabe setzen wir uns mit dem Begriff Unterraum auseinander. Übrigens: Unterraum ist dasselbe wie Teilraum. Ab jetzt spreche ich nur noch von Unterräumen. Hier habe ich 4 Teilmengen des R3 an die Tafel gepinselt, U, V, W, T, und wir wollen in den nächsten Minuten jede Menge genau auseinandernehmen und entscheiden, ob es sich dabei um einen Unterraum des R3 handelt und dabei unsere Aussagen mit der exakten Definition des Unterraumes begründen. Bevor wir das aber formal mit der Definition tun, will ich eine kurze Motivation oder Handlungsanweisung geben. Wie kann man einfach durch bloßes Zuschauen entscheiden, ob eine gegebene Teilmenge ein Unterraum ist? Bevor ihr dieses Video weiterschaut, empfehle ich Euch: Guckt Euch zuerst das Theorievideo zu diesem Thema an – Theorie 3: Unterräume und Dimensionen heißt es, glaube ich. Es wird sehr nützlich sein. Gut, dann fangen wir an mit der Motivation oder Handlungsanweisung: Wie kann man einer Menge ansehen, ob es sich da um einen Unterraum handelt? Die Teilmenge ist oft so gegeben: Man hat so einen Vektor mit Komponenten x y z, oder x1 x2 x3 x4 und so weiter, und die Komponenten erfüllen eine gewisse Gleichung. Wenn diese Gleichung so aussieht, dass man da einen linearen Ausdruck in den Variablen hat, und dieser Ausdruck gleich 0 ist, dann ist es ein Unterraum. Alles andere kommt nicht infrage. Was ist ein linearer Ausdruck? Das heißt, wir haben Differenzen oder Summen von Koordinaten, eventuell mit konstanten Vorfaktoren. Hier in der Tat: Also wir haben hier 3x-5z, also Differenz von Koordinaten mit Vorfaktoren. Und y können wir rüber bringen, also aus y auf der einen Seite machen wir –y auf der anderen Seite, und das ist alles gleich 0. Wir haben einen linearen Ausdruck in Koordinaten gleich 0; das ist ein Unterraum, garantiert. Was passiert mit der Menge V? In der Menge V haben wir hier eine 1 ledig stehen. Wir haben dasselbe mit y, x und z, ein linearer Ausdruck, aber es kommt eine 1 hinzu. Wir können 1 auf die eine Seite bringen, y auf die andere. Also hier ist -1, hier ist –y. Wir haben einen linearen Ausdruck, aber ungleich 0, sondern gleich -1, und deswegen ist das hier kein Unterraum. Welche Geometrie steckt dahinter? U beschreibt eine Ebene durch den Ursprung. V beschreibt ebenfalls eine Ebene, aber wegen dieser -1 geht sie nicht durch den Ursprung. Also U ist ein Unterraum – Ebene durch den Ursprung; V ist ja kein Unterraum im Sinne der linearen Algebra, weil diese Ebene, die von V beschrieben ist, nicht durch den Ursprung geht. Dann weiter. Mit der Menge W ist auch alles in Ordnung im Sinne von Teilräumen. Wir haben hier lauter lineare Ausdrücke. Ich werde jetzt nicht z und y auf die andere Seite bringen; das ist klar. Wenn man das tut, dann hat man einen linearen Ausdruck gleich 0. Wir haben hier zwei lineare Ausdrücke, das schadet nicht. Jede Gleichung an sich gibt eine Ebene vor, und wenn man die Gleichungen zusammen betrachtet, dann betrachtet man einfach nur eine Gerade, die der Schnitt dieser Ebenen ist. Also W ist ein Unterraum. Bei T haben wir folgende Gleichung: y2=xz. Man hat hier Quadrat, und man hat hier Produkt von Variablen. Produkte und Quadrate oder irgendwelche Potenzen sind keine linearen Ausdrücke. Also in dieser Gleichung haben wir keinen linearen Ausdruck. Deswegen hat die Menge T überhaupt keine Chance drauf, Unterraum zu sein. Und so kann man bei den meisten Übungsaufgaben optisch sofort beurteilen, ob es sich da um einen Unterraum handelt. U ist ein Unterraum, W ist ein Unterraum, V und T sind keine Unterräume. Nun wollen wir unseren Befund mit der formalen Definition untermauern. Nun kommen wir zu den Einzelheiten. Aus unserer Vorbesprechung erwarten wir, dass die Menge U ein Unterraum ist. Wir haben uns klargemacht: Es handelt sich um eine Ebene, die durch den Ursprung geht. Das ist ein Unterraum. Bloß, das ist ja kein Beweis. Um zu beweisen, dass das ein Unterraum ist, müssen wir die Definitionseigenschaften des Unterraumes nachweisen. Und zur Erinnerung: Hier ist nochmals die Definition des Unterraumes. Eine – sage ich mal – nichtleere Teilmenge S des Rn ist ein Unterraum genau dann, wenn die 2 Eigenschaften erfüllt sind: einmal die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition und Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit Skalaren. Die erste Eigenschaft heißt: Wenn ich 2 beliebige Vektoren in der Menge S habe, dann muss ich nachweisen, dass auch die Summe in der Menge S enthalten ist. Und wenn ich einen Vektor V in der Menge S habe und eine beliebige Zahl Lambda, dann muss ich nachweisen, dass das Produkt λ×V in der Menge S enthalten ist. Wenn ich das getan habe, dann habe ich ja nachgewiesen, dass die Menge S ein Unterraum ist. Und nun wollen wir dieses Programm für die Menge U durchführen. Zuerst ist es klar, dass die Menge U nicht leer ist. Es gibt ja Vektoren, die dort enthalten sind, und wir wollen ja genaue Beispiele dafür geben. Es ist die Menge U nicht leer. Warum? Denn zum Beispiel haben wir Folgendes: Ich habe ja gesagt, das ist eine Ebene durch den Ursprung, also sie enthält den Nullvektor, den Ursprung selbst. In der Tat, wie kann man das formal sehen? Wenn ich da einen Vektor mit den Koordinaten 0 0 0 habe, dann erfüllen die Koordinaten die Definitionsgleichung der Ebene, also 0=3×0-5×0. Und daraus folgt, dass der Vektor mit den Koordinaten 0 0 0 in der Menge U enthalten ist. Aber die Menge U enthält auch viele andere Vektoren, zum Beispiel nehme ich ja den Vektor mit den Koordinaten 1 3 0. Die definierte Gleichung für die Menge U ist auch erfüllt, also 3=3×1-5×0. Die Gleichung geht auf; deswegen ist der Vektor mit den Koordinaten, wie gesagt, 1 3 0 ebenfalls in der Menge U enthalten. Wir können ja sehr viele Beispiele für Vektoren produzieren, die in der Menge U enthalten sind. Die Menge U ist garantiert nicht leer. Nun zeigen wir, dass die Menge U die zwei definierenden Eigenschaften des Unterraumes erfüllt. 1. Die Abgeschlossenheit bezüglich der Vektorenaddition. Wir nehmen dazu 2 beliebige Vektoren aus der Menge U, V1 und V2, und wir sollen jetzt nachweisen, dass auch die Summe von V1 und V2 in dem Raum U bleibt. Gut, das ist die Aufgabe, und ich benenne für die technischen Zwecke die Komponenten der Vektoren V1 mit x1, y1, z1, und entsprechend die Komponenten des Vektors V2. Es ist klar, dass der Summenvektor, um den es hier jetzt geht, der hat dann die Komponenten hat x1+x2, y1+y2 und so weiter. Nun nutze ich unsere Voraussetzung: Die beiden Vektoren sind im Raum U enthalten. Hier ist die Voraussetzung, und was kann man dann über Komponenten des Vektors V1 aussagen? Der Vektor mit diesen Komponenten ist genau dann im Raum U enthalten, wenn die Komponenten diese Gleichung hier erfüllen. Also notieren wir das: y1=3x1-5z1. Dasselbe gilt für die Komponenten des Vektors V2. Wir haben dann die Gleichung y2=3x2-5z2. Ich schlage vor, dass wir die beiden Gleichungen jetzt addieren. Also, Addition der beiden Gleichungen ergibt: Auf der linken Seite haben wir y1+y2, auf der rechten Seite haben wir erst mal 3x1-5z1, das kam von der einen Gleichung; von der anderen Gleichung kam 3x2-5z2. Das ist die Gleichung, und ich schlage vor, dass wir auf der rechten Seite die Variablen umsortieren. Wir haben dann Folgendes: y1+y2, das ist auf der linken Seite. Auf der rechten Seite will ich ja 3 vor die Klammer ziehen. Ich habe dann 3(x1+x2), und -5 will ich auch vor die Klammer ziehen: -5(z1+z2). Das habe ich ja gefolgert aus unserer Voraussetzung, dass die beiden Vektoren in der Menge U enthalten sind. Die letztere Gleichung, die besagt, dass der Vektor mit diesen Koordinaten hier in der Menge U enthalten ist. Also wir haben jetzt gefolgert, dass der Vektor mit den Koordinaten x1+x2, y1+y2, z1+z2 in der Menge U enthalten ist, per Definition der Menge U. Hier ist die Gleichung für den Vektor mit diesen Komponenten; hier ist die Definition der Menge U. Das ist aber der Summenvektor. Das sind die Komponenten des Summenvektors, V1+V2. Auf diese Weise haben wir nachgewiesen, was wir nachweisen wollten. Das war unser Ziel: Zu zeigen V1+V2 ist in der Menge U, und an diesem Ziel sind wir jetzt durch saubere Vorgehensweise, formale Vorgehensweise angekommen. Als Nächstes beweisen wir die Abgeschlossenheit der Menge U bezüglich der Multiplikation mit Skalaren. Dazu nehmen wir einen beliebigen Vektor V aus der Menge U und eine beliebige Zahl Lambda. Wir müssen nachweisen, dass das Produkt λ×V ebenfalls in der Menge U enthalten ist. Es ist klar: Wenn der Vektor V die Komponenten x y z hat, dann hat der Produktvektor λV die Komponenten λx λy λz. Mit diesen Vektoren wollen wir jetzt arbeiten. Wir nutzen wieder die Voraussetzung, dass der Vektor V in der Menge U enthalten ist, und daraus folgt für seine Komponenten, dass sie die definierende Gleichung der Menge U erfüllen. Hier ist sie: y=3x-5z. Dann multipliziere ich diese Gleichung einfach mit der Zahl λ. Das darf man tun, egal ob λ 0 ist oder von 0 verschieden. Das ist die wahre Aussage. Also wenn wir das hier haben, dann folgt daraus, dass λy=3λx-5λz. Ich kann hier bequem klammern. Daraus folgt, dass der Vektor mit den Komponenten λx λy λz die definierende Gleichung der Menge U erfüllt. Also folgt daraus, dass der Vektor λx λy λz in der Menge U liegt, und daraus folgt das Gewünschte. Das hier sind Koordinaten des Produktvektors. Also der Produktvektor λV ist enthalten in der Menge U. Somit haben wir formal nachgewiesen, dass die Menge U ein Unterraum ist. Das sind ja die 2 formalen Eigenschaften aus der Definition des Unterraumes. Nun befassen wir uns mit der Menge V. Zuerst aber erinnern wir uns daran, was wir im Theorievideo zum Thema Unterräume überlegt hatten. Und hier ist die Erinnerung dazu: Wir hatten da 2 Aussagen hergeleitet. 1. Wenn wir eine gewisse Teilmenge S des Rn haben, und wenn wir wissen, dass S ein Unterraum ist, dann folgt daraus zwangsläufig, dass diese Menge S den Nullvektor enthält. Das war die 1. Aussage, und die können wir umdrehen und daraus bekommen wir die 2. Aussage. Wenn wir feststellen, dass eine gewisse Menge S den Nullvektor nicht enthält, dann hat sie keine Chance darauf, Unterraum zu sein. Und diese 2. Aussage wollen wir in Bezug auf die Menge V anwenden. Wir schauen also auf die definierende Gleichung für die Menge V und gucken, ob der Nullvektor diese Gleichung erfüllt. Wir setzen statt x y z die Nullen ein, 0 0 0. Setzen wir in die Gleichung y=0 ist gleich 3×x, = 0, -5×z, = 0 + 1. Und wir sehen, dass die Gleichung offensichtlich nicht aufgeht; auf der linken Seite steh 0, auf rechten steht 1, und das ist alles voneinander verschieden. Also, daraus folgern wir, dass der Vektor mit den Komponenten x y z – jeweils die 0 – nicht zur Menge V gehört. Also der Nullvektor ist nicht enthalten in der Menge V, und nach der 2. Aussage kann die Menge V kein Unterraum sein. V ist kein Unterraum, und das ist unser Ergebnis für die Menge V. Nun kommen wir zur Menge W. Die Menge W wird durch 2 Gleichungen beschrieben. Die eine Gleichung sieht genauso aus, wie vorhin bei der Menge U; die andere Gleichung ist ein bisschen anders, aber sie hat die gleiche Struktur. Das heißt, wenn ich z auf die andere Seite bringe, dann bleibt auf der linken Seite nur die 0 stehen. Das ist die lineare Gleichung, und wir wissen, dass solche Gleichungen Ebenen beschreiben. Wenn man diese 2 Gleichungen zugleich betrachtet, dann ist die Menge W ein Unterraum. Und wie kann man das begründen? Indem man die definierenden Eigenschaften des Unterraumes nachweist, genauso wie wir das bei der Menge U getan haben. 1. muss man zeigen, dass die Menge W bezüglich der Vektorenaddition abgeschlossen ist, und 2. muss man zeigen, dass die Menge W bezüglich der Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist. Und das geht genauso. Man hat allerdings ein bisschen mehr Schreibarbeit, weil wir hier nicht 1, sondern die 2 Gleichungen haben. Diese Schreibarbeit lasse ich aus. Macht das, wer das Bedürfnis danach hat, zu Übungszwecken. Noch ein paar abschließende Bemerkungen zur Menge W: Jede Gleichung für sich alleine charakterisiert eine Ebene durch den Ursprung. Wenn man die 2 Ebenen zugleich betrachtet, dann ergibt das im Durchschnitt eine Gerade, und diese Gerade ist genau die Menge W – eine Gerade durch den Ursprung. Hier auf dem Bild habe ich übersichtlichkeitshalber auf die Koordinatenachsen verzichtet. Man sieht das Wesentliche hier. Also Fazit: Die Menge W ist ein Unterraum des R3. Zu guter Letzt besprechen wir die Menge T. Wir schauen sofort auf die Gleichung, die die Menge T beschreibt, und erkennen dort nichtlineare Elemente: y2, das ist ein nichtlineares Element; xz ist ein Produkt. Also die Gleichung ist nicht linear; deswegen hat die Menge T keine Chance, ein linearer Unterraum zu sein. Wir müssen das aber sauber nachweisen. Die Strategie, die bei der Menge V verwendet wurde – ich erinnere Euch daran: Wir haben ja gezeigt, dass die Menge V den Nullvektor nicht enthält – die Strategie wird hier nicht durchgehen, denn die Menge T enthält den Nullvektor. Das sieht offenbar: Wenn man statt y, x, z die Nullen einsetzt, dann geht die Gleichung auf. Die Menge T enthält den Nullvektor. Also, um nachzuweisen, dass die Menge T kein Unterraum ist, müssen wir die Definition des Unterraumes zu Rate ziehen. Die besteht aus 2 Eigenschaften, und wir müssen dann nachweisen, dass eine dieser beiden Eigenschaften nicht gilt. Die zweite Eigenschaft – Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit Skalaren – die ist im Fall der Menge T erfüllt. Überlegt Euch das als Übungsaufgabe. Also bei der Eigenschaft 2 gibt es keine Probleme. Es bleibt nur noch die Eigenschaft 1: Abgeschlossenheit bezüglich der Vektorenmultiplikation. Unsere Aufgabe ist, zu zeigen, dass es 2 Vektoren V und W gibt in der Menge T, sodass ihre Summe nicht mehr in der Menge T enthalten ist. Also wir haben keine Abgeschlossenheit bezüglich der Addition. Wenn wir solche Vektoren gefunden haben, dann sind wir fertig mit dem Nachweis, dass das hier kein Unterraum ist. Und ich schlage Euch diese 2 Vektoren vor. Lasst uns jetzt davon überzeugen, dass diese 2 Vektoren ein passendes Gegenbeispiel sind. Zuerst machen wir uns klar, dass sie in der Menge T enthalten sind. Ich habe bei dem Vektor V immer die Koordinaten 1 1 1, die setze ich in die definierende Gleichung ein: y=12=x×1×z gleich 1. Diese Gleichung geht wunderbar auf, und daraus folgt, dass der Vektor V mit den Koordinaten 1 1 1 in der Menge T enthalten ist. Genauso wunderbar klappt alles bei dem Vektor W. Hier ist die y-Komponente -1, die setze ich hier in die definierende Gleichung ein, und x- und z-Komponenten sind nach wie vor 1 1. Und auch in diesem Fall geht die definierende Gleichung auf, also auch der Vektor W mit den Koordinaten 1 -1 1, dieser Vektor ist in der Menge T enthalten. Sehr schön. Nun schauen wir uns an, was mit der Summe passiert. Die Summe V+W ist gleich – nun summieren wir komponentenweise – 1+1, macht 2, 1+(-1), macht 0, 1+1, macht 2. Dann setzen wir die Komponenten des Summenvektors in die definierende Gleichung ein: y=0, 02, dann x=2, z=2. 2×2. 2×2 ist bekanntlich 4 und nicht 0, also die definierende Gleichung geht nicht auf. 0 ist ungleich 4, und daraus folgt, dass der Summenvektor nicht in der Menge T enthalten ist. Mit diesem Gegenbeispiel haben wir gezeigt, dass die Menge T nicht abgeschlossen ist bezüglich der Vektorenaddition, und damit ist praktisch alles fertig. Ich fixiere das noch schriftlich. Gezeigt: Es gibt Vektoren V und W in der Menge T, sodass die Summe V+W nicht in der Menge T enthalten ist, sodass die Summe V+W nicht – und das ist jetzt sehr wichtig – nicht in T enthalten ist. Und aufgrund dieser Tatsache dürfen wir folgern: Die definierende Eigenschaft 1 für den Vektorraum ist nicht erfüllt, und insgesamt folgt daraus, dass die Menge T kein Unterraum ist. T ist kein Unterraum. Gut, und das sind die typischen Methoden, wie man mit Unterräumen des Rn arbeitet. Wenn man nachweisen will, dass eine Menge Unterraum ist, dann muss man bitteschön diese 2 Eigenschaften in aller Allgemeinheit nachrechnen. Wenn man nachweisen will, dass eine Menge kein Unterraum ist, dann muss man ein Gegenbeispiel bringen wie zum Beispiel hier, oder – noch einfacher – muss man zeigen, wenn es denn geht, dass der Nullvektor nicht in der Menge enthalten ist. Dann wird daraus folgen, dass das kein Unterraum ist. Gut, ich hoffe das war hilfreich, und ich danke Euch für das Zuschauen.

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1 Kommentar
  1. Default

    Danke! Ich finde die Übungsvideos sehr gut.

    Von Stuschud, vor fast 4 Jahren