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Transkript Kap2 Aufgabe 1: Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme

Hallo, ich bin Sergej und hier ist eine einfache Übungsaufgabe zu den Begriffen "Lineare Unabhängigkeit" und "Erzeugendensystem". Diese Aufgabe ist gut als ein Einstieg in das Thema geeignet. Hier haben wir zwei Vektoren und wir sollen entscheiden, ob sie linear unabhängig sind, ob sie ein Erzeugendensystem des R3 bilden und ob sie eine Basis des R3 bilden. Wir fangen mit der linearen Unabhängigkeit an: Per Definition, die Vektoren v1 und v2 sind linear unabhängig, wenn dieses lineare Gleichungssystem bezüglich λ und μ nur die triviale Lösung hat, das heißt die Lösung λ=0 und μ=0. Ob diese Eigenschaft hier erfüllt ist, wollen wir unmittelbar nachprüfen. Dazu lösen wir einfach nur dieses lineare Gleichungssystem. Wir schreiben alles noch einmal auf: λv1+μv2=0. Und das ist gleichbedeutend mit dem Folgenden: Ich setze nun die Vektoren v1 und v2 ein. Ich schreibe λv1, v1 nach der Aufgabenstellung bei (-2,1,0) +μ war nach der Aufgabenstellung (-3,2,4). Und das alles setze ich gleich dem Nullvektor. Das ist gleichbedeutend zu dem folgenden Gleichungssystem. Das schreibe ich jetzt als 3 Gleichungen auf - komponentenweise. Ich multipliziere alles mit λ. Nicht alles, sondern den 1. Vektor mit λ. Also λ kommt da hier hinein. Ich habe da hier 2λ, λ und 0. Da multipliziere ich μ in den 2. Vektor hinein. Ich bekomme dann -3μ, 2μ und 4μ, und das ist alles =0, gleich dem Nullvektor. Und komponentenweise ergibt das das folgende Gleichungssystem: -2λ-3μ=0. Das war die 1. Komponente. Dann: λ+2μ=0, das war die 2. Komponente. Und die 3. Komponente 0+4μ, also 4μ einfach nur =0. Und die 3. Zeile ist schon sehr vorteilhaft. Wir sehen, dass μ=0 ist, aus der 3. Zeile. Und das setzen wir in die 1. und die 2. Zeile ein, daraus folgt: Die 3. Zeile ist fein - μ=0. Dann setze ich das ein und die 1. Zeile ergibt 2λ=0 und die 2. Zeile ergibt λ=0. Insgesamt haben wir gezeigt, dass dieses Gleichungssystem genau dann erfüllt ist, wenn λ und μ zugleich 0 sind. Und, ja, nach der Definition der linearen Unabhängigkeit sind die beiden Vektoren v1 und v2 linear unabhängig, weil dieses Gleichungssystem nur für λ=0 und μ=0 möglich ist, also für nur die triviale Lösung gegeben ist. Gut! Fazit: Die Vektoren v1 und v2 sind linear unabhängig. Und der rote Rahmen drum herum. Das ist unser erstes Ergebnis. Zur Frage, ob die gegebenen Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, muss man die folgende Tatsache aus der Theorie benutzen. Die habe ich hier in der bunten Box zusammengefasst: Wenn wir allgemein im Raum Rn, im eindimensionalen Raum k-Stück Vektoren haben, von denen bekannt ist, dass sie ein Erzeugendensystem bilden, dann weiß man sofort, dass die Anzahl der Vektoren k ≥ der Dimension des Raumes n ist. Und diese Behauptung kann man umdrehen. Wenn man weiß, dass die Anzahl der Vektoren echt kleiner als die Dimension des Raumes ist, dann haben diese Vektoren keine Chance dazu, ein Erzeugendensystem zu bilden. Gut, und das benutzen wir für unsere Aufgaben. In unserer Aufgabe haben wir 2 Vektoren in R3, also k=2, 2 Stück und Dimension ist 2 < 3, also bilden diese Vektoren kein Erzeugendensystem, des R3. So schnell ging das. Das ist unser Ergebnis. Wir wollen aber dieser Frage noch genauer nachgehen. Also damit ist schon die Frage beantwortet. Wir wollen es aber noch tiefer untersuchen. Unser Ergebnis, gerade jetzt, dass die Vektoren v1 und v2 kein Erzeugendensystem bilden, war so ein bisschen wie aus dem Ärmel geschüttelt, und deswegen schadet es nicht, wenn wir der Frage genauer nachgehen. Und dazu benutzen wir direkt die Definition des Erzeugendensystems. Die Vektoren v1 und v2 wären ein Erzeugendensystem des R3, wenn die lineare Hülle von den beiden =R3 ist. Und wir wollen jetzt die lineare Hülle genau ausrechnen und uns davon überzeugen, dass das hier nicht der Fall ist, also die Gleichung, die ich rot gezeichnet habe, nicht erfüllt ist. Gut, also rechnen wir den Span oder Span oder die lineare Hülle von den beiden Vektoren aus. Wir erinnern uns an die Definition: Lineare Hülle ist die Menge der Vektoren, die sich so beschreiben lassen: αv1+βv2, wobei α und β reelle Zahlen sind, also freilaufende Parameter. Nun setzen wir die Vektoren ein. Ich habe hier α×v1, v1 hat die Komponenten (-1,1,0)+βv2, v2 hat die Komponenten (-3,2,4) und α und β sind freilaufende reelle Zahlen. Dann multiplizieren wir am besten α in den 1. Vektor hinein, bekommen so was. Und β multiplizieren wir in den 2. Vektor hinein - das sieht dann so aus, und wir addieren die beiden Komponenten. Ich bekomme dann -2α-3β, dann α+2β und 4β. So, das ist eine Beschreibung der linearen Hülle, so sieht sie konkret aus. Insbesondere für β=0 haben wir folgende Relation: Ich setze einfach nur β=0 ein in diesen Vektor. Ich habe dann -2α, α und 0. Und das ist ein Element, so wie wir ausgerechnet haben, von der linearen Hülle. Und das gilt für alle Zahlen α. Gut! Also was haben wir ausgerechnet? Ein Vektor mit der 3. Komponente 0 gehört zur linearen Hülle, v1, v2, genau dann, wenn er von der folgenden Struktur ist - -2α und α, wobei α eine beliebige Zahl ist. Insbesondere bedeutet das, wenn ich hier α=1 setze. α=1, die 3. Komponente ist 0. Wenn dieser Vektor hier, den ich angefangen habe zu zeichnen, zur linearen Hülle gehören soll, dann muss hier oben -2 stehen. α=1, oben steht -2α, also muss hier -2 stehen, wenn der Vektor zur linearen Hülle gehören soll. Wenn ich hier was Anderes schreibe als -2, dann ist dieser Vektor raus. Und wenn ich hier 0 schreibe, dann gehört dieser Vektor nicht zur linearen Hülle. Lass uns noch ein paar Vektoren konstruieren, die nicht in der linearen Hülle enthalten sind. Ich nehme dann Vektor (0,1), und wie gesagt, wenn ich hier oben irgendeine Zahl schreibe, die von -2 verschieden ist, dann ist dieser Vektor aus der linearen Hülle raus. Wenn ich hier 3 schreibe, dann ist er auch nicht in der linearen Hülle. Machen wir was Anderes: Ich setze α=0. Wenn der Vektor in der linearen Hülle sein soll, dann muss er oben 0 stehen. -2α, wenn α=0 ist, dann -2α=0. Also wenn ich hier was Anderes schreibe, 1, -1, was auch immer, alles außer 0, dann ist der Vektor raus und so weiter. Also wir sehen, auf diese Weise kann man stapelweise Vektoren produzieren, die nicht in dieser linearen Hülle enthalten sind. Ich höre an dieser Stelle auf. Es ist klar, wie es weitergeht und ich schreibe so ein Fazit: Das Alles ist nicht enthalten in der linearen Hülle von v1 und v2. Das ist wichtig! Wir haben gerade gezeigt, dass es sehr viele Vektoren gibt, zum Beispiel diese 3, aber wir können wirklich unendlich viele konstruieren. Es gibt sehr viele Vektoren, die nicht in diesem Span enthalten sind. Also kann dieser Span nicht den ganzen R3 ausmachen. Der hat Löcher, der hat Lücken. Zum Beispiel diese Vektoren sind dort nicht enthalten. Also daraus folgt: Lineare Hülle v1, v2≠R3, enthält nicht alle Vektoren aus R3. Weil die lineare Hülle von v1 und v2≠R3 ist, sind v1 und v2 kein Erzeugendensystem für R3. Das war noch die ausführliche Begründung für die Tatsache, dass wir hier kein Erzeugendensystem haben und das war auf jeden Fall lehrreich. Nun kommen wir zur Frage, ob die gegebenen 2 Vektoren eine Basis des R3 bilden. Dazu erinnern wir uns an die Definition der Basis: 2 Vektoren, gegebene Familie von Vektoren, bildet eine Basis, wenn es ein Erzeugendensystem ist und die Vektoren linear unabhängig sind. Die Vektoren, die wir hier in der Aufgabe haben, v1 und v2, sind zwar linear unabhängig, aber sie bilden kein Erzeugendensystem. Das haben wir gerade sehr ausführlich diskutiert. Also hier haben wir nachgerechnet, dass die lineare Hülle von den beiden Vektoren nicht gleich R3 ist, also ist es kein Erzeugendensystem und somit ist das keine Basis. Ja, somit haben wir alle Fragen innerhalb dieser Aufgabe vollständig beantwortet. Das war, zugegeben, eine einfache Aufgabe und ich hoffe, das war gut als Einstieg - schwierigere Aufgaben gibt es auf dieser Seite. Vielen Dank fürs Zuschauen!

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3 Kommentare
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    Hallo Idosegev,
    ich wollte möglichst schnell Vektoren konstruieren, die nicht in der linearen Hülle von v1 und v2 enthalten sind (um zu zeigen, dass sie kein Erzeugendensystem von R^3 bilden). Da Null eine bequeme Zahl ist, habe ich beta gleich Null gesetzt, damit weitere Rechnungen möglichst schnell gehen. Alternativ könnte man beta gleich einer beliebigen anderen reellen Zahl setzen (z.B. 1 oder pi hoch 2), um mit einer ähnlichen Argumentation zum Ziel zu kommen. In dieser Situation ist Null bloß die bequemste Zahl, die am schnellsten zum Ziel führt.

    Von Sergej Schidlowski, vor etwa 2 Monaten
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    Sehr gutes Beispiel, ich habe trotzdem nicht verstanden warum du beta gleich 0 eingesetzt hast?
    Danke!

    Von Idosegev De, vor etwa 2 Monaten
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    Danke!! Und wieder habe ich was besser verstanden und Neues gelernt.

    Von Stuschud, vor fast 4 Jahren