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Transkript Kap1 Theorie 2: Berechnung der Zeilenstufenform einer Matrix

Hallo, ich bin Sergej. Im vorangegangenen Video haben wir besprochen, wie die normierte Zeilenstufenform einer Matrix aussieht. Hier ist sie. Das ist wichtig für den Gauß-Algorithmus und für die linearen Gleichungssysteme. Die Tatsache ist, dass sich eine beliebige Matrix durch bestimmte Zeilenmanipulationen auf normierte Zeilenstufenform bringen lässt. In diesem Video besprechen wir, wie das genau geht dem Grundsatz nach, erstens, und zweitens behandeln wir ein einfaches Beispiel zum Einstieg in die Rechentechnik, wie man eine gegebene Matrix in die normierte Zeilenstufenform bringt. Noch einmal: Die normierte Zeilenstufenform weist eine Stufenstruktur auf - hier sind die Stufen. Am Anfang jeder Stufe steht eine 1. Das sind die sogenannten Pivotelemente. Recht von 1 und oberhalb von 1 stehen einfach nur irgendwelche Zahlen. Unterhalb der Stufen stehen lauter Nullen. Na also. Eine jede beliebige vorgegebene Matrix lässt sich auf die normierte Zeilenstufenform bringen durch bestimmte Zeilenmanipulationen und das sind genauer die elementaren Zeilenumformungen, die man durchführen muss, um die normierte Zeilenstufenstruktur zu bekommen. Die gibt es 3 an der Zahl. 1. Wir dürfen 2 Zeilen miteinander vertauschen. 2. Wir dürfen eine Zeile mit einer von 0 verschiedenen Zahl multiplizieren. 3. Wir dürfen ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Teile addieren oder ein Vielfaches einer Zeile von einer anderen Zeile abziehen. Ja, das sind die 3 elementaren Zeilenumformungen, und wie das im Einzelnen funktioniert, lasst uns das an einem Beispiel anschauen. Angenommen, wir haben eine Matrix, deren erste 2 Spalten so aussehen, ja? Und wir wollen sie auf die normierte Zeilenstufenform bringen, indem wir die elementaren Zeilenumformungen verwenden. Gut. Also wir wissen, dass in der normierten Zeilenstufenform die erste Spalte fängt oben mit einer 1 an, ja, und hier müssen wir die 1 erzeugen. Hier steht aber eine 0 oben, ja, und wir dürfen beispielsweise mit verschiedenen Zeilen multiplizieren, mit einer von 0 verschiedenen Zeile multiplizieren. Aber egal wie oft wir 0 mit einer Zahl multiplizieren, es bleibt auch 0. Das wird nichts nutzen. Und deswegen in diesem Fall ist sinnvoll beispielsweise die erste und die zweite Zeile miteinander zu vertauschen. Gut. Und bei den Rechnungen mit der normierten Zeilenstufenform notiert man diesen Schritt traditionellerweise so, ja? Die erste und die zweite Zeile bezeichne ich mit römischen Zahlen, und dass die Zeilen vertauscht werden sollen, das notiere ich so mit dem Doppelpfeil. Gut. Also tun wir das. Ich vertausche die erste und die zweite Zeile miteinander. 2; 1 wandern nach oben, 2; 1. 0; -1 wandern in die zweite Zeile. So, das war die Zeilenvertauschung. Gut. Wir sind schon eine 0 los hier oben. In der normierten Zeilenstufenform muss hier oben aber eine 1 stehen, und hier ist es sinnvoll, die erste Zeile mit einer geeignete Zahl zu multiplizieren. Damit aus 2 1 wird, müssen wir 2 mit 1/2 multiplizieren, ja? Und das notieren wir folgendermaßen. Ich sage jetzt, ich multipliziere die erste Zeile mit dem Faktor 1/2. Gut. 2×1/2=1, wie gewünscht. 1×1/2=1/2. Sehr schön. Wir haben schon oben 1, das ist unser Pivotelement, und das wollten wir so. Sehr gut. Unterhalb von Pivotelementen müssen unbedingt die Nullen stehen, ja? In der zweiten Zeile haben wir schon eine 0, das ist gut so, in der dritten und in der vierten Zeile haben wir -2 und 3. Diese Zahlen sind von 0 verschieden, wir sollen sie zu 0 machen. Und hier greifen wir zu der 3. elementaren Zeilenumformung: Wir dürfen nämlich ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren. Und hier die Strategie ist zu der, also hier in der dritten Zeile haben wir -2, ja? Wenn ich 1 mit 2 multipliziere und zur dritten Zeile addiere, so wird hier 0 stehen. Also lasst uns das durchführen. Und dass ich dazu zu der dritten Zeile das Zweifache der ersten Zeile addiere, das notiere ich so. Römisch III, das ist die dritte Zeile, und dazu addiere ich das Zweifache der ersten Zeile. Gut. Das Zweifache der ersten Zeile ist 2×1=2, 2×1/2=1. Gut. Und das Zweifache der ersten Zeile steht hier oben, ja? Gut. Dann zur dritten Zeile addiere ich diese roten Zahlen hier oben, also -2+2=0, -2+2=0, und 0+1=1. Auf diese Weise haben wir in der dritten Zeile eine 0 erzeugt, ja, an der gewünschten Stelle. Analog geht es in der vierten Zeile weiter. Hier steht ganz unten eine 3. Wie werden wir diese 3 los? Wir multiplizieren die erste Zeile mit 3 und subtrahieren das Dreifache der ersten Zeile von der vierten Zeile, und dadurch erzeugen wir auch eine 0. Man notiert das üblicherweise so: Von der vierten Zeile IV subtrahiere ich das Dreifache der ersten Zeile. Lass uns das durchführen. Das Dreifache der ersten Zeile ist 3×1=3, 3×1/2 ist 2/2, und das machen wir mit allen anderen Zeilen, die folgen. Gut. Nun von der vierten Zeile subtrahieren wir das Dreifache der ersten Zeile. 3-3=0, 2-3/2=1/2. So. Durch diese elementaren Zeilenmanipulationen haben wir erzeugt, dass oben eine 1 steht, das Pivotelement, und unterhalb von 1 Nullen stehen. Und es ist völlig klar, dass das man mit jeder weiteren Zeile so anstellen kann. Als nächstes multiplizieren wir die zweite Zeile mit -1 und erzeugen hier eine 1, dass ist das Pivotelement, und dann erzeugen wir in der dritten und vierten Zeile die Nullen durch entsprechende Manipulationen, ja? Es ist klar, wie das weitergeht. Ich fasse noch einmal zusammen: Also jede Matrix lässt sich auf die normierte Zeilenstufenform bringen, indem wir die elementaren Zeilenumformungen verwenden. Das ist das Vertauschen von 2 Zeilen, erstens. Zweitens eine Zeile mit einer von 0 verschiedenen Zahl multiplizieren. Und drittens ein Vielfaches einer Zeile entweder von einer Zeile subtrahieren, abziehen, oder zu einer anderen Zeile addieren. Als Beispiel bringen wir diese Matrix hier auf die normierte Zeilenstufenform. Gut, lasst uns anfangen. Also wir sehen hier oben links in der Ecke steht eine 0, ja, und das ist nicht im Sinne der normierten Zeilenstufenform, hier muss eine 1 stehen. Oder die ganze Spalte ausnullen, ja? Die Spalte ausnullen geht nicht, wir haben hier von 0 verschiedene Zahlen, also hier oben links muss eine 1 stehen. Aus 0 werden wir nie eine 1 machen durch Multiplikation, also müssen wir die 0 nach unten vertauschen. Und es bietet sich beispielsweise die Vertauschung der ersten und zweiten Zeile an. Also das tun wir in der ersten Umformung. Gut, die zweite Zeile lautet 2; 7; 1; 2 - 2; 7; 1; 2 - und sie wandert nach oben. Die erste Zeile wandert an die Stelle der zweiten Zeile. 0; 11; 1; 0. 0; 11; 1; 0. Und die dritte Zeile bleibt erst mal stehen, -4; 0; 8; -6. Also das Pivotelement ist schon da, das ist eine 2, noch nicht normiert. Wir müssen erreichen, dass unterhalb vom Pivotelement lauter Nullen stehen, und hier bietet sich das Folgende an. Hier ganz unten steht -4, hier ganz oben steht 2. Wenn ich 2 mit 2 multipliziere, habe ich 4, wenn ich 4 zu -4 addiere, habe ich 0. Und das ist die nächste Umformung. In der nächsten Umformung will ich auf die dritte Zeile, wo -4 steht, das Zweifache der ersten Zeile addieren. Dann erreiche ich dadurch, dass hier statt -4 eine 0 steht. Also ich multipliziere die erste Zeile mit 2, ja, und bekommen Folgendes: 2×2=4, 2×7=14, 2×1=2 und 2×2=4. Gut. Nun will ich die roten Zahlen auf die dritte Zeile addieren. Also ich bekomme: 4+(-4)=0 wie gewünscht, 14+8=22, 2+0=2, 4+(-6)=-2. Und alle anderen Zahlen bleiben in diesem Umformungsschritt stehen. 2; 7; 1; 2; 0; 11; 1; 0. Nun wollen wir die erste Spalte auch normieren. In der normierten Zeilenstufenform muss an der Stelle des Pivotelements die 1 stehen. Gut, momentan steht hier 2. Um aus 2 1 zu machen, müssen wir alles mit 1/2 multiplizieren, und das ist der nächste Umformungsschritt. Ich multipliziere die erste Zeile mit dem Faktor 1/2 und bekomme dann Folgendes: 2×1/2=1 wie gewünscht, 7×1/2=7/2, dann 1×1/2=1/2, 2×1/2=1. Die zweite Zeile bleibt so stehen, 0; 11; 1; 0 und die dritte Zeile bleibt erst mal so stehen, 0; 22; 2; -2. Gut. Also das erste Pivotelement ist fertig, das ist wichtig, die Pivot-Eins, das wollten wir so. Unterhalb der Pivot-Eins stehen die Nullen. Perfekt. Nun befassen wir uns mit dem zweiten Spaltenblock. Als nächstes, ja, als nächstes haben wir 11, das ist eine von 0 verschiedene Zahl, das ist ein Pivotelement. Wir machen später draus eine 1. Jetzt wollen wir unterhalb des Pivotelements, ja, in der zweiten Spalte, Nullen erzeugen, ja? Es ist naheliegend, wie das geht. Wir haben ganz unten 22, oberhalb davon haben wir 11, ja? Und damit wir eine 0 hier bekommen, ziehen wir das Zweifache der zweiten Zeile von der dritten Zeile ab, ja, und dadurch erreichen wir, dass hier 0 steht. So. Also die Ansage ist: von der dritten Zeile das Zweifache der zweiten Zeile subtrahieren. Dann lasst uns das machen. 2× die zweite Zeile macht 0, oder hier hab ich ja gar keinen Platz, Moment. Ich schreibe das lieber unten. 2×0=0, hier ist die zweite Zeile, 2×0=0, 2×11=22, 2×1=2, 2×0=0. So. Nun wollen wir die Dinge subtrahieren. Also von der dritten Zeile ziehe ich das Zweifache der zweiten Zeile ab. 0-0=0, 22-22=0, 2-2=0. Wir haben hier erfreuliche Situation überall Nullen. Je mehr Nullen wir haben, desto besser. Dann -2-0=-2. Das war die Umformung, die elementare Umformung, alle anderen Zeilen bleiben so stehen. 1; 7/2; 1/2; 1, dann 0; 11; 1; 0. Sehr gut. Dann wir haben eigentlich schon die Stufenform, Zahlenstufenform. Also hier ist die erste Stufe, dann kommt die zweite Stufe und hier ist die dritte Stufe, ja? Es gibt noch ein Manko. Diese Zahlenstufenform ist nicht normiert, ja, also hier am Anfang der Stufen stehen Zahlen, die von 0 verschieden sind, das ist richtig, aber das sind nicht Einsen. Und im letzten Schritt, damit das die normierte Zahlenstufenform wird, im nächsten Schritt multiplizieren wir die zweite Zeile mit dem Faktor 1/11, ja, und auf diese Weise erzeugen wir hier an dieser Stelle 1. Außerdem wir multiplizieren die dritte Zeile mit dem Faktor 1/2, ja, offenbar, um hier an dieser Stelle 1 zu erzeugen. Ja, das sind hier die letzten zwei elementaren Zeilenumformungen. So, das brauche ich nicht mehr. Und letzten Endes bekommen wir: Die erste Zeile ist in Ordnung, die schreibe ich so ab, 1; 7/2; 1/2; 1. Die zweite Zeile wollte ich mit 1/11 ausmultiplizieren, damit vorne eine 1 steht. Da habe ich 0; 1; 1/1; 0, und die dritte Zeile wollte ich mit -1/2 ausmultiplizieren, da bekomme ich 0; 0; 0 und 1. Gut, und das ist schon die normierte Zeilenstufenform. Noch einmal: Hier sind die Stufen. Die erste Stufe, die zweite Stufe und dann die dritte Stufe, ja, und hier sind dann die Pivot-Einsen, Pivotelemente. 1, 1, 1. Und wir sehen diese Zeilenstufenform besteht aus 3 Spaltenblöcken. Der erste und der letzte Spaltenblock besteht aus jeweils einer Spalte und der mittlere Spaltenblock besteht aus 2 Spalten. Das darf sein. Das ist die normierte Zeilenstufenform der am Anfang gegebenen Matrix. Und auf diese Weise lässt sich jede beliebige Matrix auf die normierte Zeilenstufenform bringen und wenn wir das können, dann sind wir perfekt auf den Algorithmus von Gauß zur Lösung von linearen Gleichungssystemen vorbereitet. Und als nächstes könnt ihr schon das Theorievideo zum Algorithmus von Gauß anschauen oder alternativ, um diese Vorgehensweise zu üben, könnt ihr die Aufgabe 1 aus diesem Themenkreis anschauen. Da bringe ich eine umfangreiche Matrix auf die normierte Zeilenstufenform. Vielen Dank fürs Zuschauen.

Informationen zum Video
4 Kommentare
  1. Default

    Sehr schön erklärt. Großes Lob an den Macher des Videos!

    Von Moritzglkher, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Super

    Von Stefanwfs, vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    super vorgetragen - didaktisch sehr gut

    Von Sperling Ploen, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Erneut eine große Hilfe: sehr verständlich in angemesenem Tempo! Vielen Dank!

    Von Schilli, vor mehr als 4 Jahren