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Transkript Kap1 Aufgabe 6: LGS mit zwei Parametern

Hallo, ich bin Sergej. Herzlich willkommen im Kurs lineare Algebra. Hier wollen wir eine umfassende Aufgabe zum Algorithmus von Gauß behandeln. Wir wollen das Lösungsverhalten von diesem linearen Gleichungssystem in Abhängigkeit von den Parametern p und q untersuchen. Also wir haben drei Variablen x1, x2 und x3 und zwei Parameter p und q. Und wie immer fangen wir an mit der Aufstellung der erweiterten Koeffizientenmatrix des Systems. Und das geht schnell. Wir haben drei Variablen und drei Gleichungen und die erweiterte Koeffizientenmatrix sieht so aus: Ich hab 0, p 1 in der ersten Zeile, dann p q 0 in der zweiten Zeile, p p 2 in der dritten Zeile, Strich und die freien Koeffizienten sind: -q, -1 und -2. Ich sehe hier in den ersten zwei Spalten sehr oft das Parameter p. Und es fällt sofort auf, wenn p=0, dann bestehen die ersten zwei Spalten aus lauter 0en. Und das hat riesigen Einfluss auf den Rang der Koeffizientenmatrix des Systems. Also, wenn p=0 ist, dann sehen wir sofort, der Rang der Koeffizientenmatrix ist =1. Das Element wird dann diese 1 sein, wenn p=0 ist. Und von diesem Standpunkt aus, bietet sich die Fallunterscheidung an, ob p=0 ist oder ob p von 0 verschieden ist. Wir betrachten also zunächst den Fall, wenn p=0 ist. Ich hab in der erweiterten Koeffizientenmatrix, die p Einträge rot markiert. Wir setzten an diese roten Stellen die 0en ein und bekommen eine solche Matrix. Es ist völlig klar, dass diese 1 hier, das allererste Pivotlement ist. Es ist klar, dass wir die Zahlen unterhalb von 1 eliminieren können. Und das tun wir am besten jetzt, um zu sehen, wie es weiter geht. Ja, also wie gesagt. Zuerst sollen wir die normierte Zahlenstufenform ausrechnen, also machen wir das. Dazu sollen wir aus der zweiten Zeile offenbar das q-fache der ersten Zeile abziehen. Und von der dritten Zeile müssen wir offenbar das Zweifache der ersten Zeile abziehen. Und im Ergebnis bekommen wir: 001 -das war die erste Zeilen, dann unterhalb davon sollen 000 stehen - das war unser Ziel . Und jetzt sollen wir aufpassen, was auf der rechten Seite passiert. Die erste Zeile ×-q gibt hier, -q×-q=q2. Ja und wir haben hier q2-1. Dann die erste Zeile ×-2. Hier haben wir 2q-2, also 2q-2. Das ist die Matrix, die wir hier haben und wir bleiben erst mal hier stehen. Wir wollen da nicht weiter die normierte Zahlenstufenform ausrechnen. Hier kann man am besten 2 ausklammern. Ja, ich hab ich nicht 2q-2, sondern 2(q-1). So, wozu ist das gut? Wir sehen hier unten diese Zeile. Hier links stehen lauter 0en und nach dem Strich steht eine Zahl. Ja, wenn die Zahl nach dem Strich von 0 verschieden ist, dann ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Ja, wir haben hier sozusagen einen Widerspruch. Ja, die 0en ergeben eine von 0 verschiedene Zahl. Und daraus ergibt sich, bevor wir überhaupt die normierte Zahlenstufenform berechnet haben, wir merken hier sofort, daraus folgt: wenn q von 1 verschieden ist, dann haben wir hier rechts eine von 0 verschiedene Zahl und dann haben wir keine Lösung. Also im Fall q von 1 verschieden, hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Logischerweise müssen wir jetzt den Fall q=1 betrachten. Und das ist ganz einfach. Wir setzten q=1 ein und es gibt nichts Einfacheres. Ich mach das am besten mit der Wischmethode. Hier q2-1, q1 einsetzen, dann bekommen wir 0. 2(q-1) einsetzten, dann bekommen wir 0. Und da oben haben wir -q, q=1 einsetzen und dann bekommen wir -1. Das war der Fall, wenn q=1 ist. Und die zweite und die dritte Zeile sind nicht informativ. Die erste Zeile sagt einzig und allein, dass die dritte Variable=-1 ist. Also im Fall q=1 hat man folgende Situation: also wir haben da gesehen, wir können das sofort ablesen, bei q=1 ist x3=-1 und x1 und x2 tauchen überhaupt nicht auf. Sie sind völlig egal, also sie dürfen einen beliebigen Wert annehmen. Und deswegen sind x1 und x2 freilaufende Konstanten, die ich auf den Namen α und β taufe. Und in diesem Fall hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, die wir durch das übliche Verfahren aufschreiben. Also wir haben erst mal den Vektor: 0 0 -1 - das können wir hier ablesen, ja? Plus die freilaufende Konstante α, bei Alpha haben wir das 1 0 0 und freilaufende Konstante β und bei β haben wir 0 1 0. Und α und β sind beliebige reelle Zahlen. So, das ist die Situation im Fall p=0. Wenn q von 1 verschieden ist, haben wir keine Lösungen, wenn q=1 ist, dann haben wir unendlich viele Lösungen, die sich so aufschreiben. Im Fall, dass p von 0 verschieden ist, dann sehen wir hier deutlich, dass wir schon links oben in der Ecke ein Pivotelement hinbekommen. Ja, also wir vertauschen die erste und die zweite Zeile ja, und dieses p wird das erste Pivotelement sein, dieses p wird das zweite Pivotelement sein. Und unterhalb von Pivotelementen, können wir diese beiden p's eliminieren. Also tun wir das. Nach elementaren Zeilenumformungen landen wir bei dieser Form der erweiterten Koeffizientenmatrix. Und hier ist wieder die Stelle, wo wir uns überlegen sollen, wie die Stufen laufen. Also, da p von 0 verschieden ist, ja dann sind die ersten zwei Stufen hier, das ist klar. Wie die dritte Stufe verläuft, oder ob sie überhaupt vorhanden ist, das kommt darauf an, was q ist. Wenn q=1 ist, dann sind diese beiden Einträge 1-q und q-1 = 0 und die Stufe verläuft so. Ja und in diesem Fall haben wir offenbar die Ränge zwei, ja die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Koeffizientenmatrix hat jeweils den Rang zwei. Die Lösungen existieren und es gibt unendlich viele davon. Weil das ist ja kleiner als 3, als die Anzahl der Spalten der Koeffizientenmatrix. Also, das ist eine klare Ansage, was zu tun ist, im Fall wenn q=1 ist. Wenn q von 1 verschieden ist, dann haben wir eine Stufe an dieser Stelle. Und das ist ein Pivotelement. Die Ränge sind in diesem Fall jeweils drei und die Lösungen existieren. Und da der Rang der Spalten mit der Koeffizientenmatrix übereinstimmt, dann ist in diesem Fall die Lösung eindeutig bestimmt. Ja und so sehen wir, wo der Hase läuft. Ja, wenn q=1 ist, dann haben wir den einen Fall und es gibt unendlich viele Lösungen und wenn q von 1 verschieden ist, dann haben wir eine eindeutig bestimmte Lösung. Und das ist die Maßgabe für die nächste Fallunterscheidung. Also wir fangen mit einem Fall an, wo es unendlich viele Lösungen gibt. Also wir betrachten mal den Fall q=1. Und schauen wir mal, was passiert. Ich markiere es so: q=1 und setze diese Zahl in die Matrix ein, in die Tabelle. Ich habe: p 0 1, 0 p 1, 0 0 0. Und dann habe ich: -1,-1, 0. Und das ist fast schon die normierte Zeilenstufenform. Wir teilen alles durch p und bekommen dadurch die normierte Zeilenstufenform. Und durch p dürfen wir ja teilen, weil wir uns generell im Fall befinden, wo p von 0 verschieden ist. Also ich teile für die erste Normierung die erste Zeile durch p und die zweite teile ich durch p. Und bekomme dann insgesamt Folgendes: 1 0 1/p Strich -1/p, 0 1 1/p Strich -1/p, 0 0 0. Die dritte Zeile können wir vergessen. Die ist nicht informativ, die besteht aus lauter 0en. Und von dem was wir jetzt hier haben, können wir schon die Lösung aufschreiben. Wir sehen hier die 1en, also offenbar sind x1 und x2 Pivotvariablen und x3 ist ..Paramter. Also organisieren wir das alles in Gleichungsform, so wie es üblich ist x1+1/px3=-1/p, x2+1/px3=-1/p. Und daraus können wir schon die allgemeine Lösung wieder herstellen.  Und sie hat die folgende Gestalt: x1, x2, x3= x3 ist eine nicht-Pivotvarible, deswegen sagen wir x3=α. Und dann welzen wir alles mit x3 auf die rechte Seite. Da habe ich: -1/p-1/pα. Bei x2 habe ich dieselbe Situation. Was kann ich noch tun? Ich kann noch α ausklammern. Ich hab den Vektor ohne den Vorfaktor α, -1/p -1/p 0 + α und dann schreibe ich den Vektor mit dem Vorfaktor α. -1/p -1/p 1. Und α wie gesagt ist der freilaufende Parameter. So im Fall wo p von 0 verschieden ist und q=1 ist, da hat unser Gleichungssystem diese Lösung hier. Nun betrachten wir den Fall wo q von 1 verschieden ist. Dann hat unsere Matrix diesen Stufenverlauf und wie bereits besprochen, es gibt genau eine Lösung für unser Gleichungssystem.  Also wir betrachten jetzt den Fall, den letzten Fall in dieser Fallunterscheidung: q ist von 1 verschieden. Also 1-q ist dann von 0 verschieden. Und wir dürfen durch 1-q teilen und bekommen folgende Matrix. Ich teile die dritte Zeile durch 1-q und daraus ergibt sich das: Also die ersten zwei Zeilen bleiben erhalten 0 p 1 Strich -1 -q. Und dann habe ich 0 0 1 und -1.  So wunderbar. Die erste, als x3 ist schon =-1, das kann ich hier ablesen: x3=-1. Und alles andere kann man berechnen, entweder durch rückwärts einsetzen, oder durch Berechnung der normierten Zeilenstufenformen, wo oberhab der Figur 1en oder 0en stehen. Und ich nehme dann den zweiten Weg. Und man tut ja das Übliche, man manipuliert die Zeilen. Nach diesen elementaren Zahlenumformungen, wo wir auf der linken Seite die Einheitsmatrix bekommen haben, lesen wir wie üblich die Lösung des Gleichungssystems, von der rechten Seite ab. Also daraus folgt, dass die erste Variable x1=(q-1)/p ist, die zweite Variable ist bis auf das Vorzeichen dasselbe: x2=-(q-1)/p

 und die dritte Variable x3=-1. Es bleibt nur noch die Gesamtergebnisse zusammenzufassen. Und das ist die Übersicht unserer Ergebnisse, was wir alles ausgerechnet haben. Hier ist für jeden was dabei. Wir haben eine Situation, wo die Lösungsmenge leer ist, für p=0 und q von 1 verschieden. Wir haben auch eine Situation, wo die Lösungsmenge aus genau einem Vektor besteht, also das System hat genau eine Lösung in diesem Fall. Wir haben die Situation, wo es unendlich viele Lösungen gibt. In einer Situation ist die Lösungsmenge von einem freien Parameter abhängig, in einer anderen Situation ist die Lösungsmenge von zwei freien Parametern abhängig. Und ich meine das war eine sehr gute Wiederholung, Zusammenfassung der Rechentechniken des Algorithmus von Gauß. Ich hoffe, das hat Spaß gemacht. Das war lehrreich und ich danke euch fürs Zuschauen.  

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2 Kommentare
  1. Default

    Hallo danke für die erklärungen. Leider verstehe ich die Frage zum Film nicht. Denn wenn ich das berechne bekomme ich als Lösung: (- 1-1 0) und (-1-1 1) wo liegt mein denkfehler. Vielen Dank.

    Von Dude2, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Perfekte Nachhilfe-alle Fragen geklärt. Danke.

    Von Schilli, vor mehr als 4 Jahren