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Transkript Kap1 Aufgabe 5: LGS mit einem Parameter

Hallo! Ich bin Sergej und das hier ist eine umfassende Aufgabe zum Algorithmus von Gauß. Wir haben hier ein lineares Gleichungssystem bezüglich der Variablen x1 x2 x3, in dem ein Parameter a auftaucht, hier an 3 Stellen. Und wir sollen in Abhängigkeit von Parameter a das Lösungsverhalten des Systems untersuchen. Die Aufgabe ist genauer so unterteilt: Wir sollen in Abhängigkeit von Parameter a 3 Dinge ausrechnen – den Rang der Koeffizientenmatrix des Systems, den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix des Systems, und dann die Lösung des Systems, alles in Abhängigkeit von Parameter a. Los geht's! Nach dem Algorithmus von Gauß sollen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix des Systems aufstellen und ihren Rang analysieren. Also tun wir das. In der ersten Gleichung haben wir bei x1 den Koeffizienten 1, bei x2 haben wir nichts, bei x3 haben wir 2. In der zweiten Gleichung haben wir 0 a 1, in der dritten Gleichung haben wir 1 0 a, und die freien Koeffizienten sind offenbar 0, a-2 und 4. Das wollen wir auf die normierte Zeilenstufenform bringen. Und offenbar sollen wir da unterhalb von dieser 1 oben alles vernichten. Also 0 ist schon gut, und diese 1 sollen wir eliminieren. Und dazu sollen wir offenbar von der dritten Zeile die erste Zeile abziehen, und wir tun das. Also die ersten 2 Zeilen bleiben erhalten: 1 0 2; 0 a 1, Strich, 0 a-2. Und dann: Von 1 ziehe ich ... ich markiere das am besten, hier ist das, was wir abziehen wollen, die erste Zeile. Also von 1 ziehe ich 1 ab; ich bekomme 0. Von 0 ziehe ich 0 ab; ich bekomme 0. Von a ziehe ich 2 ab; ich bekomme a-2, und von 4 ziehe ich 0 ab; ich bekomme 4. Diese Matrix sieht eigentlich schon nach der Stufenform aus. Vorsicht ist jedoch geboten. Wir fragen uns: Wie verlaufen die Stufen? Also, die erste Stufe ist offenbar hier, ja? Dann ist die Frage: Wie läuft die Stufe weiter? Und wenn dieses a gleich 0 ist, dann läuft die Stufe so, ja? Wenn a gleich 0 ist, dann haben wir hier unten -2, und dieses -2 kann ich mit dieser 1 eliminieren. Für a=0 habe ich einen solchen Stufenverlauf, und die Koeffizientenmatrix des Systems hat den Rang 2. Wenn aber a von 0 verschieden ist, dann verlaufen die Stufen anders. Wenn a von 0 verschieden ist, dann haben wir an dieser Stelle ein Pivot-Element. Und jetzt die nächste Frage: Wie läuft die Stufe weiter? Und im Fall, wo a gleich 2 ist, dann haben wir unten a-2=0, und die Stufe läuft weiter so. Der Rang der Matrix ist 2; wir haben hier 2 Pivot-Elemente. Gut, was passiert, wenn a von 2 verschieden ist? Wenn a von 2 verschieden ist, dann haben wir hier eine von 0 verschiedene Zahl hier unten. Ja, und das ist ein Pivot-Element, und die Stufen würden so laufen. Gut, also wir sehen, ausschlaggebende Werte sind 0 und 2 für den Parameter a. Sie beeinflussen den Verlauf der Stufen in der Zeilenstufenform, also den Rang der Matrix. Daraus folgt, dass wir nun eine Fallunterscheidung durchführen sollen. Was passiert, wenn a gleich 0 ist, was passiert, wenn a gleich 2 ist, und was passiert wenn a von 0 und von 2 verschieden ist? Das sind die 3 Fälle, die wir jetzt untersuchen. Als Erstes befassen wir uns mit dem Fall a=0. Wir haben schon die erweiterte Koeffizientenmatrix ein wenig transformiert auf die Form. Nun setzen wir a=0 ein und schauen, was passiert: 1 0 2, 0 0 1, 0 0 -2, Strich, 0 -2 4. Am besten bringen wir diese Matrix hier auf die normierte Zeilenstufenform. Hier ist also die normierte Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix. Hier sind die Stufen; hier sind die Pivot-Elemente, und ich habe vorsorglich oberhalb vom zweiten Pivot-Element alles eliminiert. Hier steht 0. Was sehen wir hier? Offenbar ist der Rang der Koeffizientenmatrix gleich 2. Wir haben hier 2 Pivot-Elemente, und das ist auch der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix. Diese Gleichheit bedeutet, dass Lösungen insistieren. Der Rang =2. Das ist kleiner als die Anzahl der Spalten der Koeffizientenmatrix - wir haben hier 3 Spalten. Das heißt es gibt unendlich viele Lösungen. Und die wollen wir jetzt aufschreiben. Aus dieser Form der Matrix lässt sich folgende Lösung ablesen. Wir sehen: x1=4 und x3=-2. So haben wir die Matrixform dieses Gleichungssystems auf die Gleichungsform umgeschrieben, und die Variable x2 taucht überhaupt nicht auf. Das heißt es ist völlig schnuppe, welchen Wert die Variable hat. Also x2 ist gleich, sage ich mal, Lambda, und Lambda ist ein freilaufender Parameter. Und daraus ergibt sich folgende Lösungsstruktur: Der Lösungsvektor x1 x2 x3 hat die Gestalt 4 ? -2, und wir können mal gerne ? noch ausklammern. Wir haben hier einen konstanten Vektor 4 0 -2 plus ? – der Vektor 0 1 0, wobei ? beliebig ist. Also, in diesem Fall hat das System unendlich viele Lösungen die so aussehen, wobei ? eine völlig beliebige reelle Zahl ist. Nun betrachten wir den Fall, wenn a gleich 2 ist. Wir setzen a=2 ein und bekommen die folgende Matrix: 1 0 2, 0 2 1, 0 0 0, Strich, 0 0 4. Wir brauchen diese Matrix nicht normieren; wir sehen schon sofort den Stufenverlauf, und die Stufen verlaufen wie folgt. Offenbar sind die Pivot-Elemente hier: 1, 2 und 4, das sind die Pivot-Elemente. Wir können sie auch normieren, aber das macht jetzt nichts. So, der Rang der Koeffizientenmatrix ist 2 – wir haben hier 2 Pivot-Elemente. Der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist 3. Also die Ränge stimmen nicht überein. Rang(A)=2, das ist ungleich 3, und 3 ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix. Das heißt in diesem Fall ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Das ist das Ergebnis in diesem Fall. Nun der allerletzte Fall, wenn a weder 0 noch 2 ist - einfach nur eine beliebige Zahl bis auf 0 und 2. Was passiert dann mit den Stufen? Die Stufen verlaufen so, weil am Anfang jeder Stufe jeweils eine von 0 verschiedene Zahl steht. Gut, und anhand dieser Form können wir schon die Ränge ablesen. Wir sehen, dass der Rang der Koeffizientenmatrix gleich 3 ist – wir haben hier 3 Pivot-Elemente – und dasselbe gilt auch für die erweiterte Koeffizientenmatrix. Die Ränge sind jeweils 3. Also wir haben: Rang(A)=3, das ist der Rang(A?B). Das heißt es gibt Lösungen. Außerdem ist die Anzahl der Spalten der Matrix A auch gleich 3. Das heißt nach dem Rangkriterium aus dem Algorithmus von Gauß gibt es in diesem Fall genau eine Lösung und die wollen wir ausrechnen. Man könnte jetzt diese Stufenform normieren und dann oberhalb vom dritten Pivot-Element die Zahlen 1 und 2 eliminieren, durch elementare Zeilenmanipulationen. Das ist hier ein bisschen anstrengend, weil wenn ich hier normiere, dann teile ich einmal durch a und ich teile durch a-2. Also ich bekomme hier Brüche, ich muss hier Bruchrechnung machen, und das ist ein bisschen umständlich. Deshalb löse ich dieses Gleichungssystem durch Rückwärts-Einsetzen. Und das geht so: Zuerst schreibe ich das Gleichungssystem ab. Ich habe hier x1+2x3=0. Das ist die Gleichung wie gehabt. Dann habe ich ax2+x3=a-2, und dann habe ich (a-2)×x3=4. Und x3 kann ich schon berechnen. Ich teile einfach nur alles durch a-2. Das darf ich ja, weil a von 2 verschieden ist; also a-2 ist verschieden von 0. Ich darf teilen und bekomme schon die erste Lösung. Was heißt, die erste Lösung?  Also den Wert für die Variable x3. Durch Rückwärts-Einsetzen kann ich dann die Variablen x2 und x1 bestimmen, was ich jetzt sehr schnell mache. Durch diese elementare Rechnung haben wir herausgefunden, dass x1 gleich -8/(a-2) ist. Das fixiere ich: -8/(a-2). Und x2=(a-4)/(a-2). Das ist unsere eindeutig bestimmte Lösung im Fall, wenn a von 0 und 2 verschieden ist. Nun fassen wir das Ganze zusammen. Es kommt darauf an, ob a gleich 0 ist, a gleich 2 ist, oder ob a von 0 und 2 verschieden ist. In diesen 3 Fällen haben wir jeweils ein anderes Lösungsverhalten. Im Fall a=0, und wo die Ränge der Koeffizientenmatrix A und der erweiterten Koeffizientenmatrix A?B  gleich sind, dann gibt es Lösungen. Im Restfall: Also wenn die Ränge gleich sind, dann ist die Lösungsmenge nicht leer. Wenn die Ränge voneinander verschieden sind, dann ist die Lösungsmenge leer. Wenn die Ränge kleiner der Anzahl der Spalten sind, dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Hier haben wir den Parameter Lambda; er ist der freilaufende Parameter. Wenn die Ränge gleich der Anzahl der Spalten der Matrix A sind, der Koeffizientenmatrix des Systems, dann haben wir eine eindeutig bestimmte Lösung, also die Lösungsmenge besteht aus einem einzigen Vektor und hier ist er, denn diesen Vektor haben wir gerade ausgerechnet. So verhält sich das Gleichungssystem in Abhängigkeit von Parameter a. Das war's. Es gibt noch eine Aufgabe von diesem Typ auf dieser Seite, Aufgabe 6, da mache ich dasselbe für ein lineares Gleichungssystem mit 2 Parametern. Und das ist eine super Wiederholung für den Algorithmus von Gauß. Ich hoffe, das hat Spaß gemacht, vielen Dank fürs Zuschauen.

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4 Kommentare
  1. Default

    Der perfekte Unterricht. Danke, danke, danke!

    Von Schilli, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    Hallo Simon Usa,
    herzlichen Dank für Dein Feedback zum Video! Nun zu Deiner Frage.
    Du hast geschrieben: x2 = a - 2/a - 1/a x3.
    Das ist nicht richtig.
    Wenn man die ursprüngliche Gleichung ax2+x3=a-2 nach x2 umstellt, so bekommt man x2 = (a-2-x3)/a = 1 - 2/a - x3/a .
    Vergiss nicht, richtig zu klammern!
    Viel Erfolg beim Lernen. Gruß Sergej.

    Von Sergej Schidlowski, vor mehr als 4 Jahren
  3. Who is who 34

    Hallo,
    wenn du die 2. Gleichung nach x2 umstellst, musst du zunächst die gesamte Gleichung mit 1/a multiplizieren. Es folgt also x2 + 1/a*x3 = a-2/a. Anschließend noch 1/a*x3 subtrahieren, dann bist du fertig.
    Du erhälst: x2 = a-2/a - 1/a*x3

    Von Sebastian W., vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    Hallo Sergej,
    als erstes moechte ich dir sagen das ich deine Videos sehr bewundere. Du erklaerst alles so das man es auch versteht. Ausfuehrlich, klar und deutlich mit Zwischenschritten und allem drum und dran! Ein gorsses Lob. Eine Frage habe ich allerdings offen. Wahrscheinlich habe ich hier nur einen Denkfehler. Wie kommst du bei x2 auf a-2/a -1/a x3? Mir wird das -1/a nicht ganz klar. Ich hoffe auf eine baldige Antwort. Vielen Dank und "weiter so"! Danke!

    Von Simon Usa, vor mehr als 4 Jahren