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Transkript Kap1 Aufgabe 1: Berechnung der normierten Zeilenstufenform

Hallo, ich bin Sergej. In diesem Video üben wir die Berechnung der normierten Zeilenstufenform. Hier an der Tafel steht eine umfangreiche Matrix. Die wollen wir mithilfe der elementaren Zeilenumformungen auf die normierte Zeilenstufenform bringen. Das braucht man auf jeden Fall, um die linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus zu lösen. Ein Nebenprodukt dieses Videos ist, dass wir uns auf diese Weise auf die Aufgabe 4 aus diesem Themenkreis vorbereiten. Die Aufgabe 4 hat mit den linearen Gleichungssystemen zu tun, die unendlich viele Lösungen haben. Das sind zugleich auch Vorarbeiten zu diesem Video. Aber unser primäres Ziel ist das Üben mit elementaren Zeilenumformungen. Also lasst uns anfangen. Hier ist die Matrix und wir wollen die normierte Zeilenstufenform. Bei der normierten Zeilenstufenform haben wir tendenziell links oben eine 1. Hier steht eine 0, das ist nicht gut. Deswegen müssen wir diese 0 nach unten vertauschen. Es ist völlig egal, mit welcher Zeile wir die 0 vertauschen. Naheliegend ist die 2. Zeile, wir wollen nicht zu weit gehen. Also in der ersten Umformung vertauschen wir die 1. und die 2. Zeile. Oben steht: 1, 2, 3, 4, 2, 2. In der 2. Zeile steht die ehemalige 1. Zeile. Also das ist: 0, 0, 0, 1, 2, 1. Die 3. und die 4. Zeile bleiben stehen. Das ist: -1, -2, -2, -2, -2, 3. Dann: 1, 2, 2, 4, 6, -1. Das 1. Pivot-Element ist schon da, das ist 1. Unter dem Pivot-Element sollen aber Nullen stehen und hier haben wir nicht alle Nullen, einmal -1 und 1. Um hier eine 0 zu kriegen, addieren wir dazu eine 1, also die 1. Zeile und von der 4. Zeile subtrahieren wir die 1. Zeile, damit hier eine 0 steht. Das ist die nächste Umformung. Zu der 3. Zeile addieren wir die 1. Zeile damit hier 0 wird und von der 4. Zeile subtrahieren wir die 1. Zeile, damit dort 0 wird. Also machen wir das. Die ersten 2 Zeilen bleiben stehen, dort passiert momentan nichts: 1, 2, 3, 4, 2, 2. 0, 0, 0, 1, 2, 1. Dann: Zu der 3. Zeile addiere ich die 1. Zeile und dann bekomme ich Folgendes: 1+(-1)=0. 2+(-2)=0 3+(-2)=1 4+(-2)=2 2+(-2)=0 2+3=5 Dann: Von der 4. Zeile subtrahiere ich die 1. Zeile: 1-1=0 2-2=0 2-3=(-1) 4-4=0 6-2=4 -1-2=(-3) Wir sehen, der 1. Spaltenblock für die normierte Zeilenstufenform ist fertig. Da haben wir das Pivot-Element 1. Hier ist die 1. Stufe und darunter stehen die Nullen. Perfekt, das brauchen wir. Nun beschäftigen wir uns mit den nächsten Blöcken und das ist dieselbe Geschichte. Hier oben steht 0 und unterhalb von 0 stehen Zahlen, die von 0 verschieden sind. Also müssen wir 0 nach unten vertauschen. Wir müssen nicht weit gehen, wir nehmen dann die 3. Zeile und vertauschen sie mit der 2. Zeile. Da haben wir schon das Pivot 1. Los geht's. Wir vertauschen die 2. Zeile mit der 3. Zeile. Dabei bleibt die 1. Zeile unberührt, sie sieht bestens aus: 1, 2, 3, 4, 2, 2. Das ist gut so. Dann vertauschen wir die 3. und die 2. Zeile. Die 3. Zeile war: 0, 0, 1, 2, 0, 5. Und die 2. Zeile war: 0, 0, 0, 1, 2, 1. Und die 4. Zeile bleibt erst einmal stehen. Das ist: 0, 0, -1, 0, 4, -3. Das 2. Pivot-Element steht da, darunter müssen Nullen stehen. In der 3. Zeile ist alles ordentlich, da steht eine 0. In der 4. Zeile haben wir -1. Wir wollen -1 eliminieren und es ist klar, wie das geht: Wir addieren die 2. Zeile auf die 4. Zeile, dann wird hier 0 stehen. Das ist die nächste Umformung. Auf die 4. Zeile wollen wir nun die 2. Zeile addieren, damit wir hier eine 0 haben an der geeigneten Stelle. Zu der 4. Zeile addieren wir die 2. Zeile, los geht's: Die ersten 3 Zeilen bleiben stehen, die übernehme ich einfach so: 1, 2, 3, 4, 2, 2. 0, 0, 1, 2, 0, 5. 0, 0, 0, 1, 2, 1. Und auf die 4. Zeile addiere ich die 2. Und los geht's: 0+0=0 0+0=0 1+(-1)=0 - wie gewünscht. 2+0=2 0+4=4 5-3=2 Was haben wir erreicht? Das ist die 1. Stufe, da ist schon die 2. Stufe da, sehr gut. Nun beschäftigen wir uns mit der 3. Stufe. Das Pivot-Element steht da, sogar schon normiert, das ist 1. Wir sollen unterhalb von dieser 1 eine 0 erzeugen. Es ist völlig klar, wie das geht. Wir haben unterhalb von 1, 2. Wir müssen bei der nächsten Umformung von der 4. Zeile das Zweifache der 3. Zeile subtrahieren. Gut, also tun wir das. Vorbereitend multipliziere ich die 3. Zeile mit dem Faktor 2 und daraus ergibt sich: 0, 0, 0, 2, 4, 2. Von der 4. Zeile subtrahiere ich das Zweifache der 3. Zeile und wir sehen, die Zeilen fallen so aus, dass da in der 4. Zeile lauter Nullen stehen bleiben. Das ist die nächste Umformung, das übernehmen wir so. Die ersten 3 Zeilen bleiben erhalten: 1, 2, 3, 4, 2, 2. 0, 0, 1, 2, 0, 5. 0, 0, 0, 1, 2, 1. Und, wie gesagt: 2-2=0 4-4=0 2-2=0 In der letzten Zeile stehen lauter Nullen. Das ist gut so. Dann wollen wir einmal schauen, was wir da berechnet haben. Die 1. Stufe ist längst fertig, hier ist sie. Dann kommt die 2. Stufe und dann die 3. Stufe. Unterhalb der Stufen haben wir die Nullen. Bestens, das braucht man so für die normierte Zeilenstufenform. Am Anfang jeder Stufe haben wir unsere Pivot-Einsen, die stehen da. Was rechts der Einsen und oberhalb der Einsen steht, ist völlig egal. Da stehen irgendwelche Zahlen, wir kümmern uns nicht darum. Das ist die normierte Zeilenstufenform der anfangs vorgegebenen Matrix. Auf diese Weise haben wir aus der gegebenen Matrix die normierte Zeilenstufenform berechnet und die Aufgabe ist fertig. Es gibt aber auch einen kleinen Zusatz dazu: Um die linearen Gleichungssysteme zu lösen, ist die normierte Zeilenstufenform unerlässlich, aber noch nicht ausreichend. Um das für die linearen Gleichungssysteme zu verwenden, müssen wir noch zusätzlich in der normierten Zeilenstufenform oberhalb der Pivot-Einsen, die Nullen erzeugen. Das geht wiederum mit den elementaren Zeilenumformungen. Also das machen wir jetzt an dieser Matrix. Wir brauchen die Nullen oberhalb vom Pivot-Element 1, oberhalb vom 3. Pivot-Element. Momentan haben wir hier 4 und 2. Wie man daraus Nullen macht, ist naheliegend. Ich habe hier unten 1, hier oben habe ich 4. Damit ich hier oben eine 0 habe, muss ich von der 1. Zeile das Vierfache der 3. Zeile abziehen und das ist das, was ich tue. In der nächsten Umformung von der 1. Zeile, ziehe ich das Vierfache der 3. Zeile ab. Entsprechendes gilt für die 2. Zeile. Hier habe ich 2 oben und 1 habe ich hier unten. Damit diese 2 verschwindet, muss ich von der 2. Zeile das Zweifache der 3. Zeile abziehen. Wir machen das der Reihenfolge nach. Hier ist die relevante Zeile, die 3. Zeile. Zuerst werde ich einmal das Vierfache davon berechnen. Diese Zeile  ×4 macht: 0, 0, 0, 4, 8, 4. Dann ziehe ich diese roten Zahlen von der 1. Zeile ab und bekomme Folgendes: 1-0=1 2-0=2 3-0=3 4-4=0 - wie gewünscht. 2-8=(-6) 2-4=(-2) Mit der 1. Zeile sind wir fertig. Nun interessieren wir uns für die 2. Zeile. Wir haben uns da überlegt, dass wir von der 2. Zeile das Zweifache der 3. Zeile abziehen. Nun berechnen wir das Zweifache der 3. Zeile. Das Zweifache der 3. Zeile ist: 0, 0, 0, 2, 4, 2. Nun ziehen wir von der 2. Zeile die roten Zahlen ab. 0-0=0 0-0=0 1-0=1 Was haben wir dann weiter? 2-2=0 - wie gewünscht. 0-4=(-4) 5-2=3 Und die letzten 2 Zeilen übernehmen wir einfach nur, die sind ganz in Ordnung: 1, 2, 1. 0, 0, 0. Hier ist die Stufenstruktur, hier sind die Pivot-Einsen. Die allererste Pivot-1 steht ganz oben, die ist in Ordnung. Die letzte Pivot-1 steht hier, oberhalb davon stehen Nullen. Das ist sehr gut, das wollten wir so. Oberhalb der 2. Pivot-1, hier, steht die 3. Das ist nicht gut, diese 3 wollen wir noch eliminieren. Wie geht das? Na, wie gewohnt. Wir müssen dann logischerweise von der 1. Zeile das Dreifache der 2. Zeile abziehen und dadurch erzeugen wir hier an der Stelle 3 die gewünschte 0. Also machen wir das. Von der 1. Zeile ziehen wir das Dreifache der 2. Zeile ab. Die üblichen Vorbereitungen, die Stufenstruktur haben wir schon erkannt, die brauchen wir jetzt nicht. Wir arbeiten jetzt mit der 2. Zeile, hier ist die 2. Zeile, und wir interessieren uns für das Dreifache der 2. Zeile. Das ist: 0, 0. 1×3=3 0×3=0 -4×3=(-12) 3×3=9 1-0=1 2-0=2 3-3=0 1, 2, 0. Dann: 0-0=0 -6-(-12)=6, also 12-6=6 -2-9=(-11) Und die letzten 3 Zeilen bleiben so, wie sie stehen. Sie werden übernommen: 0, 0, 1. 0, -4, 3. 0, 0, 0. 1, 2, 1. Und dann lauter Nullen. Was haben wir mit diesen Umformungen erreicht? Das ist nach wie vor die normierte Zeilenstufenform. Die hat aber für die Lösung von linearen Gleichungssystemen Vorteile. Die Vorteile sind, dass oberhalb von Pivot-Elementen überall die Nullen stehen. Das wollten wir erreichen. Mit solchen Matrizen können wir dann besonders bequem die linearen Gleichungssysteme lösen. Als Nächstes könnt ihr dann die Aufgabe 4 aus diesem Themenkreis anschauen, wo es um das Lösen von linearen Gleichungssystemen geht, die unendlich viele Lösungen haben. Da verwende ich diese Matrizen. Vielen Dank fürs Zuschauen, viel Spaß dann.

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1 Kommentar
  1. Default

    Es ist ein weniger verwirrend, wenn du die Matrix nach der elementaren Zeilenumformung immer nur NZSF nennst. Ich habe es so gelernt, dass die Matrix erst NZSF genannt wird, wenn links und oberhalb der Kopfvariabel(Pivo- Element) = 0 ist. Die ZSF erreicht man, wenn links und unter den KV =0 ist

    Von Tolk 77, vor mehr als 2 Jahren