Textversion des Videos

Transkript Gradient und Divergenz in Zylinderkoordinaten

In diesem Beitrag wollen wir über Standardoperatoren der Vektoranalysis in Koordinaten sprechen, die anders als die kartesischen Koordinaten sind. Die Standardoperatoren der Vektoranalysis sind bekanntlich, das sind: Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator. Normalerweise definiert man in einführenden Kursen diese Operatoren in kartesischen Koordinaten. Ich habe hier beispielsweise die Formeln für Gradient und Divergenz in kartesischen Koordinaten hingeschrieben. Man kennt auch die Formel für Rotation und Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten. Nun ist es so, dass es manchmal vorteilhaft ist, mit Koordinatensystemen zu arbeiten, die anders als die kartesischen Koordinaten sind. Also sprich mit Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten. Und dort entsteht oft auch das Problem, dass man für gegebene Funktionen oder Vektorfelder die Gradient, Divergenz, Rotation oder Laplace-Operatoren berechnen soll. Die schlechte Nachricht ist die, dass man die Formeln, die für die kartesischen Koordinaten gelten, nicht einfach übernehmen darf. Ich mache es klar, was ich mit einfach übernehmen meine. Die Leute neigen zu folgender Auffassung: Wenn der Gradient einer Funktion f in den kartesischen Koordinaten nach dieser Formel berechnet werden soll, die partielle Ableitung nach x, die partielle Ableitung nach y und die partielle Ableitung nach z, und alles in einem Vektor zusammengestellt, dann macht man folgenden Fehler: Man sagt, wenn ich eine Funktion u in Kugelkoordinaten habe, r, θ, φ, und den Gradient von einer solchen Funktion berechnen soll, dann rechnet man so: Man leitet die Funktion u nach der 1. Variablen r ab, dann leitet man die Funktion ab nach der Variablen θ, nach der 2. Variablen und dann nach der 3. Variablen φ und stellt diese partiellen Ableitungen in einem Vektor zusammen, und fertig. Das ist so, wie man es unkritisch machen würde. Das ist aber falsch, diese Vorgehensweise ist falsch. Man darf nicht die Formel aus den kartesischen Koordinaten übernehmen, indem man die Buchstaben x, y und z durch r, θ und φ ersetzt. Das ist falsch. Wo ist der rote Stift? Das darf nicht sein. Das Gleiche gilt für die Divergenz. Wenn man die Divergenz berechnet, dann darf man nicht in der Formel die kartesischen Koordinaten x, y, z durch r, θ, φ ersetzen. Das wird dann eine falsche Formel sein. Also, für Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten sind die Formeln anders. Und das ist unser Thema. Wir wollen uns genau anschauen, wie die Formeln für diese Operatoren aussehen in Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten. Da muss ich ein bisschen weiter ausholen. Bevor ich dann die Formel für Gradient und Divergenz in Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten hinschreiben kann, muss ich eine spezifische Basis präsentieren. Wenn ich dann diese spezifische Basis habe, dann bin ich in der Lage, die richtigen Formeln für Gradient und Divergenz anzuschreiben. Das ist unser Vorhaben in diesem Beitrag. Nun will ich alles Schritt für Schritt an die Tafel schreiben. Bisher habe ich ja die ganze Zeit von allen 4 Operatoren der Vektoranalysis gesprochen, von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplac-Operator. Aus Zeitgründen und aus Platzgründen habe ich vor, nur 2 Operatoren zu behandeln. Nämlich Gradienz und Divergenz. Laplace-Operator und Rotation werden analog behandelt und ich mache noch eine Bemerkung hierzu. Gut. Also, ich fange mit den Zylinderkoordinaten an. Die Formeln sind da einfacher und die mache ich dann auch ein bisschen ausführlicher. Ich starte mit der Einführung einer neuen Basis, die dann für Zylinderkoordinaten spezifisch ist. Ich betrachte einen Punkt im dreidimensionalen Raum, Punkt P, und bequemlichkeitshalber nehme ich einen Punkt auf der xy-Ebene, muss aber nicht sein und das ist ein willkürlicher Punkt mit den Zylinderkoordinaten (r,φ,z). Also das fixieren wir: Sei P einfach nur ein Punkt aus dem dreidimensionalen Raum, mit irgendwelchen Zylinderkoordinaten (r,φ,z). Die Zylinderkoordinaten haben wir schon besprochen. Auf dieser Seite gibt es einen Beitrag zu Zylinderkoordinaten, und ich erinnere euch daran, dass man den Punkt P so schreiben kann: rcosφ, rsinφ und z. Diesem Punkt P will ich eine Basis zuordnen. Ich überstürze die Entwicklung. Diesem Punkt will ich erst mal 3 Vektoren zuordnen und als Nächstes wollen wir uns klarmachen, dass es eine Basis des dreidimensionalen Raums ist. Zu ihm betrachten wir folgende 3 Vektoren: Ich schreibe erst mal diese Vektoren an und dann wollen wir sie besprechen. Vektor er wird dadurch definiert, dass er die Koordinaten cosφ, sinφ und 0 hat. Vektor eφ wird definiert durch die Koordinaten -sinφ, cosφ und 0. Der Vektor ez ist definiert wie folgt: Koordinaten (0,0,1). Das sind ja 3 Vektoren und wir wollen sie als 1. veranschaulichen. Zur Veranschaulichung hilft vielleicht, wenn wir uns klarmachen, welche Längen diese Vektoren haben und erst mal rechnerisch klarmachen, in welcher Beziehung diese Vektoren zueinanderstehen. 1. die Längen: Die Längenberechnung ist sehr einfach. Also bei dem Vektor ez sieht man sofort, dass seine Länge 1 ist. Bei den anderen Vektoren r und φ kann man die Länge sehr schnell berechnen. Und das mache ich am Beispiel vom Vektor er. Die Länge von er berechnet man folgendermaßen: Das ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate seiner Komponenten. Also die 1. Komponente ist (cosφ)², die 2. Komponente ist (sinφ)² und die 3. Komponente ist 0². Unter der Wurzel steht (cos)²+(sin)² von φ, und das ist bekanntlich 1. Das ist der trigonometrische Satz von Pythagoras. Also, unter der Wurzel steht 1 und die \sqrt(1)=1. Also der Vektor er hat die Länge 1. Was mit dem Vektor eφ passiert, dass ist auch klar. Also, die Rechnung ist dieselbe, ihr seht es hier, -sinφ, cosφ und 0. Wenn ich die Komponenten quadriere und summiere, dann bekomme ich genau dieselbe Situation. Also alle 3 Vektoren haben die Länge 1, das haben wir festgestellt. In welcher Beziehung stehen die Vektoren zueinander? Diese Frage wollen wir auch klären. Dabei hilft folgende Feststellung. Über Skalarprodukte ist folgende Tatsache bekannt, diese Tatsache sollte bekannt sein: 2 Vektoren stehen senkrecht zueinander genau dann, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist. Ich fixiere diese Aussage noch einmal an der Tafel. 2 Vektoren, a und b, stehen senkrecht aufeinander, zeichnerisch bezeichnet man das so, genau dann, wenn das Skalarprodukt von a+b=0 ist. Nun wenden wir diese Regel, diese Kenntnisse auf die vorhandenen Vektoren er, eφ und ez an. Wir berechnen paarweise die Skalarprodukte von er eφ und ez. Das mache ich wieder nur für 2 Vektoren, für alle anderen gilt es analog. Ich berechne das Skalarprodukt von er und eφ. Ich setze die Komponenten ein, cosφ, sinφ, 0 für er und -sinφ, cosφ und 0 für eφ. Es ist ja bekannt, wie Skalarprodukte berechnet werden. Man multipliziert alles komponentenweise, und die Produkte der Komponenten werden summiert. Das gibt uns das Skalarprodukt. Na also, wir haben (cosφ)×(-sinφ)+(sinφ)×(cos)+(0×0). Ich schreibe es dann derart ausführlich. Und wir sehen, (-cosφ)(sinφ)+(sinφ)(cosφ), diese Terme heben sich gegenseitig auf und das Skalarprodukt von diesen beiden Vektoren ist 0. Aufgrund der Regel, die noch an der Tafel steht, schließen wir, dass die Vektoren er und eφ senkrecht aufeinander stehen. Ich habe jetzt hier die komplizierteste Rechnung gemacht. Dass das Skalarprodukt von er und ez gleich 0 ist, das ist offensichtlich, es gibt sehr viele Nullen hier in den Koordinaten. Und dass das Skalarprodukt von eφ und ez gleich 0 ist, ist ebenfalls offensichtlich. Wir haben uns überlegt, dass alle 3 Vektoren die Länge 1 haben und alle 3 Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Weil sie alle senkrecht aufeinander stehen paarweise, sind sie alle linear unabhängig. Wenn wir im dreidimensionalen Raum 3 linear unabhängige Vektoren haben, dann bilden sie eine Basis. Das ist eine Basis, weil alle Vektoren die Länge 1 haben und alle senkrecht aufeinander stehen, dann ist das nicht irgendeine Basis, sondern eine Orthonormalbasis. Ich erinnere, eine Basis heißt orthonormal, wenn sie aus Vektoren der Länge 1 besteht, die alle senkrecht aufeinander stehen. Nun haben wir das überlegt, das will ich festhalten. Die Tatsache er, φ, ez, diese 3 Vektoren, bilden eine Orthonormalbasis, die Standardabkürzung dafür ist ONB, in den Kursen der linearen Algebra ist das üblich, des dreidimensionalen Raumes. Als Nächstes wollen wir diese Vektoren veranschaulichen. Am besten fängt man beim 3. Vektor ez an, weil die Koordinaten so einfach sind. Die x- und y-Koordinaten sind 0, das heißt, der Vektor ez steht senkrecht auf der xy-Ebene. Das heißt, seine Projektion auf die xy-Ebene ist 0, er steht senkrecht auf dieser Ebene, er hat keine Wahl. Die 3. Komponente ist 1. Die 3. Komponente ist positiv, das heißt, er zeigt nach oben. Wäre die 3. Komponente negativ, dann würde er nach unten zeigen. Und die Länge 1. Hier ist die Veranschaulichung. Das ist der Vektor ez. Er steht senkrecht auf der xy-Ebene, zeigt nach oben. Weil die anderen Vektoren er und eφ senkrecht auf dem Vektor ez stehen, müssen sie garantiert auf der xy-Ebene liegen. Das sieht man auch anders. Man sieht, dass die z-Koordinate dieser beiden Vektoren 0 ist, daraus kann man schon sofort schließen, dass die beiden ersten Vektoren in der xy-Ebene liegen. Vektor er, wie kann man ihn veranschaulichen? Denkt bitte an das Thema Polarkoordinaten. Da hatten wir ein Standardbild, trigonometrischer Einheitskreis. Auf dieser Einheitskreislinie haben wir einen Punkt fixiert. Zu diesem Punkt haben wir den entsprechenden Polarwinkel betrachtet, φ. Man kann dann die Koordinaten von diesem Punkt ausrechnen. Die Koordinaten von diesem Punkt waren |cosφ,sinφ|. Das ist bekannt aus dem Thema Polarkoordinaten. Und man weiß, an dem Punkt lässt sich ein Vektor zuordnen. Man nennt diesen Punkt auch Radiusvektor von diesem Punkt und dieser Vektor wird hier liegen. Er fängt an im Ursprung und hört auf, der Pfeil endet in dem entsprechenden Punkt. Und dieser Vektor hat die Koordinaten |cosφ,sinφ|. Das ist genau das, was wir beim Vektor er haben. Seine xy-Koordinaten sind |cosφ,sinφ| und die 3. Koordinate ist 0, das heißt, er liegt in der xy-Ebene, er wird so aussehen. Und wenn wir diesen Vektor aus dem Punkt, unser Punkt heißt P,  wenn ich diesen Vektor aus dem Punkt P herauszeichne, dann wird er sozusagen nach außen zeigen. Das soll man aber anders ausdrücken. Er wird auf einem Strahl liegen, der durch den Punkt P läuft und seinen Ursprung im Koordinatenanfang hat. Die Vektoren, die auf so einem Strahl liegen, nennt man radiale Vektoren oder man sagt, solche Vektoren zeigen radial nach außen. Gut. Das haben wir uns überlegt. Also, der Vektor er zeigt radial nach außen und damit ist dieser Vektor veranschaulicht. Wir zeichnen besagten Strahl aus dem Koordinatenursprung hier raus, durch den Punkt P und der Vektor er liegt auf diesem Strahl und zeigt radial nach außen. Das haben wir uns überlegt, indem wir die bekannten Tatsachen aus dem Thema Polarkoordinaten benutzt haben. Das ist der Vektor er. Und der Vektor eφ. Was weiß man vom Vektor eφ? Er steht senkrecht auf den beiden Vektoren und das wird dann nicht schwer sein. Es gibt eine einzige Gerade, eine eindeutig bestimmte Gerade, die senkrecht zu den beiden Vektoren ist, und die versuche ich jetzt zu zeichnen. Aus Veranschaulichungsgründen ist es sinnvoll, durch den Punkt P eine Kreislinie laufen zu lassen. Das ist eine Kreislinie in der xy-Ebene. Sie ist nicht unbedingt eine Einheitskreislinie, sie läuft einfach nur durch den Punkt P und hat ihren Mittelpunkt im Ursprung. Und anschaulich ist es klar, dass die Gerade, die senkrecht zu er und ez ist, die Kreislinie berühren wird. Hier ist sie. Sie berührt den Kreis, die Gerade. Und der Vektor eφ liegt dann hier auf dieser Geraden und jetzt sollen wir auch entscheiden, in welche Richtung der Vektor eφ zeigt. Von uns aus gesehen entweder nach links oder nach rechts. Es gibt ja 2 Varianten. Jetzt sollen wir nur noch diese Festlegung machen und dann ist die Basis veranschaulicht. Dann zeichne ich diese Situation noch mal zweidimensional. Hier ist die xy-Ebene, hier ist der besagte Kreis, hier ist der besagte Punkt P, hier ist die Gerade, um die es sich handelt, wo der Vektor eφ liegen soll. Gut. Und wenn der Punkt P im 1. Oktanten liegt, dann ist es ein Polarwinkel φ, ich hoffe, man sieht den Winkel φ, ich zeichne es größer. Dann ist es ein Polarwinkel φ, zwischen 0 und p/2. Wenn der Winkel φ zwischen 0 und p/2 ist, dann ist sinus auf jeden Fall positiv. Sinus ist positiv. Was passiert mit dem Vektor eφ? Die 1. Komponente vom Vektor eφ ist -sinφ. Das heißt, für dieses Bild wird die 1. Koordinate vom Vektor eφ negativ sein. Wenn die 1. Koordinate vom Vektor negativ ist, dann zeigt er gegen die Richtung der x-Achse. Das ist die Feststellung. Ist die 1. Koordinate vom Vektor eφ negativ, dann zeigt er gegen die positive Richtung der x-Achse. Wäre sie positiv, dann würde er in die positive Richtung der x-Achse zeigen. Also, er zeigt so nach oben auf diesem Bild. Und nun übertragen wir diese zweidimensionale Zeichnung auf unsere dreidimensionale Zeichnung und bekommen dann schließlich, dass der Vektor eφ so nach rechts zeigt. Das ist der Vektor eφ. Man muss diese Basis aus dem Punkt P heraus zeichnen. Diese Basis hat noch eine bemerkenswerte Eigenschaft: Die Vektoren er, eφ und ez gehorchen der Rechte-Hand-Regel. Wenn hier der Daumen der 1. Vektor, der Zeigefinger der 2. Vektor und der Mittelfinger der 3. Vektor ist, dann gehorchen die 3 Vektoren der Regel der rechten Hand. Es gilt dann entsprechend den Fingern der rechten Hand und diesen 3 Vektoren. Das ist so sehr einfach ausgedrückt. Mathematisch wissenschaftlich qualifiziert heißt es, dass die 3 Vektoren positiv zueinander orientiert sind. Das ist eine positiv orientierte Basis, darüber hinaus ist es eine Orthonormalbasis. Das heißt, sie hat die besten Eigenschaften, die man überhaupt von einer Basis erwarten kann. Das ist eine Feststellung. Ich habe sehr weit ausgeholt. Das ist eine Feststellung: Zu einem Punkt P in Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten ordnet man eine Basis zu. Die hat wunderbare Eigenschaften, orthonormal, positiv orientiert, man kann sie so veranschaulichen. Sie hat aber eine für den Anfänger schwierige Eigenschaft: sie ist nicht festgelegt. Sie ändert sich, obwohl, festgelegt habe ich jetzt falsch ausgedrückt. Ich meine, sie ändert sich von Punkt zu Punkt. Sie ist nicht einmal für allemal fest. Was meine ich mit einmal für allemal fest? Wir kennen die kanonische Basis, e1, e2, e3, hat solche Koordinaten: |1,0,0|. Dann e2 wird die Koordinaten |0,1,0| haben und e3 wird die Koordinaten |0,0,1| haben. Nicht wird haben, sie hat solche Koordinaten. Das ist die kanonische Basis. Die kann man dann längs der Achsen veranschaulichen, das ist klar. Sie ist festgenagelt. Sie ist einmal für allemal fest. Sie kann man translieren, verschieben, aber die Vektoren zeigen immer in dieselben Richtungen. Das ist die kanonische Basis. Die Basis, die wir gerade eingeführt haben, die den Zylinderkoordinaten zugeordnet ist, sie ändert sich von Punkt zu Punkt. Wenn der Punkt P auf der gezeichneten Kreislinie wandert, dann werden sich die Vektoren er und eφ entsprechend drehen. Also diese Basis ändert sich von Punkt zu Punkt. Nun habe ich alles erzählt, was man von dieser Basis erzählen kann. Jetzt wisst ihr alles und wir können zum nächsten Punkt unseres Programms schreiten. Die Operatoren der Vektoranalysis. Diese Basis braucht man, um die Formeln für Divergenz und Rotation und Gradient hinschreiben zu können. Warum? Es ist vorteilhaft, die Vektorfelder, die in den Zylinderkoordinaten gegeben sind, nach dieser Basis zu entwickeln. Warum das vorteilhaft ist, will ich nicht näher begründen. Es ist symmetrisch bezüglich der z-Achse. Wenn man mit Zylinderkoordinaten arbeitet, dann hat man in der Regel Objekte, Vektorfelder oder Funktionen, die symmetrisch bezüglich der z-Achse sind. Und in diesem Zusammenhang ist diese Basis bequem. Nun habe ich diese Basis. Jetzt will ich endlich formulieren, was es mit Gradient und Divergenz zu tun hat. Das formuliere ich als 1 Satz, wo ich dann die Formeln für Divergenz und Gradient hinschreibe. Ich habe eine Funktion u, sie ist gegeben in Zylinderkoordinaten und man kann den Gradient dieser Funktion berechnen in den Zylinderkoordinaten. Die Formel, nach der man das macht, beinhaltet diese 3 Standardbasisvektoren, die den Zylinderkoordinaten zugeordnet sind. Genau heißt es so: Sei u eine Funktion in Zylinderkoordinaten, wenn sie in Zylinderkoordinaten gegeben ist, das heißt, sie hat r, φ und z als Variable, r ist eine positive Zahl von 0 bis unendlich, φ ist ein Winkel von 0 bis 2pi und z ist eine beliebige reelle Zahl. Um es noch einmal deutlich zu machen: r, φ, z, das Triple, wird zugeordnet auf eine bestimmte Zahl und diese Zahl nennt man u(r,φ,z). Sei u eine reellwertige Funktion, das Wort reellwertig lasse ich weg. Auch wenn ich Funktion sage, ist gemeint, dass sie eine skalare Größe ist. Eine Funktion in Zylinderkoordinaten, dann berechnet man u nach den Gradienten der folgenden Formel, dann gilt: Gradient von u = (Du/Dr), dann kommt der Vektor er+(1/r)(Du/Dφ)×eφ+(Du/Dz)×ez. Die Vektoren er, eφ und ez stehen noch an der Tafel und ich möchte es deutlicher machen, wobei er ist der Vektor, mit den Koordinaten |cosφ,sinφ,0|, eφ ist der Vektor mit den Koordinaten |-sinφ,cosφ,o| und ez ist der 3. kanonische Vektor 0,0,1. Übrigens: Diese Basis nennt man Zylinderkoordinatenbasis oder die Zylinderbasis. Also, den Gradienten der Funktion u berechnet man nach dieser Formel. Diese Formel gibt die Komponenten des Gradienten bezüglich der Zylinderbasis an. Diese Formel ist ähnlich der Formel für den Gradienten in kartesischen Koordinaten. Es gibt bloß eine Änderung: Es gibt einen Unterschied, die 2. Komponenten des Gradienten hat einen Vorfaktor (1/r). Dieser Vorfaktor ist in kartesischen Koordinaten nicht da. Das ist was Neues in den Zylinderkoordinaten. Man multipliziert 1/r ran. Die Ableitung nach der veränderlichen φ multipliziert man mit dem Faktor (1/r) ran. In kartesischen Koordinaten tut man das nicht. Das ist der Unterschied. Und außerdem hat man die Entwicklung nicht bezüglich der kanonischen Basis, wie in den kartesischen Koordinaten, sondern bezüglich der Zylinderbasis. Das ist der Unterschied. Warum das so ist, kann ich an dieser Stelle nicht erklären, die Herleitung ist kompliziert. Wir wollen an dieser Stelle einfach nur hinnehmen, dass diese Formel gilt. Die ist wirklich anders, als die Formel in kartesischen Koordinaten. Analogien gibt es, aber vollkommen dasselbe ist es nicht. Als Nächstes schreibe ich die Formel für die Divergenz in den Zylinderkoordinaten an. Man weiß ja, dass die Divergenz für Vektorfelder definiert ist. Also, sei V ein Vektorfeld in Zylinderkoordinaten und dann mache ich denselben Anfang. Also, es ist definiert auf der Menge Halbstrahl x Intervall von 0 bis 2pi x reelle Achse und dann, weil es ein Vektorfeld ist, gebildet nach R3. Es ist klar, die Variablen von v sind r, φ und z. Das ist ein Vektorfeld in Zylinderkoordinaten. Ich habe ja angekündigt, dass Vektorfelder in Zylinderkoordinaten nach der Zylinderbasis entwickelt werden. Nun, an dieser Stelle, um die Divergenzformel formulieren zu können für dieses Vektorfeld, muss ich erst mal dieses Vektorfeld nach der Zylinderbasis entwickeln, also mit der folgenden Basisentwicklung: v(r,φ,z)=P(r,φ,z)(er)+Q(r,φ,z)(eφ)+R(r,φ,z)(ez). Also zunächst: V ist irgendein Vektor. Diesen Vektor kann man natürlich bezüglich der gegebenen Basis, der Zylinderbasis, entwickeln und die Komponenten des Vektors bezüglich dieser Basis habe ich mit den Buchstaben P, Q und R bezeichnet. Weil das Vektorfeld V sich von einem Punkt zum anderen Punkt ändert, also unterschiedliche Vektoren unterschiedlichen Punkten zuordnet, dann werden sich auch die entsprechenden Komponenten des Vektorfeldes ändern. Sie sind dann von den Koordinaten r, φ, z abhängig. Und das habe ich explizit hingeschrieben. Wenn man das hat, so berechnet man die Divergenz des Vektorfeldes nach der folgenden Formel. Dann gilt: Die Divergenz des Vektorfeldes V hat die folgende Gestalt: (17r)(D/Dr)(rP)+(1/r)(DQ/Dφ)+(DR/Dz). Wichtig ist hier, dass P, Q, R nicht die Standardkomponenten des Vektorfeldes V sind, nicht die Komponenten nach der kanonischen Basis, sondern nach der Zylinderbasis. Außerdem unterscheiden sich die Formeln von den Formeln für kartesische Koordinaten. Man hat hier Vorfaktoren, (1/r), und bevor man die Komponente P ableitet, muss man sie mit r ausmultiplizieren. Die Formeln sehen tatsächlich anders aus. Gut. Im nächsten Teil präsentiere ich die analoge Basis und die analoge Formel für Kugelkoordinaten. Und dort mache ich das alles ein bisschen kürzer, weil es ja analog ist.

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Blue hills

    ...

    Von H. B., vor mehr als 6 Jahren