Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Gradient in Kugelkoordinaten – Aufgabe

In diesem Beispiel beschäftigen wir uns konkret mit dem Gradienten in Kugelkoordinaten. Hier ist eine konkrete Funktion gegeben, "u-klein" habe ich sie genannt, und sie ist zunächst in den Koordinaten x,y,z vorgegeben. Ich mache hier die Formel noch einmal; hier ist das zentrale Objekt in dieser Aufgabe. Und wir wollen so manches anstellen mit dieser Funktion; erstens, wir berechnen den Gradienten dieser Funktion in kartesischen Koordinaten, wie gewohnt. Das wird dann für die Meisten von Euch hoffentlich nichts Neues. Zweitens stellen wir diese Funktion "u" in Kugelkoordinaten dar. Also wir stellen sie als Funktion von r, θ, φ dar (u(r, θ, φ)) und ich bezeichne die Darstellung von Kugelkoordinaten durch "U-groß". Und als Nächstes berechnen wir den Gradienten von "U-groß" in Kugelkoordinaten.  Zum Schluss vergleichen wir dann Ergebnisse, und noch mal, dieses Beispiel wird so sein, dass es völlig egal ist, in welchen Koordinaten wir den Koordinaten berechnen. Es kommt dasselbe Ergebnis bei raus. Der Gradient ist koordinatenunabhängig - erstens. Und zweitens, wenn man Gradienten in Kugelkoordinaten berechnet, muss man andere Formeln berechnen, als die, die man bei der Berechnung in kartesischen Koordinaten benutzt. Das ist unser Vorhaben für dieses Beispiel, also fangen wir mit dem 1. Teil an; wir berechnen Gradienten von u in kartesischen Koordinaten. Die Formel für den Gradienten ist "grad u". Der Gradient einer Funktion in kartesischen Koordinaten ist ein Vektor, egal ob man diesen Vektor als Zahl oder Spalte schreibt. Aus Platzgründen schreibe ich den Vektor als eine Zahl. Der Vektor, der aus partiellem Ableiten der Funktion besteht, heißt δu nach δx in δu nach δy in δu nach δz. Das ist der Gradient in kartesischen Koordinaten. Und in dieser Formel habe ich die Abhängigkeit von "u" von x,y,z unterdrückt. Ebenfalls aus Platzgründen. Das darf man machen. Das ist üblich so. Nun berechnen wir die partiellen Ableitungen, δu nach δx. Und zu diesem Zweck stelle ich die Wurzelfunktion in einer anderen Form dar, als Ausdruck hoch Einheit. Und weil ich 1 durch die Wurzel teile, dann am Besten stelle ich die Wurzel als Ausdruck hoch -1/2 dar. Die Funktion "u" kann man so darstellen;((x2+y2+z2))^ -½. Das ist erst mal eine formale Umformung der Funktion, damit wir  bequemer differenzieren können. Und als Nächstes benutze ich die Gegenregel, wie immer. -1/2 kommt nach vorne. Dann habe ich ((x2+y2+z2))^-. Das ist die äußere Ableitung. Dann kommt die innere Ableitung; (x2+y2+z2) muss ich nach x ableiten und bekomme 2x. Nun ein wenig Umrechnen. 2(-1/2) gibt  -1, also ich habe dann -x. Und dann x die Quadratsumme hoch -3/2 stelle ich als Bruch dar. 1 durch die Quadratsumme hoch 3/2. Das war die x-ableitende Funktion "u". Das ist ja völlig klar, dass die y-ableitende Funktion analog aussehen wird. Unterschied wird der sein, dass hier oben im Zähler statt x y sein wird. Entsprechendes gilt für die z - Ableitung. Das rechne ich nicht im Einzelnen vor, das ist ja völlig klar, wie die x-, y und z- Ableitungen aussehen werden. Nun übernehme ich hier das Ergebnis. Also mit dieser Rechnung haben wir Gradient von "u" und das, was wir ausgerechnet haben; -x durch Summe der Quadrate hoch 3/2. Das war die x-Ableitung. Das haben wir explizit vorgerechnet. Und dann die y-ableitende Funktion ist ähnlich. Da habe ich -y durch denselben Ausdruck. Es ist etwas anstrengend diesen Ausdruck immer wieder abzuschreiben, aber der Korrektheit halber mache ich das. Das ist der Gradientenvektor und in diesem Fall habe ich den Gradientenvektor als Spalte hingeschrieben. Das ist ebenfalls aus Platzgründen. Jede Komponente des Vektors hat einen gemeinsamen Faktor und diesen Faktor ziehe ich hier raus -1 durch Summe der Quadrate hoch 3/2 mal der Vektor x, y, z. Ja, das ist Gradient der Funktion "u" in kartesischen Koordinaten. Nun gehen wir zum zweiten Punkt unserer Aufgabe über. Hier sollen wir die Funktion "u-klein" in Kugelkoordinaten darstellen. Und damit ich Platz habe, wische ich alles weg. Dieses Ergebnis werden wir uns merken. Es steht auf jeden Fall bei mir auf dem Zettel. Geht nicht verloren. Nun werden wir die Funktion auf Kugelkoordinaten umrechen. Und dazu brauchen wir den Zusammenhang zwischen Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten. Diesen Zusammenhang habe ich im Beitrag über Kugelkoordinaten präsentiert. Wenn jemand es nötig hat, dann kann er das da nachschlagen. Anstandshalber schreibe ich die Formel für die Kugelkoordinaten noch einmal neu hin. Die Funktion u sah so aus. Und der zweite Teil der Aufgabe: Wir rechnen die Funktion "u" in Kugelkoordinaten um. Und vielleicht noch ein Wort dazu, warum das sinnvoll ist, eine solche Funktion in Kugelkoordinaten umzurechnen. Wir sehen, die Funktion "u" hängt von der Summe der Quadrate ab, (x2+y2+z2). Und aus dem Thema Kugelkoordinaten wissen wir, dass dieser Ausdruck gleich dem Abstand des Punktes x,y,z zum Ursprung ist. Nicht die Quadrate dieser Summe, sondern die Wurzel aus den Quadraten der Summe. Die Wurzel der Quadrate der Summe ist x,y,z ist der Abstand zum Ursprung. Also die Funktion "u" hängt nur vom Abstand zum Ursprung ab. Und in diesem Sinne sagt man, dass die Funktion kugelsymmetrisch ist. Also sie hängt nicht von der Richtung des Vektors x,y,z, sondern nur von seiner Länge, also dem Abstand zum Ursprung, ab. Also man sagt die Funktion "u" ist kugelsymmetrisch. Deswegen ist es vorteilhaft, bei der Behandlung dieser Funktion mit Kugelkoordinaten zu arbeiten. Ja, nun machen wir diese Umrechnung. Der Zusammenhang der kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten ist bekannt. Es ist folgende Formel gegeben, die ich hier anschreibe. Ja, also x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ und z=rcosθ. Bei der Umrechnung gehe ich folgendermaßen vor; ich setze in die Funktion "u" statt x,y,z, die entsprechenden Ausdrücke in Kugelkoordinaten ein. Statt x setze ich rsinθcosφ ein, statt y setze ich rsinθsinφ und statt z rcosθ. Nun, die Formel für die Funktion "u" ist gegeben; das ist 1 durch die Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Komponenten, also ich schreibe es hin. 1/(\sqrt...) und jetzt kommt ein schrecklich langer Ausdruck an die Tafel. Also r2×sin2×θcos2×φ..., aber ich kann Euch schon beruhigen, dieser Ausdruck wird sich kürzen, wird sich vereinfachen. Wir werden gleich sehen wie....r2×sin2×θsin2×φ+r2×cos2×θ. Und nun wollen wir ein wenig umrechnen. Diesen Ausdruck. Und das mache ich am Besten mit einem Wischlappen ...Wie Ihr seht, ich will das nicht jedes mal anschreiben, das ist zu viel Schreibarbeit. Wir betrachten die ersten zwei Terme in dieser Summe. Die ersten zwei Terme haben einen gemeinsamen Faktor: r2×sin2×θ. Diesen gemeinsamen Faktor werde ich ausklammern. Und bekomme folgendes; cos2×φ+sin2×φ. Hier sind die Klammern. cos2×φ+sin2×φ macht 1. Also die Klammer, die ich hier habe ist, 1. Multiplikation mit 1 bewirkt nichts, also die ganze Klammer kann ich wegwischen. Und das ist schon sehr angenehm. Unter der Wurzel habe ich (r2×sin2×θ)+(r2×cos2×θ). Jetzt mache ich dasselbe. Ich klammere r2 aus und ich hoffe jeder von Euch sieht, was da passiert. Im der Klammer bleibt einfach nur r2 stehen. Und Wurzel aus r2 ist wieder r. 1 durch r haben wir. Da r immer eine positive Zahl ist, der Abstand zur Wurzel, da ist r2 nicht Betrag, sondern r. Dieses Ergebnis schreiben wir hier rechts hin. Und ich habe da gesagt, es ist sinnvoll, bei der Funktion "u" mit den Kugelkoordinaten zu arbeiten. Spätestens hier sieht man warum. Weil in den Kugelkoordinaten ist u durch einen sehr einfachen Ausdruck präsentiert; 1/r. Also Ergebnis: U(r,θ,φ)=1/r. Das ist die Darstellung der Funktion "u-klein" in Kugelkoordinaten. Darstellung von in u(x,y,z). Ich schreibe dieses Ergebnis hierhin; "U-groß" von U(r,θ,φ)=1/r. Das ist die sollen Darstellung in den Kugelkoordinaten. Nun als Nächstes sollen wir die Darstellung in Kugelkoordinaten von der Darstellung in Kugelkoordinaten in Gradienten bilden. Dabei sollen wir daran denken, dass die Formel für den Gradienten in Kugelkoordinaten nicht dieselbe ist, wie die Formel für Gradienten in Kugelkoordinaten. Die Formel für Gradienten in Kugelkoordinaten habe ich im theoretischen Beitrag zum Thema differentiale Operatoren in krummlinigen Koordinaten dargestellt. In jeder Formelsammlung zu Analysis 2 gibt es diese Formel. Und jetzt übernehme ich diese Formel. Sie sieht folgendermaßen aus. Gradient von "u-groß" ist gleich die partielle Ableitung von U-groß nach r mal Vektor "e r", das ist der sogenannte radiale Basisvektor in Kugelkoordinaten, plus 1/r, die Ableitung von U-groß nach θ mal eθ, der weitere Basisvektor in Kugelkoordinaten und mal 1 durch r  mal sinθ mal groß U nach φ mal eφ. Wie die Vektoren  er, eθ, eφ aussehen, das habe ich präsentiert  in dem Beitrag zu differentiale Operatoren in Kugelkoordinaten. Da habe ich ein schönes Bild an der Tafel gehabt. Und den Gradienten von U-groß berechnen wir eben nach dieser Formel. Nicht nach derselben Formel wie kartesische Koordinaten. Nun schauen wir einmal, was passiert. Die Funktion u-groß ist weder von θ noch von φ abhängig. Deswegen werden die Ableitungen von U nach θ und nach φ verschwinden. Sie werden gleich 0 sein. Und es bleibt einfach nur die Ableitung dieser Funktion nach r stehen. Ich setze dann diese Funktion ein; die Funktion U ist gleich 1/r in Kugelkoordinaten mal der radiale Basisvektor "er" plus ... dann schreibe ich zwei Nullen. Damit möchte ich aufmerksam darauf machen, dass die weiteren Terme gleich Null sind. Sie verschwinden, weil die Funktion U-groß weder von θ noch von φ abhängig ist. Die beiden Ableitungen sind 0. Nun bündel ich die Ableitungen von 1/r nach r. Das macht -1/r2 mal der radiale Basisvektor, -1/r2×er. Das wars. Das war die Berechnung des Gradienten in Kugelkoordinaten. Wir sehen, das einzige, was wir da Ableiten, war einfach nur 1/r. Ansonsten haben wir zwei Nullen. Diese Rechnung war erheblich einfacher, als die entsprechende Rechnung in kartesischen Koordinaten. Das bestätigt noch einmal, dass eine solche Funktion für kugelsymmetrische Funktionen die Kugelkoordinaten vorteilhafter sind. Gut, nun wollen wir die Ergebnisse vergleichen. Zuerst schreibe ich die Ergebnisse noch einmal an und wir wollen uns die Beziehung zwischen diesen Ergebnissen klarmachen. Ich hab gesagt, es soll das Gleiche sein. Bloß, wenn man sich diese Formel erst einmal ansieht, dann sehen sie wirklich verschieden aus. Wir wollen uns klarmachen, dass es dasselbe ist. Bisher haben wir Folgendes gezeigt. Gradient der Funktion u-klein in kartesischen Koordinaten war -1 durch Summe aus (x2+y2+z2) hoch 3/2 mal der Vektor x', y', z'. Andererseits haben wir den Gradienten in Kugelkoordinaten berechnet; Gradient von u-groß von (r, θ, φ) = -1 /r2 und dann der radiale Vektor in Kugelkoordinaten, U(r, θ, φ)=-1/r2×er. Das sind unsere Ergebnisse. Sehen Sie, diese zwei Ausdrücke sehen ziemlich verschieden aus. Als Nächstes wollen wir klarmachen, dass es in Wirklichkeit das selbe ist. Das können wir zum Beispiel so machen, dass wir den Gradienten in kartesischen Koordinaten auf die Kugelkoordinaten umrechen. Also Gradient von u(x,y,z)...nun will ich diese Formel nicht abschreiben, ich will in die Formel, die wir bekommen haben, die Kugelkoordinaten einsetzen. Dabei wissen wir, dass (x2+y2+z2) r2 ergeben wird. Das war die lange Rechnung, die ich im ersten Teil gemacht habe. Das übernehme ich sofort. Nachdem ich die Kugelkoordinaten eingesetzt habe, steht hier -1/(r2)3/2. Und statt x',y',z' setze ich Kugelkoordinaten auch wirklich ein. Also r×sin×θ×cosφ, r×sin×θ×sin und r×cos×θ. Ich sehe, dass der Vektor, den ich da habe, den gemeinsamen Vektor hat,r. Diesen Faktor ziehe ich nach vorne raus. Und bekomme -r/r3. Alle anderen Sachen, die von θ und φ abhängig sind, lasse ich erst einmal stehen. -r/r3(sinθcosφ, sinθsinφ,cosθ). r kann ich vorne kürzen. Durch r3 bekomme ich -1/r2. Der Vektor, der hier steht, ist genau der radiale Einheitsvektor in Kugelkoordinaten. Bitte, wenn bedarf dafür verspürt, schlägt nach. Die Formelsammlung, die steht auf dieser Seite, oder in dem Beitrag zu dem Thema, das auf der Seite steht. Der Vektor, der hier geblieben ist, ist der radiale Einheitsvektor in Kugelkoordinaten. Und wir haben -1/r2 mal den radialen Einheitsvektor und das ist genau der Gradient der Darstellung der Funktion U in Kugelkoordinaten. Obwohl diese Funktionen sehr verscheiden aussehen, haben sie denselben Inhalt. Der Gradient ist ein von den Koordinaten unabhängiger Begriff. So wie wenn ich einen Roman in englischer Sprache oder in der deutschen Sprache lese, der Inhalt ist derselbe. Die Sprachen sind verschieden. Egal ob in kartesischen Koordinaten oder Kugelkoordinaten reche, ich bekomme dasselbe Ergebnis. Der Unterschied ist, dass ich in kartesischen Koordinaten die eine Formel für den Gradienten benutze und in Kugelkoordinaten die andere. Jede Sprache hat ihre eigene Grammatik, ihre eigenen Regeln.



Noch ein Kommentar: es ist unerheblich, ob wir zuerst den Gradienten berechnen und dann das Ergebnis in Kugelkoordinaten umreche, wie ich es getan habe, oder umgekehrt. Zuerst die Funktion in Kugelkoordinaten umrechnen und dann den Gradienten berechnen. Das Ergebnis wird dasselbe sein. Ich wiederhole diesen Gedanken. Es ist wahrscheinlich leicht fassbar. Es ist egal, ob ich die Funktion "u" zuerst in Kugelkoordinaten berechne und dann den Gradienten berechne, oder umgekehrt. Zuerst den Gradienten und dann die Kugelkoordinaten berechne. Das war's.

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Default

    Sehr schön erklärt.

    Von Lupus3000, vor etwa 6 Jahren