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Gerschgorin-Kreise 11:16 min

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Transkript Gerschgorin-Kreise

Hallo, in diesem Video geht es um die Gerschgorin-Kreise. Mithilfe der Gerschgorin-Kreise können wir die Eigenwerte einer Matrix A abschätzen. Das heißt, wir können für jeden Eigenwert ein Intervall angeben, in dem er liegt. Jetzt kommt der Satz von Gerschgorin. Der ermöglicht uns diese Abschätzung. a) Wenn λ1 bis λn die Eigenwerte einer Matrix A sind, dann gilt für alle k gleich 1 bis n, dass der Eigenwert λk aus dieser Menge Vereinigung über alle ki geschnitten mit der Vereinigung über alle kj ist. Und diese ki und kj sind die sogenannten Gerschgorin-Kreise, und die wollen wir uns jetzt näher angucken. Zunächst die sogenannten Gerschgorin-Zeilenkreise. Das sind die ki und die sind wie folgt definiert: Das ist die Menge aller komplexen Zahlen z, für die gilt: Betrag von z minus aii ist kleiner gleich der Summe über alle Beträge von aij, j von 1 bis n, aber ungleich i. Und diese Gleichung, beziehungsweise Ungleichung, beschreibt einen Kreis in der Gauß'schen Ebene. Das heißt, dieser Darstellung einer komplexen Zahl, indem man zwei Achsen hat, eine für den Realteil und eine für den Imaginärteil. Und deshalb heißen die Gerschgorin-Kreise auch Kreise. Diese ki sind Zeilenkreise, weil wir dort immer Zeilensummen bilden. Und analog erhalten wir die Gerschgorin-Spaltenkreise, das sind unsere kj, indem wir über die Spalten summieren. Jetzt gibt es noch einen Teil b) des Satzes, der unsere Eigenwerte noch weiter einschränkt, als es Teil a) getan hat. Bilden m Gerschgorin-Zeilen- beziehungsweise Spaltenkreise eine Zusammenhangskomponente, so liegen in ihr m Eigenwerte. Zusammenhangskomponente bedeutet dabei, dass sich die Kreise überschneiden. Zum Beispiel haben wir hier diese 3 Kreise und die linken Beiden bilden eine Zusammenhangskomponente. Das bedeutet dann, dass in der Vereinigung dieser beiden linken Kreise genau 2 Eigenwerte liegen. Der rechte Bereich ist disjunkt zu allen anderen Kreisen, bildet also keine Zusammenhangskomponente mit irgendeinem anderen Kreis. Also liegt dort auch nur ein Eigenwert. So, jetzt wollen wir ein richtiges Beispiel anhand einer konkreten Matrix rechnen. Wir haben diese Matrix A gegeben, eine 3x3-Matrix. Sie hat also 3 Eigenwerte, und die sollen wir jetzt mithilfe der Gerschgorin-Kreise einschränken. Wir beginnen jetzt mit den Zeilenkreisen. Jetzt werde ich nicht mehr diese Mengendarstellung wie eben für diese Kreise ki wählen, sondern nur noch diese Ungleichung, die in der Menge steht, anschreiben. Für i=1, 2 und 3 in der Formel eingesetzt gucken wir uns immer die 1. Zeile, 2., beziehungsweise 3. Zeile an. Deswegen heißt das hier auch Zeilenkreis. Was da jetzt genau passiert, erkläre ich jetzt. Wir schreiben z minus das Hauptdiagonalelement der Zeile, in der wir uns befinden, also hier das 1. und davon den Betrag ist kleiner gleich der Summe der Beträge aller anderen Einträge unserer Zeile, also hier unserer 1. Zeile. Also hier der Betrag von 1 plus Betrag von -0,6 ist gleich 1,6. Bevor wir das jetzt irgendwie interpretieren, machen wir das erst einmal für die 2. und 3. Zeile auch noch. Wieder z minus Hauptdialgonalelement, davon den Betrag, ist kleiner gleich Summe der Beträge der anderen Elemente dieser Zeile. Und dann kommt hier heraus 2,2. Für die 3. Zeile jetzt wieder analog. Hauptdiagonalelement ist 3 und die Summe der Beträge der anderen Elemente ist 0,4. Jetzt wollen wir diese Ungleichung, wie vorhin schon angedeutet, als Kreise in der Gauß'schen Zahlenebene interpretieren. Das funktioniert jetzt so, dass unsere Hauptdiagonalelemente, also das, was hier blau dargestellt ist, unsere Mittelpunkte sind, und diese Summen rechts sind die Radien der jeweiligen Kreise. Der erste Kreis hat den Radium 1,6, damit ergibt sich dieser eingezeichnete Kreis, der die relle Achse bei -4,6 links und -1,4 rechts schneidet. Als Zweites ergibt sich also dieser Kreis mit dem Radius 2,2 um den Ursprung, und als Drittes ein Kreis mit dem Radius 0,4, der also von 2,6 bis 3,4 geht. Nach dem Satz von Gerschgorin bilden diese beiden linken Kreise jetzt eine Zusammenhangskomponente. Deshalb liegen in diesem blau eingefärbten Bereich genau 2 Eigenwerte. Und in dem kleinen rechten Kreis, der ja mit keinem anderen Kreis eine Zusammenhangskomponente bildet, befindet sich genau ein Eigenwert. Jetzt ist es schön, wenn man noch eine Eigenschaft von Eigenwerten weiß. Wenn eine Matrix A einen komplexen Eigenwert λ hat, dann ist auch λ komplex konjugiert ein Eigenwert von A. Komplex konjugiert bedeutet, dass der Imaginärteil negiert wird. Also, wenn wir uns das in dem Bild anschauen. Wir haben hier unseren komplexen Eigenwert λ in der Gauß'schen Ebene dargestellt. Dann ist auch λ quer, das den gleichen Realteil, aber den negativen Imaginärteil von λ hat, ein Eigenwert. Wenn wir also in so einem Gerschgorin-Kreis, hier einfach einmal rot reingemalt, einen Eigenwert λ haben, dann wissen wir, dass auch der komplex konjugierte Eigenwert λ quer dadrin liegen muss, in diesem Kreis. Und daraus können wir Folgendes schlussfolgern: Wenn wir in einem Kreis nur einen einzigen Eigenwert haben, dann muss dieser Eigenwert reell sein, also auf der reellen Achse liegen. Denn sonst würde es ja 2 Eigenwerte geben, einmal λ und einmal λ komplex konjugiert. Für unsere Aufgabe bedeutet das jetzt hier Folgendes: Wenn wir die beiden Eigenwerte, die in den linken Kreisen liegen, λ1 und λ2 nennen und den im rechten Kreis λ3, dann wissen wir: λ3 ist reell. Außerdem wissen wir jetzt, dass λ1 und λ2 in diesem Zusammenschluss der beiden linken Kreise liegen. Wir können also die folgende Abschätzung treffen: λ1 und λ2 müssen größer gleich -4,6 sein, das ist nämlich dieser linke Rand, und kleiner gleich 2,2, das ist der rechte Rand dieser Vereinigung. Von λ3 wissen wir, dass λ3 in diesem kleinen rechten Kreis liegt, also zwischen 2,6 und 3,4 ist. Damit haben wir eine erste Anschätzung unserer Eigenwerte mithilfe der Zeilenkreise. Und das Ganze wollen wir jetzt auch noch für die Spaltenkreise machen. Das ist noch einmal unsere Matrix A. Und jetzt stellen wir die Spaltenkreise analog zu den Zeilenkreisen auf, nur dass wir immer die Spaltensummen statt der Zeilensummen nehmen. Das heißt wieder z minus Hauptdiagonalelement, davon den Betrag ist kleiner gleich der Summe der Beträge der anderen Elemente, und diesmal der anderen Elemente der gleichen Spalte. Das Ganze jetzt genauso für die 2. und 3. Spalte. Und jetzt wieder genauso wie bei den Zeilenkreisen diese Kreise einzeichnen. Bei -3 mit dem Radius 1,1, bei 0 auch mit dem Radius 1,1 und bei 3 mit dem Radius 2. Wir haben diesmal links einen Kreis alleine. Dort liegt also nur ein Eigenwert drin. Das ist also in diesem Fall λ1. Und wir können hieraus wieder schließen, dass λ1 reell ist, da sonst 2 Eigenwerte in diesem Kreis liegen würden. Und zusammen mit der Tatsache, dass λ3 reell ist, können wir jetzt auch schlussfolgern, dass λ2 reell ist, denn es bleibt ja nur noch ein Eigenwert über. Und wenn dieser komplex wäre, dann müsste es auch wieder das komplex Konjugierte geben. Und die anderen beiden Kreise bilden eine Zusammenhangskomponente. Also liegt hier in dieser blau schraffierten Fläche λ2 und λ3. λ1 liegt in diesem linken Kreis. Wir können also sagen, λ1 liegt zwischen -4,1 und -1,9. λ2 und λ3 liegen in der Vereinigung dieser beiden Kreise, also zwischen -1,1 und +5. Das waren die Ergebnisse, also die Abschätzung, die wir aus den Zeilenkreisen erhalten haben. Hier gilt jetzt ein Und, das heißt jedes λ muss beide Abschätzungen, die wir für es gefunden haben, erfüllen. λ1 muss also größer gleich -4,1 sein und größer gleich -4,6. Daraus ergibt sich, dass λ größer gleich -4,1 sein muss, denn für die untere Schranke müssen wir immer den Größeren der beiden Werte nehmen. genauso müssen wir für die obere Schranke den Kleineren der beiden Werte nehmen, hier also -1,9. Entsprechend kommen wir auf die Abschätzung der anderen Eigenwerte. Hier wieder den Größeren der linken Werte nehmen und den Kleineren der rechten Werte. Und für λ3 ensprechend, den Größeren bei der linken Schranke, also 2,6 und den kleineren bei der rechten Schranke, also 3,4. Damit sind wir fertig. Das sind unsere bestmöglichen Abschätzungen für λ1, 2 und 3 mithilfe der Gerschgorin-Kreise. Bis zum nächsten Mal. Tschüss, euer Christof

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1 Kommentar
  1. Default

    Ist gut und verständlich erklärt, hatte keine Probleme zu folgen. Aber was bringt es mir die Eigenwerte abzuschätzen, wenn ich die auch eben kurz ausrechnen kann? Klar gibt es Kriterien bei denen man nur eine Abschätzung der Eigenwerte braucht bzw. Ob die zum Beispiel nur positiv sind, aber man kann die doch auch einfach eben schnell ausrechnen oder?

    Von Rene Tohang, vor etwa 2 Jahren