Gauß-Quadratur 05:37 min

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Transkript Gauß-Quadratur

Hi, in diesem Video geht es um die Gauß-Quadratur. Mithilfe der Gauß-Quadratur kann man den Wert von Integralen approximieren. Für Polynome von Grad kleiner gleich 2n-1 gilt Folgendes: Das Integral dieses Polynoms in den Grenzen -1 bis 1=? (i=1;n) über (?i)×p(xi), lässt sich also als eine Summe darstellen. Voraussetzung dafür ist, dass man geeignete Gewichte ?i und geeignete Stützstellen xi wählt. Diese geeigneten Gewichte beziehungsweise Stützstellen möchte ich für n=1 bis 3 jetzt angeben. Für n=1 ist das Gewicht 2 und die Stützstelle 0. Für n=2 sind beide Gewichte 1 und die Stützstelle -1÷\sqrt3 und +1÷\sqrt3. Für n=3 haben wir diese Gewichte und Stützstellen und wir sehen hier schon die Tendenz: Die Stützstellen sind immer symmetrisch um den Punkt null. Für Polynome vom Grad kleiner gleich 2n-1 gilt diese Formel also exakt. Für alle Funktionen f gilt jetzt das Folgende: Das Integral der Funktion f im Bereich von -1 bis +1 kann durch diese Summe angenähert werden. Da diese Form nur für Integrale im Bereich von -1 bis +1 gilt, müssen wir nun Folgendes tun: Wir müssen unser gegebenes Problem auf das Intervall [-1,1] transformieren. Wir haben jetzt hier also allgemein ein Problem, bei dem wir das Integral in den Bereich von a bis b ausrechnen wollen und nennen die Variable hier jetzt t. Und diesen Bereich a,b transformieren wir jetzt auf das Intervall  [-1,+1]. Wenn wir in unserem Ausgangsproblem die Variable t haben und x als neue Variable für unser Intervall [-1,1] einführen, dann besteht der Zusammenhang t=(a+b)/2+((b-a))/2)x. Aus unserem Ausgangsproblem wird also durch die Transformation jetzt dieses Integral, und da dieses jetzt im Bereich von -1 bis +1 ist, können wir unsere Abschätzung treffen. Also unser Integral wieder durch eine Summe abschätzen. Jetzt sehen wir uns ein Beispiel dazu an: Wir haben also dieses Integral und wollen den Wert mithilfe der Gauß-Quadratur approximativ bestimmen. Unsere Grenzen sind also -2 und +2 und unsere Funktion e^-t2. Als Erstes müssen das jetzt wieder auf das Intervall [-1,1] transformieren. Wir müssen jetzt also die Grenzen a und b in unsere Transformationsformel einsetzen, das jetzt noch ausrechnen. Für unser neues Integral in den Grenzen -1 bis 1 müssen wir jetzt also für t 2x einsetzten. Und gemäß Formel steht vor dem Integral jetzt noch der Faktor (b-a)/2 also 2-(-2)/2. Das können wir jetzt wieder durch diese Summe abschätzen. Für n wählen wir den Wert 3, das heißt, wir machen eine Gaußquadratur in Dreiknotenpunkten. Hier noch einmal die Gewichte und Stützstellen für den Fall n=3. Wir schreiben unsere Summe jetzt erst einmal aus. Jetzt setzen wir die Gewichte und die Stützstellen ein. Und das müssen wir noch ausrechnen. Und unser Ergebnis ist dann: 1,7806. Das ist jetzt also die Approximation unseres Integrals und das war es auch schon zur Gauß-Quadratur, bis zum nächsten Mal. Tschau.      

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3 Kommentare
  1. Default

    Woher weiß ich wie viele Stützstellen zur Berechnung benötigt werden? Zum Beispiel wie viel Stützstellen benötigt man bei einem polynom 7. Grades?

    Von Daniel C Sutter, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    das Ergebniss sollte 1,9794 sein.

    Von Gerhard A Moser, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Hallo,
    Bei dem Beispiel stimmt das Endergebniss nicht, da für x1 scheinbar
    -sqrt(5/3) eingesetzt wurde und nicht wie erklärte -sqrt(3/5) und bei x3 der gleiche "Dreher". Laut Quadraturtabelle stimmt jedenfalls +-sqrt(3/5)

    Von Gerhard A Moser, vor mehr als 2 Jahren
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