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Transkript Funktionen in Polarkoordinaten

Hallo und herzlich willkommen zum Einführungsvideo zu Funktionen in Polarkoordinaten. Wir besprechen heute warum und vor allem wie man Funktionen in Polarkoordinaten darstellt, was das kartesische Phi-r-System ist, was bestimmte Eigenschaften einer Funktion in diesem System bedeuten und zum Schluss ein paar Beispiele, die hoffentlich helfen, das Ganze ein wenig verständlicher zu machen. Dann mal auf zum 1. Kapitel: Darstellung von Funktionen in Polarkoordinaten. Wahrscheinlich wisst ihr es schon, wir wollen es trotzdem noch einmal wiederholen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Position eines Punktes genau festzulegen. Hier habe ich z. B. einmal einen Punkt P eingezeichnet. Die klassische Methode zur Bestimmung seiner Koordinaten ist, ich gehe an der x-Achse entlang, und zwar genau 2, bis ich senkrecht unter ihm bin, und laufe dann, ebenfalls genau 2, parallel zur y-Achse nach oben und gelange so am Punkt P an. Mein Punkt hat also die kartesischen Koordinaten 2, 2. Ich kann den Punkt jedoch auch in Polarkoordinaten angeben. Dazu brauche ich ebenfalls 2 Werte. Nämlich a) den Winkel, den die Verbindungslinie von Ursprung und Punkt mit der x-Achse einschließt, in diesem Fall 45° und die Entfernung des Punktes vom Ursprung, in diesem Fall 2/sqrt2. Mein Punkt hat also die Polarkoordinaten 45° 2/sqrt2. Für Funktionen, die ja nichts anderes sind, als eine Menge von Punkten, funktioniert das ganz ähnlich. Ein einfaches Beispiel für eine gut in unserem klassischen kartesischen xy-System darstellbare Funktion wäre z. B. y=f(x)=x Das heißt eine Gerade, die die Winkelhalbierende der x- und y-Achse ist. Ich kann aber natürlich genauso statt meinem kartesischen auch meine Polarkoordinaten in einen ähnlichen Zusammenhang bringen. Für unsere erste Polarkoordinatenfunktion habe ich mir eins der allereinfachsten Beispiele ausgesucht. Der Abstand vom Ursprung r als Funktion von Phi ist hier einfach immer 1. Wenn für alle Winkel der Abstand vom Ursprung also 1 ist, bedeutet das: Ich erhalte die Figur des Kreises. Schon mit einer sehr einfachen Funktion kann ich also mithilfe von Polarkoordinaten einen Kreis erzeugen. Was mit einer y=f(x)-Funktion nicht möglich ist. Ihr seht also: Für manche Zwecke sind Funktionen in Polarkoordinaten deutlich praktischer. Im nächsten Kapitel wollen wir uns jetzt der Darstellung solcher Funktionen in einem dem xy-System ähnlichen kartesischen Koordinatensystem widmen. Dieses System ist das kartesische Phi-r-System. Indem wir einfach die beiden Achsenbezeichnungen x und y durch Phi und r ersetzen und dann die Funktion auftragen. Bei der Beschriftung der Achsen verwende ich hier übrigens Winkel im Bogenmaß. Pi entspricht 180°, Pi/2 also 90° und 2×Pi entspricht einer vollen Umdrehung, also 360° usw. Dann zeichnen wir doch einmal unsere Funktion von vorhin ein: r=f(Phi)=1 Also erhalten wir eine Gerade parallel zur Phi-Achse im Abstand 1. Ihr seht also, die Funktion, die im xy-System vorhin einen Kreis ergeben hat, ergibt in unserem kartesischen Phi-r-System eine zur Phi-Achse parallele Gerade. Als Nächstes wollen wir uns einmal ein paar Beispiele für Funktionen sowohl in der kartesischen xy- als auch in der kartesischen Phi-r-Darstellung ansehen. Als Erstes nehmen wir einmal die Funktion r ist gleich Funktion von Phi ist gleich 2. Analog z. B. vorhin ergibt diese Funktion natürlich ebenfalls ein Kreis, nur mit Radius 2 statt 1. Als Nächstes wollen wir uns einmal eine stetig steigende Gerade ansehen. Und zwar die positive Hälfte. In diesem Fall ist es die Funktion r ist gleich Funktion von Phi ist gleich 3 Phi geteilt durch 2 Pi. Das bedeutet, pro Umdrehung erhält diese Funktion 3 dazu. Es handelt sich natürlich um eine Spirale, die so aussieht. Wir haben gesehen: Eine zur Phi-Achse parallele Gerade erzeugt einen Kreis im xy-System. Wenn ich nun  also im Phi-r-System eine monotone Funktion, d. h. stetig steigender oder stetig sinkender Wert für r habe, dann erzeuge ich einen Kreis mit stetig steigendem oder sinkendem Radius, d. h. eine Spirale. Eine andere sehr wichtige Eigenschaft ist die Periodizität einer Funktion. Was diese für das Aussehen der Funktion im xy-System bedeutet, hängt entscheidend von der Länge der Periode P ab. Ist die Periode 2 Pi lang, dann bedeutet das, dass ich mit jeder vollen Umdrehung, denn 2 Pi sind ja genau 360°, die gleiche Figur zeichne. Wenn die Periode nicht gleich 2 Pi ist, habe ich 2 verschiedene Möglichkeiten: Entweder ist das Verhältnis von P zu 2 Pi rational, d. h. es gibt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches oder anders gesagt eine bestimmte Anzahl von Umläufen, nach denen sich die Figur schließt oder das Verhältnis von P zu 2 Pi ist irrational, was bedeutet, dass ich zwar immer wieder die gleiche Figur zeichne, ich aber niemals eine geschlossene Figur erhalten werde. Als letztes Beispiel wollen wir uns noch die sogenannte Kardioide oder Herzkurve ansehen. Ihre Funktionsgleichung ist: r ist gleich Funktion von Phi ist gleich 2 plus Cosinus Phi. Im Phi-r-System erhalte ich also, wenn ich sie mir ansehe, einfach einen um 2 nach oben verschobenen Cosinus, der ungefähr so aussieht. Wie sieht das Ganze aber nun aus, wenn ich es ins xy-System transformiere. Der Abstand variiert zwischen 1 und 3. Aber ansonsten? Da es sich hier ja um einen Cosinus handelt, kann man das Ganze auf eine sehr interessante Art und Weise zeichnen. Ich habe zu diesem Zweck einmal 2 Plastikdeckel mitgebracht. Ich benötige 2 gleich große Kreise oder Plastikdeckel, von denen einer mit seinem Mittelpunkt am Ursprung befestigt ist. Auf einer Stelle am Rand des 2. Kreises befestige ich nun meinen Stift und dann lasse ich den 2. Kreis um den ersten drum herumlaufen. So erhalte ich also meine Herzkurve. Mal sehen, wie gut es klappt. Ihr seht also: Es entsteht eine grob herz- oder auch nierenförmige Funktion, wegen der die Kardioide ihren Namen trägt. Wir wollen noch einmal schnell zusammenfassen, was wir heute gelernt haben: Wenn man eine Funktion in Polarkoordinaten darstellt, gibt man den Abstand vom Ursprung als Funktion des Winkels zwischen Verbindung von Punkt und Ursprung und Phi-Achse an. Viele Figuren, die sich mit y ist gleich f von x-Funktionen nicht darstellen lassen, wie z. B. Kreise, Spiralen o. ä., lassen sich mit Polarkoordinaten teilweise sogar sehr leicht darstellen. Die kartesische Phi-r-Darstellung ist für Funktionen in Polarkoordinaten sehr nützlich, da hier oft relativ einfach Informationen über das Aussehen einer Funktion im xy-System gewonnen werden kann. So und damit sind wir auch schon am Ende. Vielen Dank für das Zusehen. Ich hoffe, ich konnte helfen.

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1 Kommentar
  1. Default

    Kleine Kritik: Das Kapitel ist außer diesem Video ganz gut gestaltet, Man hat immer die Möglichkeit mitzurechnen und alles zu erfassen. Allerdings ist dieses Video hier viel zu schnell und bietet zu wenig Möglichkeiten zu interagieren. Außerdem wird zu keinen Punkt der Zusammenhang zu den Komplexen Zahlen klar. Mehr langsam kommentierte Beispielaufgaben mit Möglichkeit mitzurechnen hätte ich mir gewünscht:)

    Von Esra Inam, vor mehr als einem Jahr