Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Fourierpolynome und Fourierkoeffizienten - Aufgabe 2

In dieser Aufgabe wollen wir Fourierkoeffizienten in dieser Funktion berechnen. Die Funktion steht hier. Das und das und wir hatten schon Fourierkoeffizienten gerechnet durch Integration. Man weiß ja, wie Fourierkoeffizienten berechnet werden sollen. Zum Beispiel der Fourierkoeffizient ak berechnet sich nach der Formel für Funktionen die Periode 2pi haben. Da haben wir Folgendes: 1/pi Integral von 0 bis 2pi f(x)cos kx dx  das ist die Formel, in der die Periode 2pi ist und die Kreisfrequenz 1 ist. Wir haben dann schon in der ersten Aufgabe, die auf der Seite steht. Wir haben diese Formel explizit benutzt und die gegebene Formel eingesetzt.  Dasselbe können wir natürlich hier machen. Bloß die Integrale werden zu lang sein und dann muss man einiges rechnen. Wenn man die Orthogonalitätsrelation kennt, dann wird die Rechnung nicht so lang. Wenn man sie nicht kennt, dann muss man viel rechnen und auf jeden Fall wird es unangenehm sein. In dieser Aufgabe wollen wir direkte Integration vermeiden. Die Sache ist die, dass man die Fourierkoeffizienten der Funktion f schon aus der Form der Funktion ablesen kann, ohne was zu integrieren. Wie das geht, wollen wir erläutern. Ich möchte bisschen weiter ausholen. Wir reden über Taylorpolynomen. Das sind Polynome, die gegebene Funktionen approximieren.Wir reden kurz erstmal über Taylorpolynomen. Ein kleiner Abstecher. Beim Thema Taylorpolynomen habt ihr vielleicht mitbekommen, dass es einen beliebten Scherz gibt. Bei den Klausuren oder bei den Hausaufgaben schreibt man eine Funktion hin. f(x)= 1+2x2+3x3. Und man sagt zu dieser Funktion berechnet man das Taylorpolynom x0=0. Man kann natürlich die übliche Formel nehmen. Man muss da ableiten, und wenn wir gebeten sind, das Taylorpolynom dritten Grades zu berechnen, dann muss man dreimal ableiten usw. Man kann eigentlich eine direkte Rechnung vermeiden. Man kann direkt aus der Form dieser Funktion das Taylorpolynom ablesen. Man sieht schon sofort aus der Form der Funktion, dass das schon ein Taylorpolynom mit dem Entwicklungspunkt x0 ist und die Koeffizienten kann man aus dieser Form ablesen.  Vielleicht kann man diese Funktion ausführlicher wie folgt hinschreiben. Das ist1+0x+(4/2!x)2+(18/3!)x3. 3!=6 18/6=3 das war die identische Umformung. Aus dieser Form können wir ablesen, dass der Taylorkoeffizient a0=1 der Taylorkoeffizient a1=0 der Taylorkoeffizient a2=4 der Taylorkoeffizient a3=18. Also ohne zu differenzieren, ohne direkt zu rechnen, haben wir die Taylorkoeffizienten aus der gegebenen Funktion f sofort abgelesen. Ich fasse noch einmal zusammen. Taylorpolynom zu einer Funktion, die bereits ein Taylorpolynom ist. Stimmt mit der ursprünglich gegebenen Funktion überein. Also man braucht nicht zu rechnen. Wenn man sagt, berechne das Taylorpolynom zu dieser Funktion dann braucht man nicht zu rechnen. Das ist schon das Taylorpolynom. Genug zu Taylorpolynom. Nun hier zu den Fourierpolynomen. Nun hier zu den Fourierpolynomen. Hier ist die gleiche Geschichte. Wenn man scharf hinschaut, dann sieht man, dass die Funktion bereits ein Fourierpolynom ist. Das heißt, wenn wir zu dieser Funktion ihr Fourierpolynom berechnen, dann bekommen wir nichts Neues. Wir bekommen genau dieselbe Funktion als Fourierpolynom. Wir brauchen nicht zu integrieren, wir brauchen nicht zu rechnen. Wir müssen noch lernen, wie man aus dieser Form die Fourierkoeffizienten ablesen kann. Genauso wie ich hier aus dem Taylorpolynom die Taylorkoeffizienten ausgelesen habe. Genauso hier kann ich aus diesem Fourierpolynom die Fourierpolynome ablesen. Mit dieser Einführung machen wir uns direkt an die Arbeit. Aber zuerst möchte ich noch einmal festhalten. Die Schlüsselbehauptung in dieser Aufgabe. Wenn wir zu einer Funktion das Fourierpolynom berechnen müssen und die Funktion bereits ein Fourierpolynom ist, dann wird das berechnete Fourierpolynom mit der Ausgangsfunktion übereinstimmen. Das muss man sich merken. Deswegen muss man hier nicht direkt rechnen. Man muss hier nicht integrieren. Ein Fourierpolynom dritten Grades hat die folgende allgemeine Form. Die allgemeine Form des dritten Fourierpolynoms lautet so: f3(x)=a0/2+a1cosx+a2cos2x+a3cos3x das sind die Kosinus Anteile, nun kommen die Sinus Anteile: b1sinx+b2sin2x+b3sin3x und ich habe hier unterstellt, dass die Kreisfrequenz=1 ist. Ja das ist die allgemeine Form des dritten Fourierpolynoms.  Nun haben wir die Funktion f. Das ist auch ein Fourierpolynom bloß sind die Terme durcheinandergebracht. Nun möchte ich die Terme ordnen. Die Funktion f(x) kann man so schreiben. Hier haben wir den freien Koeffizienten -1. -1 ist dasselbe wie -2/2+ dann schauen wir mal. In unserer Funktion ist der Term cosx abwesend und das kann man so auffassen, dass cosx mit 0 multipliziert wird. Der Term cos2x ist ebenso abwesend. Dann multiplizieren wir cos2x mit 0. Der Term cos3xist da, mit dem Koeffizienten -3 davor. Das schreibe ich so +(-3)cos3x. Was passiert mit dem Sinuskoeffizienten? Nur sin2x ist anwesend. Alle anderen Sinuse sind nicht da und dann schreibe ich es genauso hin: 0-sinx+2sin2x+0*sin3x. Wenn wir die gegebene Funktion in der kanonischen Form hingeschrieben haben, als Fourierpolynom. Nun können wir die Koeffizienten ablesen, wenn wir das vergleichen. a0=-2. und dann bereite ich das Feld vor. a1=; a2=; a3=; b1=; b2=; b3=; a1=0; usw. Ich hoffe, ihr habt das Prinzip verstanden. a2=0; a3=-3; a3 ist der Koeffizient bei cos3x usw. b1=0; b2=2; und b3=0;  Wenn ihr das nächste Mal ein Fourierpolynom seht, dann kann man die Koeffizienten schneller ablesen. Man soll hier nicht so viel schreiben. Das ist die Lösung. Wir berechnen den Fourierkoeffizienten dieser Funktion und hier sind sie. Ich habe die sieben Koeffizienten hingeschrieben und alle anderen sind natürlich null. Nun mache ich einen kleinen Zusatz. Ich rechne hier eine Aufgabe vor die genauso aussieht wie diese Aufgabe, bloß hat man eine andere Funktion. Zum Beispiel berechne die Fourierkoeffizienten von der Funktion f(x)=10cos4x-2sin3x+cosx+10 und ohne viel zu schreiben, sehen wir, dass der freie Koeffizient 10 ist. a0 ist das doppelte davon, also gleich 20. Dann gibt es nur zwei Kosinuse. Das heißt, a1=1; das ist der Koeffizient bei cosx und es gibt nur einen Koeffizienten bei cos4x. Also, a4=10; Dann gibt es nur einen bei sin,sin3x das heißt b3=-2. Hier ist -2. Alle anderen Fourierkoeffizienten sind 0. Solche Aufgaben könnt ihr dann genauso schnell machen, ohne viel zu reden. Ok das wars!

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Default

    Kann ich diesen Trick auch bei dieser Aufgabe anwenden?
    http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs67/seite15.html

    Da ist die Funktion f(x) = cos (x/3), aber es gibt ja kein a_(1/3) :-P

    Viele Grüße und herzlichen Dank,
    Frezl

    Von Deleted User 12777, vor mehr als 6 Jahren