Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Fourierpolynome und Fourierkoeffizienten - Aufgabe 1, Teil 2

Wir machen weiter mit einem Beispiel. Wir sind bei der Berechnung von Sinuskoeffizienten stehen geblieben, und zwar habe ich das entsprechende Integral vereinfacht so weit, wie es geht. Und wir sind bei der partiellen Integration stehen geblieben. Hier ist die partielle Integration vorbereitet. Nun führe ich die partielle Integration durch nach der bekannten Formel. Also der Vorfaktor 2/π bleibt vorne stehen und als Erstes kommen die Randterme. Minus hier, das ich hier bei Kosinus habe, das ziehe ich schon nach vorne. -(x-π/2)×coskx/k. Und das soll ich an den Randpunkten auswerten. Randpunkte sind π und π/2. Ja, und dann eigentlich bei der partiellen Integration kommt minus Integral und man kennt ja die Formel. Aber hier unter dem Integral steht Minus und dieses Minus macht aus dem Minus aus der Formel Plus. Minus mal Minus macht Plus, daher schreibe ich hier sofort Plus. Integral von π/2 bis π. Nun muss ich eine andere Funktion ableiten. Die Ableitung springt bei der partiellen Integration sozusagen rüber auf die Nachbarfunktion. Die Ableitung springt auf die Funktion (x-π/2). coskx/kdx. Gut, und (x-π/2) nach x abgeleitet gibt 1. Und wir sehen, das Integral vereinfacht sich. Das war auch der Sinn der Umformung. Gut, und ja, dann rechnen wir weiter. Vielleicht belasse ich diese Zeile hier, ich möchte auf sie schauen, und die Aufgabestellung werde ich wegwischen. Alles, was wir von der Aufgabestellung brauchen, das haben wir schon benutzt. Gut, also, ich habe vergessen, hier die Klammer zu schließen. Wir rechnen weiter. Der Vorfaktor 2/π bleibt stehen, mit ihm passiert nichts mehr. Gut, und nun setze ich die Randpunkte in die Funktionen ein. Da habe ich -(π-π/2). Ich habe hier x=π eingesetzt. coskπ/k. Dann Folgendes: Wenn ich hier x=π/2 einsetze, die Klammer wird dann verschwinden. π/2-π/2, das ist 0. Deswegen kommt kein weiterer Term hinzu. Und als Nächstes kommt dieser Integral hier. Bei den Integralen kann ich Konstante 1/k nach vorne ziehen, und dann habe ich Folgendes. Ach, wie gesagt, x-π/2 abgeleitet gibt 1, deswegen, diesen Faktor 1 schreibe ich gar nicht. Da habe ich coskxdx. Ja, und die Klammer soll ich natürlich schließen. Ok, coskπ ist( -1)k, das habe ich im theoretischen Beitrag bei der Bemerkung Nummer 4 besprochen, das setze ich noch ein. Da habe ich 2/π, der Vorfaktor vorne, dann π-π/2, macht π/2. Also insgesamt habe ich -(π/2)×(-1)k/k. Dann als Nächstes berechne ich die Startfunktion zu coskx, die ist ja bekanntlich sinkx/k, und werte diesen Term an den Randpunkten aus. Und die Randpunkte sind die alten, π und π/2. So, und als Nächstes kommen Umformungen. Dann, hier steht -(π/2)×(-1)k. Minus mal (-1)k, daraus wird (-1)k+1. Ich hoffe, jedem ist klar, wieso das passiert ist. Und ansonsten bleibt alles unverändert. Ich dividiere durch k und multipliziere mit π/2. Dann setze ich die Randpunkte ein. Wenn ich x=π einsetze, dann bekomme ich sinkπ. In der Bemerkung Nummer 4 zum theoretischen Beitrag haben wir besprochen, das sinkπ immer 0 ist. Dann brauche ich das nicht zu schreiben oder vielleicht deute ich einfach nur das an, das ist 0, sinkπ ist 0. Ja, und ich muss x=π/2 einsetzen. Gut, hier haben wir zweimal die Division durch k, dann sage ich, dass ich durch k2 dividiere. Und dann -sinkπ/2. Gut, nun sind wir auch so weit gekommen, dann führen wir die Umformungen langsam weiter, langsam aber sicher. An dieser Stelle möchte ich den Vorfaktor 2/π in die Klammer hinein multiplizieren. Dann bekomme ich vorne ((-1)k+1)/k. Durchaus hübscher und übersichtlicher Term. Dann habe ich -(2/πk2)×sinkπ/2. So weit, so gut. Das wäre dann Fourierkoeffizient bk und man kann noch bisschen weiter vereinfachen. Wir sehen, wenn da k zum Beispiel 2 ist, dann steht hier sinπ und sinπ ist 0. Wenn k=4 ist, dann steht hier sin2π. sin2π ist 0. Wenn k 6 ist, dann steht hier sin3π. Und sin3π ist 0, und so weiter. Gut, alles in allem, wenn keine gerade Zahl ist, dann haben wir überhaupt diesen Term hier hinten nicht. Das ist schon eine wertvolle Information und das führt zu einer weiteren Vereinfachung. Des Weiteren, wenn k eine ungerade Zahl ist, dann müssen wir ein bisschen überlegen. Ja, zum Beispiel, wenn k=1 ist, dann habe ich sinkπ/2, ist gleich sinπ/2, und ich hoffe, jedem ist bekannt, das ist 1. Dann, wenn k=2 ist, haben wir überlegt, das ist 0. Wenn k=3 ist, dann ist sinkπ/2, das ist gleich sin3π/2, das ist gleich -1. Das sollte auch jedem bekannt sein. Gut, und so weiter. Wenn ich k=5 einsetze, dann bekomme ich 1, wenn ich k=7 einsetze, dann bekomme ich -1. Wir sehen so eine Gesetzmäßigkeit. Wenn ich ungerade Zahlen in dieses k einsetze, dann bekomme ich entweder 1 oder -1. Und insgesamt kann man das so zusammenfassen. sin(2n-1). Mit 2n-1 kann ich ja beliebige ungerade Zahlen erreichen. (2n-1)π/2 ist gleich -1 hoch, und jetzt lasst mich kurz überlegen, das ist -1n+1. Ja, und, Moment mal, ja, und das stimmt doch. Für k=3 ist m=2, ja? Also, 2n-1 macht 3, wenn m=2 ist. Ja, und -12+1 macht -1. Ja, also, kurz und gut: Ich will euch nicht verwirren. Bitte macht euch klar, dass diese Formel stimmt, ja? Das ist einfach nur eine Verallgemeinerung davon, was ich da angefangen habe zu tun. Ja, diese Formel stimmt. Und mit dieser Formel kommen wir weiter. Ich schreibe hier bk ist gleich diesem Ausdruck. Das haben wir uns überlegt. Nun kann ich aufgrund dieser Werte von sinkπ/2, das ist entweder 0 oder 1 oder -1, da kann ich den Sinuskoeffizienten der gegebenen Funktion weiter vereinfachen. Also Sinuskoeffizient mit einem geraden Index 2m wird sich so berechnen, das ist ((-1)2m+1)/2m-2/π(2m)2sin2mπ/2. Und wir sehen, das sin2mπ/2 wird immer 0 sein. Das ist sinmπ. Also insgesamt, und (-m)2m+1 ist insgesamt -1. Also, der Fourierkoeffizient b2m hat eine so einfache und übersichtliche Form, das ist -(1/2m).  Der Fourierkoeffizient mit ungeradem Index wird dann so aussehen. Ich setze dann in die untere Formel statt k 2m-1 und bekomme Folgendes: (-1)2m-1+1/2m-1-2/π(2m-1)2sin(2m-1)π/2. Nun, dann schauen wir mal, was wir daraus machen können. Also, (-1)2m ist einfach nur +1. Und sin(2m-1)π/2 haben wir gerade berechnet. Das haben wir uns überlegt. Das ist -2/π(2m-1)2×(-1)m+1. Gut, ja, und das sind schon abschließende Formeln für Fourierkoeffizienten. Da haben wir überhaupt kein Sinus drin stehen. Wir haben einfach nur explizite Formeln, die von Index m abhängig sind. Und insgesamt kann ich Folgendes schreiben: Das Fourierpolynom zum Index, meinetwegen 2N, ist nach der allgemeinen Formel a0/2 plus Summe k geht von 1 bis 2N (akcoskx+bksinkx). Ja, und wir denken daran, dass Omega gleich 1 ist, ich habe hier eingesetzt. Ja, a haben wir berechnet, a0 war in unserer Rechnung π. Also insgesamt habe ich hier π/2. Dann an ks, für k von 0 verschieden, waren in unserer Rechnung 0. Also, diese Kosinusanteile würde ich hier gar nicht erwähnen. Ja, die sind alle 0. Wir haben nur noch Sinusanteile. Also wir haben Summe k von 1 bis 2N. bksinkx. Nun Folgendes: Wir sehen, es gibt ja Unterschiede, ob der Index k bei dem b Koeffizienten gerade oder ungerade ist. Deswegen spalte ich diese Summe in den Teil mit geraden und ungeraden ks und dann erhalte ich Folgendes: Ich summiere sogar den neuen Index m von 1 bis N (b2n-1sin(2n-1)x+b2msin2mx.    Und als Nächstes kann ich dann die Formel, die ich hier berechnet habe, hier einsetzen. Und insgesamt bekomme ich dann die finale Lösung. Das ist π/2 plus Summe m läuft von 1 bis N, b2n-1 haben wir gerade berechnet, die Formel steht noch oben. Das ist 1/2n-1. Und dann schreibe ich +2(-1)m. Ich habe ja diesen Minusteil in die Klammer hinein gezogen. Ja, also überlegt euch, wie das geht. Dann durch π(2n-1)2×sin(2m-1)x. Und dann b2m ist -1/2msin2mx. Gut, und das ist unser finales Ergebnis. Ja, das ist das Fourierpolynom der gegebenen Funktion.                                  

Informationen zum Video
4 Kommentare
  1. Default

    Lieber Ice World, die in der Aufgabenstellung vorgegebene Funktion f ist weder gerade noch ungerade. Dies macht eine explizite Berechnung des Koeffizienten a0 erforderlich. Gruß Sergej.

    Von Sergej Schidlowski, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Warum wird denn a0 überhaupt berechnet? Wenn man eine ungerade Funktion hat, dann ist doch ak = 0 ?

    Von Ice World, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Minute 4:45 : "Ich hoffe jedem ist klar wieso..." Ja. Mir leider nicht. Könnt ihr das bitte erläutern?? danke

    Von Aleken, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Ist es nur möglich das der Sinus bei einer ungeraden Zahl stehen bleibt oder gibt es auch eine Formel zur Berechnung des Polynoms, wenn der Cosinus nicht rausfällt?

    Von Andrejgross, vor fast 4 Jahren