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Transkript Fourierpolynome und Fourierkoeffizienten - Aufgabe 1, Teil 1

Nun besprechen wir ein konkretes Beispiel, indem man zu einer vorgegebenen Funktion ihr n-tes Fourierpolynom ausrechnen soll. Die Funktion ist hier vorgegeben. Sie ist erst mal definiert auf den Intervallen auf -π bis π/2, dann -π/2 bis +π/2 und dann von +π/2 bis +π. Das sind irgendwelche Formeln und ansonsten fordert man, das die Funktion 2π periodisch ist für alle x. Gut. Und wir wollen konkret die Fourierkoeffizienten zu dieser Funktion ausrechnen. Ich habe schon den Graphen der Funktion an die Tafel gezeichnet, dass es ein bisschen schneller geht mit der Darstellung. Also wenn man diese Formeln grafisch veranschaulicht, dann wird der Graph so aussehen. Bitte macht euch klar, dass es tatsächlich so ist. Ja, und nun sollen wir diese Funktion, diesen Graphen, in die Formel für die Fourierkoeffizienten einsetzen, in die Integrale einsetzen, und sie ausrechnen. Ich habe die Integrale vorsichtshalber noch einmal an die Tafel geschrieben. Der Punkt ist, wenn man einfach nur diese Funktionen in die Integrale einsetzt, dann muss man extrem viel rechnen. Das ist eine ellenlange Rechnung und man braucht da vielleicht, ich weiß nicht, eine ½ Stunde, eine ¾ Stunde oder sogar eine Stunde. Als Nächstes will ich ja besprechen, wie man die Situation vereinfachen kann. Die Tatsache ist die, dass man beliebige Funktionen f in ihre geraden und ungeraden Anteile zerlegen kann. Was heißt das genau? Zu einer vorgegebenen Funktion f, gibt es eine gerade Funktion fg und eine ungerade Funktion fu, und die Summe aus beiden ergibt die ursprüngliche Funktion f. Das ist eine Theorie, dass eine solche Zerlegung existiert und die Theorie sagt, dass diese Zerlegung sogar eindeutig ist. Das wollen wir glauben. Also 1.: Jede Funktion f, auf die vorgegebene Funktion, lässt sich in ihren geraden und ungeraden Anteil zerlegen. Es ist so, es hilft uns enorm weiter bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten. Wir dürfen nämlich die Funktion bei der Berechnung des Cosinuskoeffizienten durch ihren geraden Anteil ersetzen, es ändert sich nichts. Und bei der Berechnung des Sinuskoeffizienten dürfen wir die Funktion durch ihren ungeraden Anteil ersetzen. Ich habe hier so eine kleine Modifikation für die Fourierkoeffizienten. Wenn wir uns ein bisschen Mühe geben, die vorgegebene Funktion in gerade und ungerade Anteile zu zerlegen, dann wird es sehr leicht sein, die Fourierkoeffizienten auszurechnen. Als Nächstes machen wir uns an die Arbeit. Wir wollen den geraden und ungeraden Teil ausrechnen. Es gibt Formeln dazu. Wenn man die Funktion f kennt, dann wird der gerade Anteil wie folgt berechnet: das ist (f(x)+f(-x))/2. Und der ungerade Anteil wird durch eine ähnliche Formel ausgerechnet: Da ist an einer Stelle - statt +. Man kann jetzt diese Formel bemühen, man kann Fallunterscheidungen machen und den geraden und ungeraden Anteil ausrechnen. Das wird aber sehr lange dauern. Das ist machbar. Versucht es, es lohnt sich. Wir wollen es ein bisschen schneller machen. Wir machen folgende Beobachtung: Den Graphen der Funktion f seht ihr. Die Funktion f, die hier auf dem Bild ist, ist weder gerade noch ungerade. Sie ist weder punktsymmetrisch, noch achsensymmetrisch. Man kann aber Folgendes machen: Man kann den Graphen der Funktion nach unten um π/2 verschieben. Also wir machen das und beobachten, was passiert. Also, ich verschiebe den Graphen der Funktion, die rote Linie, um π/2 nach unten und es wird daraus sofort eine ungerade Funktion. Diese ungerade Funktion bezeichne ich dann sofort mit fu und die charakteristischen Punkte, die sieht man dann anhand der alten Zeichnung. Wir machen folgende Beobachtung: Die alte Funktion f ist gleich der Funktion fu+(π/2). Wenn wir die Funktion fu um π/2 nach oben schieben, dann bekommen wir die Funktion f. Und noch eine Beobachtung: π/2 als Konstante. Wenn wir π/2 als konstante Funktion auffassen, dann ist sie klarerweise achsensymmetrisch, das heißt, sie ist gerade. Und auf diese Weise haben wir die Funktion f in die Summe einer ungeraden und geraden Funktion zerlegt. Und die Theorie sagt, dass eine solche Zerlegung eindeutig ist. Mit dieser einfachen grafischen Überlegung haben wir dann die nötige Zerlegung berechnet. Also, dann schreibe ich das formal fest. Das, was wir auf dem rechten Bild sehen, kann man in eine Formel umsetzen und das wird dann so aussehen: fu(x)=, wir sehen, eine ganze Weile ist die Funktion fu 0, das heißt für x zwischen -π/2 und π/2. Und dann ist die Funktion einfach nur eine lineare Funktion, verschoben um + oder - π/2 nach oben oder nach unten. Also ihr seht, was da auf der Tafel passiert. Auf der Strecke von -π bis -π/2 hat man eine Verschiebung um π/2 nach oben, also x+π/2 für das Intervall von -π bis -π/2. Ja, und auf dem verbliebenen Intervall ist die lineare Funktion x die Möglichkeit, wenn wir x nach unten verschieben um π/2. Gut, das ist der ungerade Anteil der Funktion, und der gerade Anteil der Funktion ist immer π/2, das haben wir uns so überlegt. Insgesamt haben wir f=fg+fu. Wenn wir diese Information haben, dann können wir nun einfach die Fourierkoeffizienten ausrechnen. Das war also die 1. vorbereitende Stufe. Nun berechnen wir unmittelbar den Fourierkoeffizienten. Als 1. stellen wir nach der Aufgabenstellung fest, die Periode=2π. Wir können daraus dann sofort die Kreisfrequenz berechnen nach der bekannten Formel: Die Kreisfrequenz Ω=2π/die Periode T. Aus der Periode 2π ergibt sich die Kreisfrequenz Ω=1. Der 0-te Fourierkoeffizient ist bekanntlich 2/T, die Integrale von 0 bis T, f(x)dx. Ich kann gleich 0 einsetzen, Cosinus von 0 ist 1, und dann bekommen wir diese Formel. Und dann rechnen wir schnell aus, was wir dafür bekommen. Also 1/π, Integral von 0 bis 2π und f(x). Und an dieser Stelle habe ich gesagt, bei der Berechnung des Cosinuskoeffizienten, kann man die Funktion durch ihren geraden Anteil ersetzen. Wir sehen auch schon an dieser Stelle, wie das die Sache vereinfacht. Wenn wir diese Formel einsetzen, dann ist das viel zu anstrengend. Aber wenn wir hier fg einsetzen, ist es einfach nur eine Konstante, π/2, und wir brauchen gar nicht zu integrieren. Also der Vorteil ergibt sich sofort an dieser Stelle. Die Konstante kann man vor das Integral ziehen, dann wird sich π kürzen, ich habe hier ½ Integral von 0 bis 2π dx. Und diese Integrale braucht man nicht zu rechnen, das ist einfach nur 2π, offensichtlich. Der Koeffizient a0 steht da. Nun berechnen wir den Koeffizienten ak: für k hat man größer gleich 1. ak nach der bekannten Formel 2/T, Integral von 0 bis T, die Funktion f(x), cos(k), Ωx. Folgendes: Die Funktion f ist kompliziert, die Funktion fg ist einfach. fg ist einfach nur eine Konstante. Wie gesagt, man darf bei der Berechnung der Cosinuskoeffizienten die Funktion durch ihren geraden Anteil ersetzen, das habe ich hier gemacht. Aus f(x), komplizierter Funktion, habe ich fg gemacht, das darf man, und das ist einfach nur eine Konstante und das ist sehr einfach. Dann setze ich wieder meine Daten ein. Vorne steht der Faktor 1/π. Ich integriere von 0 bis 2π, die Periode fg ist einfach nur π/2, das habe ich ausgerechnet. Und dann cos(k) Ωx, Ω=1 und dann habe ich einfach nur cos(kx)dx. Und das ist wieder sehr einfach. Die Konstante kann ich vor das Integral ziehen, ich habe da ½ und zu Cosinus kann ich die Strahlfunktion berechnen, die Strahlfunktion zu cos(kx) ist natürlich sin(kx)/k. Durch k darf ich teilen, weil k von 0 verschieden ist. Da sollen wir den Randpunkt 0 und 2π auswerten und wir stellen fest, na ich schreibe es erstmal hin und dann werden wir sehen, was wir feststellen. Da habe ich (sin(2πk)-sin0)/k. Wir wissen, dass sin(2πk) immer 0 ist, das habe ich im theoretischen Beitrag als letzte Bemerkung gemacht, sin(2πk) ist immer 0. Und insgesamt sind alle Fourierkoeffizienten ak, für k größer gleich 1 sind alle gleich 0. Diese Rechnung war schnell und einfach, weil wir die Funktion durch ihren geraden Anteil ersetzt haben. Schon an dieser Stelle sehen wir, wie das alles vereinfacht. Jetzt berechnen wir die Sinuskoeffizienten und da gibt es leider ein bisschen mehr Arbeit, aber immer noch sehr viel weniger im Vergleich zu den alten Formeln. Der k-te Sinuskoeffizient hat folgende Formel: 2/T, Integral von 0 bis T, die Funktion × sin(kΩx)dx. Wie gesagt, bei der Berechnung des Koeffizienten von bk kann ich die Funktion durch ihren ungeraden Anteil ersetzen. Und diesen haben wir gerade ausgerechnet. Also, ich setze langsam, nach und nach, unsere Daten ein, das ist Integral von 0 bis 2π, der ungerade Anteil der Funktion×sin(kx)dx. Nun Folgendes: Die Funktion selbst ist 2π-periodisch, der ungerade Anteil der Funktion ist auch 2π-periodisch, sin(kx) ist auch 2π-periodisch, sogar weniger als 2π-periodisch, alles in allem darf ich die Integrationsstrecke verschieben. Das habe ich im theoretischen Beitrag bei der 1. Bemerkung besprochen. Also ich mache dann die Verschiebung aufgrund dieser Bemerkung. Ich verschiebe die Integrationsstrecke nach links um π und itegriere insgesamt von -π bis π. Nun folgendes: fu ist eine ungerade Funktion, sin ist eine ungerade Funktion. Das Produkt von 2 ungeraden Funktionen ist eine gerade Funktion. Wenn ich eine gerade Funktion über eine bezüglich nursymmetrische Strecke integriere, dann darf ich folgende Umformung machen: ich integriere einfach nur von 0 bis zur oberen Grenze des Integrals und verdoppele den Integral. Dadurch erhalte ich dieselbe Zahl. Das ist Bemerkung Nummer 2 im theoretischen Beitrag. fu(x)sin(kx)dx. Nun spalte ich das Integral auf. Ich integriere aktuell von 0 bis π, diese Integrationsstrecke will ich in 2 Teile aufspalten. Zuerst will ich von 0 bis π/2 integrieren, wir werden gleich sehen, warum ich das mache, und dann integriere ich von π/2 bis π. Schlagt bitte nach, wie wir die Funktion fu definiert haben. Die Funktion fu war von 0 bis π/2=0. Das heißt, das 1. Integral =0. Von π/2 bis π, da gab es eine Formel und diese Formel setze ich ein. Also insgesamt habe ich folgende Umformung: der Koeffizient bk=2/π und das Integral, was ich gerade weggewischt habe, das 1. Integral von beiden ist 0 und das 2. Integral ist von π/2 bis π. Da setze ich einfach nur die Formel ein, durch die die Funktion fu auf der Strecke π/2 bis π definiert ist. Das war (x-π/2)×sin(kx)dx. Und es bleibt uns dieses Integral zu berechnen. Die Integrationstechnik ist die partielle Integration. Wieso habe ich 2/T hier geschrieben? Verzeihung, da habe ich mich verschrieben, das war hier 2/π. 2/π, Integrale von π/2 bis π, und wenn ich das Produkt von 2 Funktionen im Integral sehe, dann ist die partielle Integration das Naheliegenste was man machen soll. Also sin(kx) will ich hochleiten oder aufleiten, wie man es auch immer sagt, die Stammfunktion von sin(kx) ist -(cos(kx)/k)'dx, das war die identische Umformung und als Nächstes macht man die partielle Integration. Wie die partielle Integration funktioniert, wie sie weitergeht, das gibt es dann in der Fortsetzung zu dieser Aufgabe, die kommt jetzt, die steht gleich auf der Seite.

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2 Kommentare
  1. Default

    aha

    Von Shayan A., vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Warum wird hier nicht mit der ungeraden Funktion gerechnet??

    Von Tobisachse27, vor mehr als 3 Jahren