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Transkript Extrema von Funktionen zweier Variablen – das Vorgehen

Hallo, unser Thema heute ist Optimierung der Funktionen von 2 Veränderlichen. Optimierung, das heißt, wir suchen den größten oder den kleinsten Wert einer solchen Funktion. Na gut, jetzt wollen wir keine Worte verschwenden. Wir schauen jetzt also, gegeben ist in solchen Aufgaben eine Funktion f von 2 Veränderlichen, sie heißen x und y. Sie ist definiert manchmal auf ganz R2, manchmal auf einen Definitionsbereich D. Und wir suchen lokale und globale Extrema der Funktion f. Und glücklicherweise gibt es dazu eine einheitliche Vorgehensweise. Verächtlich nennt man so was Kochrezept. Dann wollen wir dieses Kochrezept durchgehen und anschließend Beispiele dazu anschauen. Gut, und als Erstes berechnen wir die partiellen Ableitungen der Funktion f, Ableitung von r nach Ableitung von y, und setzen die beiden Ableitungen gleich 0. Wir bekommen ein Gleichungssystem bestehend aus 2 Gleichungen bezüglich 2 Variablen x und y. Als Nächstes müssen wir dieses Gleichungssystem auflösen nach x und y. Und die Lösungen von diesem Gleichungssystem bezeichnet man mit x0, y0, ich würde sie in diesem Schema mit x0, y0 bezeichnen. Und die nennt man stationäre Punkte. Und wenn ihr wisst, was Gradient ist, ja Gradient ist Vektor, der aus partiellen Ableitungen besteht, dann kann man stationäre Punkte so definieren. Das sind die Punkte, wo der Gradient verschwindet. Also, dieses Gleichungssystem bedeutet, dass der Gradient gleich 0 ist. Gut, wenn wir das gemacht haben, dann gibt es einen 2. Schritt, wir sollen eine bestimmte Matrix ausrechnen, 1. Matrix und sie analysieren. Und am besten, ich brauche hier viel Platz, am besten wische ich hier ein bisschen. Gut, also wir haben im 1. Schritt die stationären Punkte x0, y0 ausgerechnet, es kann 1 Lösung geben, ja, es kann auch 3 oder 5 Lösungen geben. Ja, ist natürlich schlimm, wenn es 5 Lösungen gibt. Aber ich meine, die Lösung ist nicht eindeutig. Dieses Gleichungssystem aus dem Schritt 1 kann mehrere Lösungen haben. Okay, als 2. für jede solcher Lösungen berechnen wir die 1. Matrix. Berechne die 1. Matrix. Und ich erinnere, wie sie aussieht. Im Zusammenhang mit der Taylor-Formel haben wir diese 1. Matrix schon gesehen. Und sie besteht aus den partiellen Ableitungen 2. Ordnung der Funktion f, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. So, es entstehen überall 2. Ableitungen. Zuerst die 2. Ableitung der Funktion f in Bezug auf die Variable x, bezüglich der Variable x. Dann die gemischte 2. Ableitung. Ja, dann wieder die gemischte 2. Ableitung, das war kein Versprecher von mir. In der Hesse-Matrix steht tatsächlich die 2. Ableitung zweimal. Das war kein Versprecher. Und auf der Diagonalen stehen die zweiten Ableitungen einmal bezüglich x und einmal bezüglich y. So ein Konstrukt heißt die Hesse-Matrix.  Und jetzt noch einmal aufpassen, manche Leute verwechseln die Ableitungsmatrix mit Hesse-Matrix. Ableitungsmatrix besteht aus den partiellen Ableitungen 1. Ordnung, die Hesse-Matrix besteht aus den partiellen Ableitungen 2. Ordnung. Ja, also man muss sich im Klaren sein, dass die Ableitungsmatrix und Hesse-Matrix verschiedene Dinge sind. Dann, die Hesse-Matrix schreibt man für die Funktionen, die nach R abbilden. Nur für die Funktionen, die reellwertig sind, für vektorwertige Funktionen schreibt man die Hesse-Matrix nicht. Die Ableitungsmatrix schreibt man auch für vektorwertige Funktionen. Ja, man muss sich im Klaren sein, dass das verschiedene Matrizen sind.  Okay, also im 2. Schritt berechnen wir die Hesse-Matrix und werten die Hesse-Matrix an jedem stationären Punkt aus. Und ich erinnere, die stationären Punkte haben wir aus dem Schritt 1 bekommen. Und werte sie in jedem stationären Punkt x0,y0 aus. Ja. Und ja, dann gibt es ein einfaches Verfahren, also ich setze dann die ausgerechneten, stationären Punkte in die Hesse-Matrix ein. Ich bekomme eine 2-Kreuz-2-Matrix, bestehend aus Zahlen und solche Matrizen kann man klassifizieren. Man kann sagen, dass sie entweder positiv definit sind oder negativ definit sind oder indefinit oder abschließend semidefinit. Also wie entscheidet man, ob eine Matrix semidefinit oder nicht- oder positiv definit oder negativ definit ist? Das sage ich später, ja, das sage ich in diesem Beitrag später. Nun wollen wir voraussetzen, dass wir, das ist, ein einfaches Verfahren, nun, wenn wir entscheiden können, ob eine Matrix bestimmte Definiertheitseigenschaften hat, dann können wir sagen, dass die Funktion in Punkt x0, y0 ein Extremum hat. Nun, wenn die Hesse-Matrix an der Stelle x0, y0 positiv definit ist, dann weiß man, dass die Funktion in diesem Punkt ein lokales Minimum besitzt. Er hat ein lokales Minimum im x0, y0. Dann, wenn die Hesse-Matrix in einem Punkt x0,y0 negativ definit ist, dann weißt man, dass die Funktion ein lokales Maximum in x0,y0 besitzt. Wenn die Hesse-Matrix an der Stelle x0,y0 indefinit ist, dann weiß man, dass die Funktion f einen Sattelpunkt an der Stelle x0,y0 besitzt. Oder anders gesagt, der Punkt x0,y0 ist ein Sattelpunkt für f. Und schließlich der letzte Fall, wenn die Hesse-Matrix an der Stelle x0,y0 semidefinit ist. Das ist der unangenehmste Fall, dann liefert dieses Schema keine Entscheidung. Wir müssen dann die Funktion spezieller in diesem Punkt untersuchen und dazu gibt es leider keine allgemeine Vorgehensweise, kein Kochrezept. Man muss auf die konkrete Situation schauen, versuchen zu entscheiden, ob da tatsächlich das Extremum gegeben ist oder nicht. Ja, semidefinit, vorläufig keine Entscheidung, das schreibe ich an die Tafel.  Das heißt, im Fall der Semidefinitheit an der Stelle x0,y0 ist eine spezielle Untersuchung nötig. Gut, nun werde ich sagen, in welchem Fall ist dann eine Matrix positiv definit, negativ definit usw. Gut, das ist ja zusammenhängend, das soll man sich merken. Nun also merken, ihr wisst dann, anschreiben, in welchem Fall hält man eine Matrix für positiv, negativ, semi usw. definit. Gut, also Erinnerung: Eine Matrix, 2-Kreuz-2-Matrix, ich nenne die Matrix H, weil wir brauchen diese Untersuchung für die Hesse-Matrix. Eine Matrix H mit den Komponenten a, b, c, d, 2-Kreuz-2-Matrix, heißt positiv definit, falls die Zahl a, also die Zahl links oben in der Matrix, positiv ist, und die Determinante der Matrix H ebenfalls positiv ist. Die Matrix heißt negativ definit, falls die Zahl a negativ ist und die Determinante positiv ist. Ich habe mich jetzt nicht verschrieben, das heißt, sowohl im Fall der positiven als auch der negativen Definitheit fordert man, dass die Determinante der Matrix H positiv ist. Ja? Das ist kein Schreibfehler, in beiden Fällen ist die Determinante positiv. Bloß, im Fall der positiven Definitheit ist die Zahl a positiv, im Fall der negativen Definitheit ist die Zahl a negativ. Soweit so gut. Nun, die Matrix H heißt indefinit, falls die Zahl a von 0 verschieden ist und die Determinante H negativ ist. Ja, wenn die Determinante von der Hesse-Matrix negativ ist, dann wissen wir sofort, dass kein, Moment mal, da lieg ich falsch. Also wenn die Zahl a von 0 verschieden ist und wenn die Determinante der Hesse-Matrix negativ ist, dann wissen wir, dass wir kein lokales Maximum und kein lokales Minimum haben. Wir haben mit Sicherheit einen Sattelpunkt.  Gut, und jetzt der schlimmste Fall. Semidefinit oder halbdefinit, falls der Rest der Fälle, und ihr könnt euch selbst überlegen, was ist der letzte Fall, falls entweder falls einer der beiden Zahlen a oder Determinante H 0 ist. Falls einer der Größen a oder der Determinante H gleich 0 ist. Oder die beiden zugleich 0 sind, das ist semidefinit.  Gut, das war der sehr lange Schritt 2, jetzt kommen wir zu Schritt 3. Jetzt noch eine wichtige Bemerkung. Ja, okay, ich fasse zusammen, wir berechnen zuerst die stationären Punkte der Funktion, das heißt, die Punkte, wo der Gradient verschwindet und in diesen Punkten analysieren wir die Hesse-Matrix nach dem Schema, was ich angeschrieben habe. Und diese Untersuchung ist gültig nur für die stationären Punkte, die sich im Inneren des Definitionsbereiches befinden. Vielleicht mache ich das klar mit einer Zeichnung. Stellt euch vor, der Definitionsbereich einer Funktion ist ein Quadrat. Hier ist x, hier ist y. Wenn der stationäre Punkt nicht im Inneren des Definitionsbereichs liegt, sondern am Rande des Definitionsbereichs liegt, ja ungefähr hier. So, wenn der stationäre Punkt x0, y0 irgendwo im Inneren des Quadrats liegt, ziehen wir ruhig das Schema aus dem 2. Schritt durch. Das hat dann die Gültigkeit. Wenn der stationäre Punkt nicht im Inneren des Definitionsbereich liegt, sondern am Rande des Definitionsbereichs liegt, ja ungefähr hier. Zum Beispiel hier, so ist der 2. Schritt Schrott. Der 2. Schritt ist nicht anwendbar. Wenn der stationäre Punkt nicht im Inneren des Definitionsbereichs liegt, sondern am Rande des Definitionsbereichs liegt, ja ungefähr hier. Das heißt, Schritt 1 und Schritt 2 gelten nur für die Punkte im Inneren des Definitionsbereichs. Ja, okay. Achtung, Schritt 1 und 2 gelten, also nicht Schritt 1 und 2 gelten, sondern die Vorgehensweise in Schritt 1 und 2 gilt nur für die Punkte im Inneren des Funktionsbereiches D. Nur für die inneren Punkte des Definitionsbereichs D. Gut, daran sollen wir denken. Ja, und abschließend der 3. Schritt. Also im 3. Schritt kommt der Rest, also im 3. Schritt untersuchen wir die Randpunkte des Definitionsbereichs und die stationären Punkte, wo die Hesse-Matrix semidefinit ist. Also der 3. Schritt, spezielle Untersuchung der Randpunkte von D und der Punkte der stationären Punkte, wo die Hesse-Matrix, ich sage mal spezielle Untersuchung der Punkte x0,y0, wo die Hesse-Matrix semidefinit ist. Gut, ja, ich fasse zusammen. Um Funktionen von 2 Veränderlichen auf Extremwerte zu diskutieren, wir berechnen stationäre Punkte, indem wir den Gradienten 0 setzen. Dann, wenn diese Punkte im Inneren des Definitionsbereiches landen, dann diskutieren wir die Hesse-Matrix für diese Punkte. Und ansonsten abschließend untersuchen wir alle Randpunkte des Definitionsbereichs und die Punkte, wo die Hesse-Matrix semidefinit ist. Gut, Beispiele gibt es auf der Seite.

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2 Kommentare
  1. Default

    Ja kann ich, obwohl du sicherlich schon bestanden hast ;) Aber für alle anderen,
    ich glaube die Gleichung im Video ist falsch. Laut Wikipedia und auch alten KLausuraufgabe ist indefinit (Sattelpunkt) bei:
    a=0 und det<0

    Kann das jemand bestätigen?
    Quelle:http://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunkt Abschnitt: Mehrdimensionaler Fall

    Von Ebayviper, vor fast 5 Jahren
  2. Default

    wann ist denn ein extremum global?
    was tue ich wenn die hessematrix semidefinit ist? wie sieht die spezielle untersuchung aus?
    in der uni gabs eine aufgabe in der die Hessematrix so aussah: f"(0,1) = (02
    20)
    und die schlussfolgerung war, dass es sich um einen sattelpunkt handelt... versteh ich nicht, weil det H(0,1)=-4 und a =0
    müsste es doch eigentlich semidefinit sein und nicht indefinit

    kann mir jmd. helfen?
    danke

    Von Deleted User 3924, vor etwa 7 Jahren