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Transkript Extrema von Funktionen zweier Variablen – Aufgabe 2

Hier ist eine Aufgabe, wo wir eine Funktion in 2 Veränderlichen auf lokale und globale Extrema diskutieren sollen. Die Funktion ist hier gegeben. Sie ist definiert auf der ganzen xy-Ebene R2 und die Formel ist die hier. Nun, dann wollen wir das Standardschema durchexerzieren. Als Erstes sollen wir ausrechnen, in welchen Punkten der Gradient der Funktion f0 ist. Das heißt, wir sollen die stationären Punkte der Funktion f bestimmen. Gut, dann machen wir das. Das ist der 1. Punkt in unserem Masterplan: Bestimmung der stationären Punkte. Dazu sollen wir die partiellen Ableitungen der Funktion berechnen und sie gleich 0 setzen. Also, die partielle Ableitung nach x sieht wie folgt aus: Die Formel für f(x,y) schreibe ich noch einmal ab, also ich habe da (x2+2y2)×e-x2-y2. Das ist das Produkt von zwei Teilfunktionen und wir nutzen wie üblich erst einmal die Produktregel. Nach der Produktregel schreibt sich alles wie folgt hin: … Also, ich mache erst einmal die x-Ableitung ausführlich mit der Produktregel und der Kettenregel in allen Einzelheiten, und dann die y-Ableitung werde ich ein bisschen schneller rechnen. Diejenigen, die jetzt von dieser ausführlichen Rechnung genervt sind, gedulden sich bitte ein bisschen. Also, ganz ausführlich schreibt sich die Produktregel so: Erst einmal leite ich die 1. Funktion nach x ab und die 2. Funktion bleibt so stehen; dann schreibe ich +; die 1. Funktion bleibt stehen und ich leite die 2. Funktion ab. Okay, das ist die Produktregel angewandt. Nun will ich die Ableitungen ausrechnen. (x2+2y2) nach x ableiten macht 2x. Dann schreibe ich eine ganze Weile ab … (x2+2y2). Nun, soll ich die Exponentialfunktion ableiten, und weil in der Exponentialfunktion wieder eine Funktion steht, muss ich die Kettenregel anwenden. Also, die äußere Ableitung ist die Exponentialfunktion selbst; × die innere Ableitung – ich soll das, was unter der Exponentialfunktion steht nach x ableiten. Und die Ableitung ist offenbar (-2x). (-x2-y2) nach x abgeleitet, gibt -2x. So, nun wollen wir die Ableitung ein wenig zusammenfassen. Das ist alles zu lang. Wir schauen scharf auf die Formel, und wir haben hier die Summe aus 2 Termen und die beiden Termen haben einen gemeinsamen Faktor. Und diesen gemeinsamen Faktor will ich ausklammern, wie üblich. Also, das ist 2x×e-x2-y2; in der großen Klammer habe ich 1, und bitte beachtet dieses - bei 2, und dieses - gibt dann -x2-2y2. Gut, das ist die x-Ableitung unserer Funktion. Nun berechnen wir die y-Ableitung unserer Funktion. Nun mache ich die Rechnung recht schnell. Im Idealfall solltet ihr solche Rechnungen auch schnell durchziehen können. Und jetzt zeige ich vielleicht den Geschwindigkeitsstandard, wie man das machen sollte. Gut, dann wenden wir wieder die Produktregel an: Die 1. Funktion (x2+2y2) nach y abgeleitet, gibt 4y. Die Exponentialfunktion bleibt stehen. Dann, die 1. Funktion bleibt stehen: (x2+2y2). Dann leiten wir die Exponentialfunktion nach y ab und benutzen die Kettenregel, und das ergibt: e-x2-y2 und die innere Ableitung ist natürlich (-2y). Ich leite nach y ab. Als Nächstes klammere ich den gemeinsamen Faktor aus. Diesmal ist es 2y und die Exponentialfunktion, und in der Klammer bleibt (2-x2-2y2) stehen. So. Mit diesem Tempo soll jeder rechnen können. Gut, dann haben wir 2 Ableitungen berechnet. Nun wollen wir die beiden Ableitungen gleich 0 setzen und das sich daraus ergebende Gleichungssystem lösen. Stationäre Punkte bestimmt man aus dem Gleichungssystem ∂f/dx(x,y)=0, in Verbindung mit der Gleichung ∂f/∂y(x,y)=0. Die Ableitungen haben wir berechnet; die schreibe ich ab. So, die x-Ableitung war 2xe-x2-y2, dann haben wir die Klammer (1-x2-2y2). Und die y-Ableitung sah ähnlich aus: Das ist 2ye-x2-y2(2-x2-2y2). Gut, da haben wir dieses Gleichungssystem. Nun wollen wir das Gleichungssystem vereinfachen. Wir wollen manche Faktoren kürzen, aber wir sollen nicht zu viel kürzen. Wir sollen die Dinger so kürzen, dass wir keine Lösungen verlieren. So, und wir schauen dann genau auf die Gleichungen: Wir haben den Vorfaktor 2. Wenn wir den Vorfaktor 2 kürzen, dann gehen keine Lösungen verloren. 2 ist eine Konstante. Und die Exponentialfunktion hat immer positive Werte, das weiß man. Und wenn man halt irgendeinen Ausdruck mit einer Exponentialfunktion multipliziert, dann hat das keinen Einfluss auf die Nullstellen des Ausdrucks. Weil die Exponentialfunktion immer positiv ist. Das heißt, wir können die Konstante 2 und die Exponentialfunktion komplett streichen. Und das wird die Lösungsmenge von unserem Gleichungssystem nicht ändern. Also, nun wollen wir halt allerlei Müll wegstreichen, damit uns die Sicht auf das Wesentliche nicht versperrt wird. Ich habe hier die Gleichungen x×(1-x2-2y2)=0 und y×(2-x2-2y2)=0. Man weiß ja, dass man Gleichungssysteme im Allgemeinen so lösen kann, dass man mit der einen Gleichung die eine Variable ausdrückt und sie dann in die 2. Gleichung einsetzt. Dieses Verfahren ist hier nicht sinnvoll, weil wir hier ziemlich hohe Potenzen haben. Wenn ich x in die Klammer hinein multipliziere, in der 1. Gleichung, dann habe ich x3 irgendwo, und das ist nicht günstig. Es ist machbar, das alles nach y2 aufzulösen, dann das alles unten einsetzen. Es ist viel Rechnerei und dann riskieren wir, dass wir etwas falsch machen. Deswegen muss man anders vorgehen. Wir nutzen die bequeme Form dieser Gleichungen. Die Gleichungen haben die Form, dass man x mit einer Klammer ausmultipliziert, und daraus soll 0 werden. Das Produkt von 2 Faktoren ist 0 genau dann, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Und das gibt uns Anlass für eine bequeme Fallunterscheidung. Diese Fallunterscheidung werde ich gleich durchführen. Dazu brauche ich Platz. Am besten wische ich dann die Sachen, die ich nicht brauche, weg. Und wir führen diese Fallunterscheidung durch: Wenn man diese Fallunterscheidung geschickt macht, dann muss man wenig rechnen. Also, das Gleichungssystem, das wir zu lösen haben, das schreibe ich ab: x×(1-x2-2y2)=0, und dann y×(2-x2-2y2)=0. Okay, das ist das Gleichungssystem, das wir lösen sollen. Dann schauen wir mal auf die obere Gleichung: Wenn x=0 ist, dann ist die 1. Gleichung erfüllt und dann kümmern wir uns um diese Gleichung gar nicht. Wir konzentrieren unsere Bemühungen auf die 2. Gleichung. Also, Fall x=0: Die 1. Gleichung ist automatisch erfüllt; sie ist abgehakt. Die 2. Gleichung hat die Form: … (Vielleicht nummeriere ich die Gleichungen. Also, ich ordne ihnen die Nummern 1 und 2 zu.) Also, die Gleichung 2 sieht dann so aus: Ich setze einfach nur x=0 in die 2. Gleichung ein. Ich habe dann y×(2-0 … [„-0“, das schreibe ich gar nicht; das bewirkt nichts]… y×(2-2y2)=0. Liebe Leute, jetzt nicht y in die Klammer multiplizieren! Nicht irgendwelche … ich weiß nicht … irgendwelche Formeln für Nullstellen für Polynome vom Grad 3 benutzen. Cardanoformel. Nein! Nein. Also, man sieht anhand dieser Darstellung, man kann jetzt alles durch 2 teilen. Meinetwegen mache ich das: y×(1-y2)=0. Jetzt an dieser Stelle aufhören! Keine p-q-Formel, nichts! Man sieht anhand dieser Darstellung, dass y=0 sein kann, und y kann ±1 sein. Jetzt an dieser Stelle hört man auf mit dem Rechnen und merkt, was die Lösungen sind, weil wir haben dann alles in einer solchen multiplikativen Form auf der linken Seite und die rechte Seite ist 0. Also, dann haben wir folgende Lösungen: … (Die möchte ich separat irgendwo aufschreiben.) Also, Lösungen: … Vielleicht schreibe ich noch einmal hier: y=0 oder y=1 oder y=-1. Also, wir sehen, in der Situation, wo x=0 ist, da kann y 0, 1, oder -1 sein. Und das fixiere ich hier. Lösungen (x,y):  Stationäre Punkte: x kann gleich 0 sein; y kann dabei entweder 0 oder 1 oder -1 sein. Ohne viel zu rechnen, haben wir dann sofort 3 Lösungskandidaten. Und so geht es munter weiter. Das ist Fall x=0. Dann wollen wir die 1. Gleichung ausschlachten. Fall … Jetzt ist der 2. Faktor gleich 0: 1-x2-2y2=0. Das sieht nicht so einfach wie der 1. Fall aus, aber wenn wir genau schauen, dann ist ja alles nicht so schlimm. In dieser Situation ist x2+2y2=1. Und das können wir in die 2. Gleichung einsetzen. Also, diese Situation, wo x2+2y2=1 ist, kombiniert mit der 2. Gleichung, ergibt Folgendes: y×(2- … Und jetzt kommt dieser Ausdruck. Ich schreibe es ausführlicher: (x2+2y2). Das ist die 2. Gleichung. Und in der 2. Gleichung ersetzen wir den Ausdruck (x2+22) durch 1, weil wir eben diesen Fall betrachten. Also, ich habe hier insgesamt die Situation: y=0. Okay, das ist noch eine Lösung. Also, wenn y=0 ist und x2+2y2=0 ist, das liefert uns Folgendes: x2 soll 1 sein. Also, in die allerletzte Gleichung setze ich y=0 ein und bekomme dann x2=1. Na, daraus folgt, dass x=1 oder x=-1. Gut, dann habe ich noch mehr Lösungen: In der Situation, wo y=0 ist, da habe ich die Lösungen x=1 und x=-1. Dann fixiere ich das: x=1, y=0; x=-1, y=0. Dann habe ich diese stationäre Punkte ausgerechnet. Und dann kann ich dieses Spiel lustig weitertreiben. Ich habe erst mal die 1. Gleichung analysiert; ich kann jetzt dasselbe mit der 2. Gleichung machen. Das werde ich aber nicht ausführlich vormachen. Aus 2 Gründen: Erstens, es geht genauso. Also, ich betrachte dann die 2. Gleichung und ich betrachte die Situation y=0 und diskutiere das genauso, wie ich das hier mit der 1. Gleichung gemacht habe. Das ist der eine Grund. Der zweite Grund ist noch besser: Die Diskussion der 2. Gleichung liefert überhaupt keine neuen stationären Punkte. Also, wenn wir diese Diskussion mit der 2. Gleichung durchführen, dann bekommen wir dieselben Lösungen. Das ist so. Wenn wir die Rechnung aus einem anderen Blickwinkel durchführen, aus dem Gesichtspunkt der Gleichung 2, dann bekommen wir dieselben stationären Punkte. Deswegen erlasse ich mir das. An dieser Stelle höre ich jetzt auf mit der Diskussion der stationären Punkte. Ich habe sie alle schon ausgerechnet. Und euch empfehle ich, dass ihr die 2. Gleichung genauso durchexerziert wie ich die 1. Gleichung durchexerziert habe. Das ist nützlich, und überzeugt euch davon, dass man dieselben stationären Punkte bekommt.   Gut, das war der 1. Schritt. Wenn wir die stationären Punkte haben, dann müssen wir die Hessematrix an den stationären Punkten diskutieren. Und dazu: Die Hessematrix besteht aus Ableitungen 2. Ordnung. Und da wollen wir etwas machen. Da wollen wir zumindest anfangen zu rechnen. 2. Punkt: Diskussion der Hessematrix, oder einfach nur „die Hessematrix“. Sie besteht aus Ableitungen 2. Ordnung. Und die Ableitungen 2. Ordnung sind die Ableitungen der Ableitungen 1. Ordnung. Ich schreibe erst mal die Ableitung von x auf. Wir haben das irgendwo berechnet. Das war: 2xe-x2-y2(1-x2-2y2). Und das muss ich noch einmal nach x Ableiten, dann bekomme ich die Ableitung nach x 2. Ordnung. Wenn ich das nach y ableite, bekomme ich die gemischte Ableitung. Natürlich benutze ich hier wieder die Produktregel und die Kettenregel. Und damit ich die Produktregel vorteilhafter nutzen kann, damit ich nur 2 Faktoren habe, will ich dieses x, was hier außen steht, in die Klammer hinein multiplizieren. Dann habe ich 2e-x2-y2, und x will ich in die Klammer hineinschieben, da habe ich (x-x3-2xy2). Das ist so ein vorbereitender Schritt für die 2. Ableitung. Nun rechne ich die 2. Ableitung aus. Die 2. Ableitung der Funktion f nach x hat folgende Form: … Und dann das Übliche – ich benutze wieder die Produktregel und die Kettenregel. Und das mache ich diesmal nicht so ausführlich, sonst werde ich nicht fertig. Also, ich differenziere erst mal den 1. Anteil: 2 × Exponentialfunktion, das differenziere ich nach x und bekomme 2e-x2-y2 × die Ableitung der inneren Funktion. Die innere Funktion ist hier (-x2-y2), abgeleitet nach x gibt (-2x). So, und die 2. Funktion, diese lange Klammer, bleibt stehen: (x-x3-2xy2). Gut, das ist aber noch nicht alles. Die Produktregel erfordert, dass ich hier einen 2. Term habe. Erst mal die 1. Funktion einfach unberührt, ohne Ableitung, und dann muss ich diese 2. Klammer ableiten. Wenn ich die 2. Klammer nach x ableite, dann bekomme ich: x abgeleitet nach x gibt 1; x3 abgeleitet nach x gibt 3x2; und -2xy2 abgeleitet nach x gibt -2y2. Nun ist es natürlich ungünstig, die ganze Wirtschaft so zu lassen. Es ist vorteilhaft, die gemeinsamen Faktoren auszuklammern, und der gemeinsame Faktor hier ist 2e-x2-y2. So, dann schauen wir mal, was in der Klammer geblieben ist. Ich muss (-2x) in die Klammer hinein multiplizieren, dann bekomme ich (-2x2 … [Jetzt muss man ungemein aufpassen, damit man sich nicht verrechnet!]… +2x4+4x2y2 … Und die 2. Klammer übernimmt man einfach nur; das ist: … +1-3x2-2y2). Dann fasse ich noch einmal die Faktoren ein bisschen zusammen, damit es anständiger aussieht. Der konstante Faktor 1 bleibt stehen. Was kann ich tun? Ich habe hier Quadrate: -2x2 und -3x2, das kann ich ja zusammenfassen, das gibt -5x2. Dann habe ich die 4. Potenz von x: +2x4. Was habe ich dann? Na, hier habe ich dann -2y2. (Gut, das habe ich berücksichtigt.) Und dann der gemischte Term 4x2y2. Wir müssen dankbar sein, dass wir nicht die 3. Ableitung bilden sollen. Gut, das war die 2. x-Ableitung. Und wie man die 2. y-Ableitung berechnet, das ist klar. Genauso. Man rechnet ungefähr 2, 3 Minuten, und dann hat man es. Und die gemischte Ableitung genauso. Also, die 2. Ableitung nach y und die gemischte Ableitung will ich nicht vorrechnen. Ich schreibe einfach nur das Ergebnis hin. Und das sollt ihr selbst machen. Also, als Übung. Wie gesagt, Ableitungstechnik müsst ihr fix drauf haben. Das muss im Schlaf gehen, sonst hat man da keine Chance. Ich meine, bei der Klausur, und daran seid ihr alle interessiert. Also, bitte knipst jetzt die Pausetaste und rechnet das durch! Ich schreibe jetzt die Ergebnisse an und ihr vergleicht bitte eure Ergebnisse mit meinen Ergebnissen. Im Idealfall soll das halt übereinstimmen. Gut, hier unten stand die 2. Ableitung nach x. Und die 2. Ableitung nach y habe ich ausgerechnet. Das sieht hier genauso doof aus. Das ist: 2e-x2-y2 … [Jetzt kommt eine hässliche Klammer. So, und ich muss mich konzentrieren beim Abschreiben.] … (2-x2-10y2+4y4+2x2y2). Bitte rechnet das nach! Und der gemischte Term ist einfacher. Die Ableitung rechnet sich schneller und einfacher aus. Und das Ergebnis ist: … [Wo ist ein Ergebnis?] … -4xye-x2-y2 … So, und die Klammer ist ein bisschen angenehmer; das ist: (3-x2-2y2).   Gut, also da haben wir schon viel gemacht, in dieser Aufgabe. Die stationären Punkte sind da – das sind Kandidaten für lokale Extrema. Und die Ableitungen 2. Ordnung sind da; sie stehen an der Tafel. Die x-Ableitung habe ich ausführlich vorgerechnet; die y-Ableitung und die gemischte Ableitung, da sollt ihr selbst nachrechnen. Die Ergebnisse sind da. Nun kann ich die Hessematrix aufstellen. Das heißt, ich ordne auf der Hauptdiagonale die Ableitungen 2. Ordnung nach x und nach y. Und auf der Nebendiagonale stehen die gemischten Ableitungen. Wenn man die Hessematrix hinschreibt, so sieht sie wie folgt aus: … (Die stationären Punkte wische ich weg. Die merken wir uns. Beziehungsweise, ich habe hier alles auf dem Zettel.) Also, die Hessematrix sieht dann so aus: Ich ziehe am besten den gemeinsamen Vorfaktor 2×Exponentialfunktion nach vorne, und in der Matrix bleiben diese ellenlangen polynomialen Ausdrücke. Jetzt schreibe ich das schweigend ab. (1-5x2 … Vielleicht doch nicht schweigend; ich sage es an. (1-5x2+2x4-2y2+4x2y2), das ist, was uns von der x-Ableitung 2. Ordnung bleibt. Dann habe ich von der y-Ableitung 2. Ordnung … [Wie kann ich das alles in einer kurzen Zeile schreiben?] (2-x2-10y2+4y4+2x2y2). Das ist die Hauptdiagonale. Auf der Nebendiagonale landen die gemischten Ableitungen. Und davon habe ich -2xy(3-x2-2y2), und wieder dasselbe: -2xy(3-x2-2y2). Das ist die Hessematrix. Und ich betone, aus jedem Eintrag in der Hessematrix habe ich den gemeinsamen Faktor nach vorne gezogen (die Exponentialfunktion), um Platz zu sparen. Das darf man; aus den Matrizen darf man skalare Multiplikatoren herausziehen. Gut, die Hessematrix sieht hässlich aus, aber unsere stationären Punkte sind 0en und 1en. Deswegen, wenn ich hier 0en und 1en statt x, y einsetze, dann wird alles kinderleicht. Das ist die gute Nachricht. Und nun diskutieren wir die Hessematrix, Punkt für Punkt. Der 1. Punkt, der da stationär ist, ist der Punkt (0, 0). Die Hessematrix an der Stelle (0, 0) hat folgende Form: Jetzt setze ich statt x, y 0 ein, dann habe ich den Vorfaktor 2. Und diese polynomialen Ausdrücke sind uns egal – wenn x, y gleich 0 ist, dann verschwindet das alles. Und da habe ich 1 und 2 auf der Hauptdiagonalen, 0 auf der Nebendiagonalen, und das ist eine sehr hübsche Matrix. Man kann sehr schnell die Determinante ausrechnen. So, was sehen wir? Links oben steht 2. 2 ist positiv. Und die Determinante der Hessematrix an der Stelle (0, 0) ist klarerweise 8 (2×4=8). Das ist auch größer als 0. Nun denken wir an unser Kriterium: Erstens, der Punkt (0, 0) ist stationär; die Hessematrix an der Stelle (0, 0) ist positiv definiert. Also, man hat im Punkt (0, 0) ein lokales Minimum. Und so weiter und so fort. Das macht jetzt wenig Sinn, wenn ich die Punkte 1:1 einsetze. Das geht genauso. Vielleicht mache ich noch die Diskussion des Punktes (0, 1). Dann berechnet man die Hessematrix an der Stelle (0, 1). Das mache ich jetzt mit der Wisch-Methode. Da hat man den Vorfaktor 2/e. Und weiter muss man da ein bisschen rechnen. Wenn x=0 ist und y=1, dann hat man (1-2), dann hat man 0en auf der Nebendiagonalen, dann hat man rechts unten in der Ecke (2-10+4). So, das sollen wir ein bisschen ausrechnen. 1-2 macht -1, also habe ich hier -2/e. Ich habe den Vorfaktor in die Matrix hinein multipliziert. Dann, 2-10+4 macht 6-10, das ist -4. -4×2=-8, also habe ich hier -8/e. So, und dann ist es dasselbe Verfahren: Das Element hier links oben in der Ecke, -2/e, ist negativ. Die Determinante der Hessematrix ist offenbar positiv. Die Determinante können wir berechnen: Das ist 16/e2. Das ist größer als 0. Die Matrix ist somit negativ definiert und wir haben ein Maximum in diesem Punkt. Und so weiter und so fort. Es bleibt auch nicht viel übrig. Wir haben dann noch einen Punkt (0, -1) und (1, 0) und (-1, 0). Und dann macht das bitte selbst. Ich habe diese 2 Punkte vorgerechnet, alles andere ist routiniertes Einsetzen und Determinantenberechnung. Das wird eine gute Übung sein. Ich schreibe euch aber halt an der Tafel die Ergebnisse an. So, die Hessematrix haben wir schön diskutiert.   Und dann die Zusammenfassung: Ich stelle am besten alles in einer Tabelle zusammen. Die 1. Spalte lautet „Punkt (x,y)“; dann die 2. Spalte „Wert der Funktion“ (in dem entsprechenden Punkt); und in der 3. Spalte will ich angeben, ob da ein Minimum, ein Maximum oder ein Sattelpunkt vorliegt (in dem entsprechenden Punkt). Also, wir haben dann 5 stationäre Punkte ausgerechnet: (0, 0); (0, 1); (0, -1); dann (1, 0) und (-1, 0). Wir haben gerade festgestellt, dass im Punkt (0, 0) ein Minimum vorliegt, und im Punkt (0, 1) ein Maximum vorliegt. Das habe ich ausgerechnet. Und dass im Punkt (0, 0) ein Minimum vorliegt, das sieht man sofort, wenn man die Formel anschaut. Das sieht man sofort, weil die Exponentialfunktion  positiv ist; die Quadrate sind positiv – 0 ist das Kleinste, was da angenommen werden kann. Gut, und alles andere will ich einfach nur ergänzen. Man kann nachrechnen, dass im Punkt (0, -1) ebenfalls ein Maximum vorliegt. Und in den letzten 2 Punkten hat man Sattelpunkte. Dann kann man die Werte noch mal berechnen. Das mache ich hier so. Ich will die Werte nicht explizit berechnen, ich schreibe einfach nur die Ergebnisse an. Rechnet das bitte nach. Damit haben wir dann alle lokalen Extrema berechnet. So. Und bitte überlegt euch selbst, dass der Punkt (0, 0) auch das globale Minimum ist, und die Maxima, die wir hier angegeben haben auch globale Maxima sind. Und als Tipp dazu sollt ihr überlegen, dass die Funktion im Unendlichen den Grenzwert 0 hat. Damit habt ihr dann eindeutig geschlossen, dass die Maxima, die wir hier angeben, auch globale Maxima sind. Gut, das war es.  

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4 Kommentare
  1. Default

    Hi Ramona! Ja, Du hast Recht: Mit periodischen Funktionen wie Cosinus oder Sinus würde der Lösungsweg anders verlaufen. In dieser Aufgabe haben wir aber, Gott sei Dank, nur die Exponentialfunktion mal bequeme Polynome zweiten Grades. Deswegen funktioniert auch die Lösungsstrategie, die ich in diesem Video beschreibe. Ich freue mich, dass Du Dir die Videos anschaust und Dir dabei Gedanken machst! Gruß Sergej.

    Von Sergej Schidlowski, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Hi, du sagst das man keine weiteren stationäre Punkte erhält wenn man die zweite Gleichung betrachtet, aber gilt das auch für periodische Funktionen mit cos oder sin?

    Von Ramona M., vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    p.s.: es könnten gerne noch mehr sein, wenn es dir keine Umstände macht.

    Von Deleted User 2550, vor mehr als 7 Jahren
  4. Default

    Ich liebe die Beispiele von dir.

    Von Deleted User 2550, vor mehr als 7 Jahren