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Transkript Extrema von Funktionen zweier Variablen – Aufgabe 1 Teil 2

Jetzt kommt der 2. Teil unserer Aufgabe. Und die Aufgabe bestand darin, dass wir die Funktion f(x,y) (die ist gegeben durch die Formel) auf Extrema diskutieren, im Rechteck D. Rechteck D ist hier vorgegeben. Und im 1. Teil haben wir herausgefunden, dass in diesem zentralen Punkt mit den Koordinaten (0,1) die Funktion f einen Sattelpunkt hat. Und ansonsten gibt es im Inneren des Definitionsbereiches keine lokalen Extrema. Keine Sattelpunkte; keine stationären Punkte.   In diesem 2. Teil der Diskussion wollen wir den Rand des Definitionsbereiches untersuchen. Und der Rand des Definitionsbereiches ist ein Rechteck. Der Rand zerfällt auf natürliche Weise in 4 Teile - 4 Strecken. Und jede einzelne Strecke will ich im Einzelnen besprechen, und deswegen will ich diese Strecken benennen. Ich nenne dieses Rechteck ABCE. (Wundert euch nicht, dass ich den Buchstaben E genommen habe. Der Buchstabe D ist schon vergeben, in dieser Aufgabe. Mit D bezeichnen wir den Definitionsbereich, deswegen heißt ein Eckpunkt E.) Gut. Dann fangen wir am Besten mit der Randstrecke AB an. Randstrecke AB: Wenn wir einen beliebigen Punkt in der Randstrecke AB betrachten, dann sehen wir sofort, dass die x-Koordinate zwischen -1 und 1 ist, aber die y-Koordinate von diesem Randpunkt immer 0 ist. Und das wollen wir ausnutzen. Wenn der Punkt (x,y) in der Randstrecke AB enthalten ist, dann folgt daraus, dass die y-Koordinate gleich 0 ist, und x zwischen -1 und 1 liegt. Das ist eine nützliche Information. Nun können wir die Werte der Funktion f in diesen Randpunkten bequem analysieren. Das heißt, wir sollen y durch die Konstante 0 ersetzen. (Ach, was schreibe ich denn hier! y ist gleich 0!) ... durch die Konstante 0 ersetzen, und einfach nur x variieren, zwischen -1 und 1. Und dann bekommen wir die Formel: x2+(x-1). Und das ist sehr schön. Wir sehen, das gleicht einer Parabel. Und über Parabeln wissen wir jede Menge bescheid. Da gibt es nicht viel, was man da wissen soll. Wir wissen, dass die Parabel mit positivem Faktor vor dem Quadrat die Zweige nach oben hat, und dass sie im Scheitelpunkt ein Minimum haben wird. Und wir können das Minimum sofort bestimmen, ohne die Differenzialrechnung. Aber wenn ihr Lust habt, dann könnt ihr die Funktion ganz gewöhnlich auf Extrema diskutieren, mit den Methoden aus der Analysis I. Ich mache es anders, ich rechne einfach nur den Scheitelpunkt aus, und da weiß man, dass dort ein Minimum ist. Also, wir wollen da nicht so viel Aufwand treiben. Wir wollen mit Kanonen auf Spatzen schießen, ja? Also. Ich mache am Besten die quadratische Ergänzung, und das beschert uns Informationen über den Randpunkt. Die üblichen Tricks zur quadratischen Ergänzung: Ich stelle x als 2×(x/2) dar, dann addiere ich (½)2, dann subtrahiere ich (½)2 damit nichts Falsches passiert, und -1 bleibt hinten stehen, wie gehabt. Ja, und die ersten 3 Terme, das ist ein vollständiges Quadrat. Das können wir zusammenholen nach der binomischen Formel. Also, ich habe (x+½)2. Und (½)2 ist ¼; -¼-1 macht -5/4. Und anhand dieser Darstellung sehe ich sofort, dass sich der Scheitel der Parabel an der Stelle x=-½ befindet. Das heißt, dort haben wir ein Minimum, und der Wert an der Minimalstelle ist -5/4. Das ist eine sehr vorteilhafte Form. Also, daraus ziehen wir die Schlussfolgerung: Kandidat für ein Minimum ist der Punkt mit der x-Koordinate -½; y-Koordinate ist 0. (Auf dem Rand AB ist die y-Koordinate 0.) Und der vermutliche Minimalwert ist -5/4. Als Maxima dieser Funktion auf der Strecke von -1 bis 1 kommen dann die Werte in den Randpunkten. Und wir sehen, der Scheitel ist näher an dem Punkt -1. Das heißt, im Punkt -1 können wir kein Maximum haben, weil da ist der Scheitel - das Minimum - in der Nähe. An der Stelle x=1 werden wir ein Maximum haben. Ganz klar, man weiß, wie die Parabel aussieht. So, und das ist schön. Also, wir brauchen jetzt nicht irgendwelche mathematischen Methoden anzustrengen. Das ist sehr anschaulich, was wir haben. Gut. Und an der Stelle x=1 haben wir einen Kandidaten für ein Maximum. Kandidat für ein Maximum ist der Punkt (1,0). (Als Note ist das auch gut.) Und der Wert da ... Ich setze x=1 in unsere Formel ein, das ist 12+(1-1), das macht 1, insgesamt. Okay. Ich habe gesagt, Kandidaten für ein Minimum oder Maximum, weil wir nur eine einzige Strecke untersucht haben. Die Strecke BC, CE und AE werden auch irgendwelche Informationen über Minima und Maxima liefern. Und dann müssen wir all diese Informationen zusammenfassen. Gut. Das war die Strecke AB. Die habe ich ausführlich diskutiert. Und die restlichen Strecken kann ich schneller behandeln, weil da nichts anderes passiert. Also, die Vorgehensweise ist absolut dieselbe. Nun diskutieren wir die nächste Strecke gegen den Uhrzeigersinn. Die Strecke BC: Wir fangen standardmäßig an: Wenn der Punkt (x,y) in der Strecke BC enthalten ist, dann ist offensichtlich seine x-Koordinate gleich 1, und seine y-Koordinate variiert zwischen 0 und 2. Offenbar. Und das gibt uns an, dass die Funktion wie folgt zu berechnen ist: Wir ersetzen x durch 1, und y ist eine Variable zwischen 0 und 2. Also, wenn wir x=1 einsetzen, dann sehen wir ... Also, wir setzen einfach nur ein. 12+(1-1)×(y-1)2. Wir sehen dann, wir haben den Vorfaktor 1-1, das ist 0, und die Gesamtfunktion ist identisch gleich 1. Auf der Strecke BC. Und das ist super, weil wir nichts zu analysieren brauchen. Die Funktion ist konstant auf dem Rand BC. Jetzt wollen wir uns überlegen, was bedeutet das für unser Ziel? Wir wollen die Funktion auf lokale Extrema diskutieren. Auf der Strecke AB haben wir herausgefunden, dass 1 ein Kandidat für ein Maximum ist. Im Punkt B haben wir herausgefunden, dass die Funktion den Wert 1 annimmt. Nun haben wir herausgefunden, dass auf der gesamten Strecke BC der Wert 1 angenommen wird. Ich werde die gesamte Strecke als Kandidat für das Maximum behandeln. Also, Kandidat für das Maximum ... Das Ungewöhnliche in diesem Teil ist, dass wir als Kandidat für das Maximum nicht einen einzelnen Punkt haben, sondern eine zusammenhängende Strecke von Punkten. Und die werde ich so aufschreiben: Das sind Punkte mit den Koordinaten 1 und y, und y variiert zwischen 0 und 2. [An der Tafel verschrieben.] Als Nächstes betrachten wir die Randstrecke ... (der Reihenfolge nach!) Randstrecke CE: Und das ist alles dasselbe. y=2 auf dieser Strecke; x läuft zwischen -1 und 1. Ich werde das nicht aufschreiben, das ist klar. Das sieht man sofort. Dann habe ich f von x (läuft zwischen -1 und 1); y=2. Also, diese Vorrede lasse ich weg. Das ist klar, hoffe ich an dieser Stelle. Gut. Und dann setze ich in diese Formel statt y y=2 ein. Ich bekomme x2+x-1. Diese Formel ist eine Parabel, und diese Parabel haben wir schon auf Extrema diskutiert. Und wir haben ja festgestellt, dass es an der Stelle x=-½ einen Kandidaten für das Minimum gibt. Und an der Stelle x=1 gibt es einen Kandidaten für das Maximum. Okay? Gut. Kandidat für das Minimum ist der Punkt mit den Koordinaten -½ und 2 (2, weil wir uns auf der oberen Strecke CE befinden). Und da hat diese Parabel den Wert -5/4. Und den Kandidaten für das Maximum an der Stelle C schreibe ich gar nicht auf, weil er schon hier bei der Betrachtung der Strecke BC erfasst ist. (Nun sehe ich, ich habe mich verschrieben, bei der Strecke BC. Also bei der Strecke BC meine ich hier, y ist zwischen 0 und 2, natürlich. Ich habe vergessen, es zu schreiben. Nun ist alles gut.) Okay, jetzt bleibt nur die letzte Strecke AE. Und die wollen wir diskutieren, aber die Diskussion geht genauso. Dann sehen wir, dass die x-Koordinate -1 ist, und die y-Koordinate läuft zwischen 0 und 2. Dann setzen wir alles sorgfältig ein. Ich bekomme 1-2(y-1)2. Und das ist sehr schön, weil wir hier wieder eine Parabel haben, aber diese ist schon in der kanonischen Form. Da brauche ich keine quadratische Ergänzung zu machen. Ich sehe sofort, dass der Scheitel der Parabel beim Punkt y=1 ist. Also hier. Und daraus sehe ich sofort, dass die Zweige der Parabel nach unten schauen. Wir haben einen negativen Vorfaktor vor dem Quadrat. Das heißt, der Scheitel wird das Maximum sein. Also, Kandidat für das Maximum ist eben dieser Punkt mit y=1. Die x-Koordinate ist -1; die y-Koordinate ist 1. Und der Wert ist wieder 1 beim Einsetzen. Und Kandidaten für das Minimum, das sind ... Wie wir sehen, ist der Scheitelpunkt ziemlich genau in der Mitte der Strecke AE. Das heißt, für das Minimum haben wir 2 Kandidaten, Punkt A und Punkt E. Da schreibe ich diese Punkte hin. Die Koordinaten sind -1 und 0 für den Punkt A. Dann setzen wir alles ein. Da habe ich den Wert -1. Und dann der Punkt E: Die Koordinaten sind -1 und 2. Und da hat man natürlich auch denselben Wert -1.   Gut. Ja, liebe Leute, jetzt haben wir eine unüberschaubare Menge an Informationen. Jede Menge Punkte. Und das wollen wir langsam zusammenfassen. Bisher haben wir ausgerechnet, dass wir auf der Strecke BC überall den Wert 1 haben. Im Punkt hier links, in der Mitte der Strecke AE, haben wir auch den Wert 1. Als Nächstes haben wir ausgerechnet, dass wir hier oben und unten den Wert -5/4 haben. Und in den Punkten A und E haben wir jeweils den Wert -1. Nun fassen wir diese Informationen zusammen: Und am Besten sage ich es einfach nur mündlich. Ich mache es mündlich. Wir sehen, der größte Wert ist 1. Also, überall auf der Strecke BC und im Punkt hier links hat man das globale Maximum mit dem Wert 1. Und in den Punkten hier oben und unten, die grünen Punkte, hat man das globale Minimum mit dem Wert -5/4. Und die Punkte A und E mit dem Wert -1 sind unbedeutend. Das sind die Ergebnisse.  

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