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Transkript Exkurs: Kommutative Diagramme

Hallo, ich bin Sergej. Beim Thema Koordinaten und Darstellen der Matrizen hat man gelegentlich mit sogenannten kommutativen Diagrammen zu tun. In diesem Video besprechen wir, was das eigentlich ist, ein kommutatives Diagramm. Wir fangen mit einer einfachen allgemeinen Situation an, die wir dann später ausbauen, und dazwischen gibt es ein paar konkrete Beispiele. Wir stellen uns vor, in einer linear algebraischen Situation in einer Aufgabe sind 3 Vektorräume gegeben, sagen wir mal V, W und U. Und dazwischen wirken lineare Abbildungen. Die lineare Abbildung L bildet V->W ab, K:V->U und Φ:W->U. Das sind einfach nur irgendwelche Vektorräume und lineare Abbildungen. Es wird im Folgenden nicht darauf ankommen, was da konkret drinsteckt. Das ist einfach nur eine Ansammlung von Räumen und Abbildungen oder wir sagen mal ein System von Räumen und Abbildungen. Und dieses nennen wir kommutativ, falls Folgendes gilt: falls die Abbildung K= der Verknüpfung Φ Kringel L. Was bedeutet das anschaulich? Lasst uns am besten die Vektorräume und Abbildungen in einem Diagramm aufzeichnen. Wir haben hier Vektorräume V, W und U. Die Abbildung L bildet V->W ab, die Abbildung K bildet V->U ab; hier ist L, hier ist K. Und die Abbildung Φ bildet W->U ab. Und die Sache wird schon etwas übersichtlicher. Und statt des umständlichen Ausdrucks "das System von Räumen und Abbildungen, das System von Vektorräumen und linearen Abbildungen" sagen wir einfach nur das Diagramm. Also weg damit, mit der Umständlichkeit. Wir werden etwas einfacher und anschaulicher. So etwas nennen wir von nun an das Diagramm oder ein Diagramm. Nun lasst uns anschaulich verstehen, was denn die Kommutativität vom Diagramm bedeutet. Wir können Elemente des Vektorraumes V, sagen wir mal x, mit verschiedenen Abbildungen abbilden. Wir schicken erst mal x mit der Abbildung K vom Vektorraum V zum Vektorraum U. Wir gehen sozusagen entlang des Pfeiles K. Also, wenn wir das tun, so kommt unten im Vektorraum U das Element K(x) an. Man kann von V nach U aber auch entlang eines anderen Weges gelangen. Man kann so einen Umweg machen: zuerst hoch mit L zum Vektorraum W und dann runter mit Φ, dann landen wir wieder in U. Lasst uns auch diesen Weg verfolgen. Wenn ich x entlang des Pfeiles L zum Vektorraum W schicke, dann landet im Vektorraum W das Element L(x). Wenn ich dieses Element dann mit Φ nach unten schicke, dann bekomme ich unten im Vektorraum U das Element Φ(L(x)). Das lässt sich aber mithilfe der Abbildungskomposition umschreiben: Das ist dasselbe wie (Φ Kringel L)(x). Und nun nutzen wir die Kommutativität des Diagramms. Nach der Kommutativität muss die Komposition (Φ Kringel L)=K sein. Also wir schreiben das hier auf: also (Φ Kringel L)(x), das ist dasselbe wie K(x). Und wir sehen, dass wir entlang des U-Weges das Element K(x) bekommen haben, im Vektorraum U. Aber auch entlang des direkten Weges haben wir dasselbe Element K(x) bekommen. Also unser Ergebnis ist davon unabhängig, entlang welchen Weges wir gegangen sind, da unten im Vektorraum U immer dasselbe Element K(x) ankommt. Und das ist das Wesentliche an kommutativen Diagrammen. Das soll man sich merken. Also generell in einem Diagramm kann man zwischen 2 Stationen entlang verschiedener Wege gehen. Und das Diagramm heißt kommutativ, falls die Ergebnisse in der Endstation unabhängig davon sind, entlang welcher Wege wir gehen. Das soll man sich merken. Noch einmal: In einem kommutativen Diagramm sind die Ergebnisse in der Endstation davon unabhängig, entlang welcher Wege wir gehen. Wir veranschaulichen das an einem einfachen Beispiel. Als Beispiel betrachten wir 2 Matrizen A und B der Dimension 2 Kreuz 2. Bekanntlich lässt sich jede 2 Kreuz 2-Matrix als eine lineare Abbildung von R2 nach R2 interpretieren, durch die Matrixvektormultiplikation. Wir betrachten nun mit diesen linearen Abbildungen folgendes Diagramm. Ich nehme 3 Kopien des Vektorraumes R2, und zwischen diesen 3 Vektorräumen lasse ich die folgenden Abbildungen wirken: Von links nach schräg unten bilde ich mit der Matrix A ab, von links nach oben bilde ich mit der Matrix B ab, und oben nach unten bilde ich mit der Matrix A×B^-1 (B invers). Die Matrix B^-1 ist übrigens sinnvoll, weil die Matrix B invertierbar ist. Warum ist das so? Die Determinante der Matrix B ist offensichtlich =4×6, also =24. Die Determinante ist von 0 verschieden, deswegen ist die Matrix B invertierbar. Die inverse Matrix existiert und deswegen kann ich sinnvollerweise dieses Produkt bilden: A×B^-1. Lasst uns dieses Diagramm von Vektorräumen und Abbildungen untersuchen. Ich nehme hier im Vektorraum links in R2 einen Vektor und schicke ihn nach unten, entlang von diesem Pfeil. Also ich bilde mit der Matrix A ab, und als Ergebnis bekomme ich hier unten den Vektor A×x^->. Ich kann hier nach unten auch durch einen Umweg gelangen: zuerst nach oben gehen und dann direkt nach unten. Entlang vom Pfeil mit B bekomme ich hier oben den Vektor Bx^->. Und dann, wenn ich den Vektor Bx^-> mit der Matrix A×B^-1 abbilde, bekomme ich Folgendes: A×B^-1, und das sollen wir auf den Vektor Bx^-> anwenden. B^-1×B, das ist die Einheitsmatrix; Einheitsmatrix × A, das ist wieder die Matrix A; und wir bekommen A×x^->. Also wir sehen, egal, entlang von welchem Weg wir gehen, wir bekommen hier unten immer das gleiche Ergebnis A×x^->, unabhängig vom Weg. Und deswegen ist dieses Diagramm kommutativ. So und somit haben wir haben wir ein einfaches nachvollziehbares Beispiel für kommutative Diagramme. Dieses Digramm ist kommutativ. Lasst uns ein anderes Beispiel betrachten. Wir nehmen dieselben Vektorräume R2, R2 und R2, 3-mal dasselbe, genauso angeordnet. Die Abbildungen wirken in denselben Richtungen. Von links nach unten wirkt nach wie vor die Matrix A, von links nach oben wirkt nach wie vor die Matrix B. Von oben nach unten lassen wir jetzt aber eine andere Matrix wirken, sagen wir mal die Nullmatrix, die besteht aus lauter Nullen. Ja, Multiplikation mit der Nullmatrix ist auch eine lineare Abbildung, kein Problem. Nun, was passiert mit diesem Diagramm, wenn ich dasselbe Spiel spiele, wie zuvor? Also ich nehme hier im Vektorraum links einen Vektor x^-> und schicke ihn nach unten entlang von 2 Wegen, einmal mit A; das Ergebnis ist wie gehabt A×x^->. Und dann einmal mit dem Umweg, zuerst nach oben, das Ergebnis oben ist Bx^->, und dann nach unten mit der Nullmatrix. Also Nullmatrix, multipliziert mit einem beliebigen Vektor, ergibt den Nullvektor. Und es landet hier der Nullvektor am Ende. Also wir sehen, dass wir entlang von einem Weg das Ergebnis Ax^-> haben, entlang vom anderen Weg wir das Ergebnis 0 haben. Und diese 2 Vektoren sind nicht unbedingt gleich. Sie sind genau dann gleich, wenn der Vektor x^-> im Kern der Matrix A liegt. Also diese Vektoren, diese Ergebnisse können gleich sein, müssen es aber nicht. Im Allgemeinen sind sie nicht gleich. Deswegen ist dieses Diagramm nicht kommutativ. Also die Ergebnisse, die wir in der Endstation bekommen, sind eventuell vom Weg abhängig. Also ist das kein kommutatives Diagramm. Also das hier ist nicht kommutativ. Wir haben bisher Diagramme mit 3 Vektorräumen und 3 linearen Abbildungen betrachtet. Wir haben verstanden, was die Kommutativität dieser Diagramme bedeutet. Nun, der Begriff der Kommutativität lässt sich auf beliebige Diagramme ausdehnen. Lasst uns diese Tatsache an einem Beispiel illustrieren. Wir betrachten hier diesmal 4 Vektorräume, 4 lineare Abbildungen. Lasst uns für diese Vektorräume und Abbildungen das Diagramm erstellen und die Bedingungen formulieren, unter welchen dieses Diagramm kommutativ ist. Die Vektorräume, die diesmal im Spiel sind, lauten V, W, X und Y. Es wirken die Abbildungen zwischen V und W, zwischen X und Y. Dann haben wir Abbildungen von V->X und von W->Y. Die Abbildung von V->W heißt L, von X->Y heißt K, von V->X heißt φ und von W->Y heißt ψ. Wir haben so ein Diagramm. Und unter welchen Umständen ist dieses Diagramm kommutativ? Wenn ich von einer Station zur anderen Station gehen will, also in diesem Fall von V nach Y, so sollen die Ergebnisse wegunabhängig sein. Wir haben hier 2 Wege zwischen V und Y, die denkbar sind, einmal hier unten und einmal hier oben. So, wenn ich hier unten gehe, dann muss ich zuerst mit φ abbilden, dann lande ich in X. Und dann muss ich mit K abbilden, dann lande ich in Y. Wenn ich andersrum gehe, dann muss ich zuerst mit L abbilden und dann mit ψ. Das Diagramm heißt kommutativ, wenn die Ergebnisse bei diesen 2 Wegen gleich sind. Also das Diagramm ist genau dann kommutativ, wenn diese Gleichheit hier besteht. Ja und das ist die Kommutativität für 4 Vektorräume und 4 lineare Abbildungen. Aber man kann es auch für beliebig viele Vektorräume machen. Ja. Noch ein Beispiel: Wir nehmen an, es ist noch ein Vektorraum ins Spiel gekommen, ich sage mal U. Und wir haben noch 2 Abbildungen von Y->U und von W->U. Die Abbildung von W->U nennen wir F, die Abbildung von Y->U nennen wir G. So, also wir haben noch einen Vektorraum U und Abbildungen F:W->U und G:Y->U. Unter welchen Umständen ist dieses Diagramm kommutativ? Wir müssen noch dieses Dreieck kommutativ machen. Und es gibt hier 2 Bewegungen von W->U, einmal direkt mit der Abbildung F und einmal über einen Umweg hier unten, zuerst mit ψ und dann mit G. Damit das Diagramm kommutativ ist, müssen die Ergebnisse entlang der beiden Wege übereinstimmen. Das heißt, egal, ob ich mit F gehe oder zuerst mit ψ und dann mit G, die Ergebnisse sollen gleich sein. Genau dann, wenn diese 2 Gleichungen erfüllt sind, ist dieses große Diagramm kommutativ. Und dieses Spiel kann man beliebig weitertreiben. Und das unterlassen wir an dieser Stelle und fassen am besten zusammen. Was sollen wir uns merken? In einem Diagramm kann man zwischen 2 Stationen entlang verschiedener Wege gelangen. Also hier zum Beispiel von V->U gelangt man zum Beispiel mit L, dann mit F; oder mit L, dann mit ψ dann mit G; oder mit φ, dann mit K, dann mit G. Und das Diagramm heißt kommutativ, wenn das Ergebnis in der Endstation vom Weg unabhängig ist. Und das lässt sich immer durch solche Formeln ausdrücken. Ich danke euch für eure Aufmerksamkeit!

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