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Transkript Einführung in Gradient, Rotation, Divergenz

  In diesem Beitrag wollen wir die Definitionen von Grundoperationen der Vektoranalysis erläutern: Gradient, Divergenz und Rotation. Die Definitionen stehen schon an der Tafel. Ich habe sie vorbereitend hingeschrieben. Na also: Wir gehen davon aus, dass uns eine Funktion f gegeben ist (eine reell wertige Funktion) und ein Vektorfeld F^->. Die Komponenten des Vektorfeldes F^-> habe ich (P, Q, R) genannt; das ist auch Standard. Man kann sie auch mit (F1, F2, F3) bezeichnen, je nach Geschmack. Dann ... Was ich nicht hingeschrieben habe, was ich aber voraussetze, ist, dass die Funktion f und Vektorfeld F^-> differenzierbar sind. Das schreibe ich aber nicht an, weil es ja selbstverständlich ist. Ich schreibe hier weiter partielle Ableitungen - damit die partiellen Ableitungen existieren, da muss man voraussetzen, dass diese Objekte differenzierbar sind. Nun sehen wir die Definition des Gradientenvektors. Das haben wir schon vorher bei dem Thema Differenzierbarkeit gesehen. Der Gradienten kann nur für eine reell wertige Funktion berechnet werden und besteht aus partiellen Ableitungen der Funktion nach einzelnen Variablen. Und den Gradienten kann man sowohl als Zeile als auch als Spalte schreiben. Das ist egal. Gut. Divergenz wird dann wie folgt definiert: Wie kann man es sich merken? Die 1. Komponente des Vektorfeldes (P) leitet man partiell nach der 1. Variable (x) ab. Plus die 2. Komponente nach der 2. Variablen abgeleitet; plus die 3. Komponente nach der 3. Variablen abgeleitet. Das kann man sich hier gut merken. Die 1. Komponente nach der 1. Variablen abgeleitet; plus die 2. Komponente nach der 2. Variablen abgeleitet; 3. Komponente nach der 3. Variablen abgeleitet. Vielleicht wäre das einfacher zu merken, wenn ich das mit Indizes gemacht hätte: ∂F1/∂x1+∂F2/∂x2+∂F3/∂x3 - wobei (P, Q, R), das ist (F1, F2, F3). Und (x, y, z), das ist (x1, x2, x3). Man kann verschiedene Notationen nutzen, und dann kann man sich die Definition der Divergenz in dieser Notation mit Indizes vielleicht besser merken. Aber ich bleibe bei meiner ... Aber ich mag diese Regel nicht. Wo man viele Indizes hat, da macht man sehr oft Fehler. Ich bleibe bei den Buchstaben (P, Q, R). Und Rotation: Hier macht es wenig Sinn irgendetwas zu kommentieren. Wo welche Buchstaben und wo welche Indizes stehen, das ist dann erst mal ein Salat. Hier erkennt man wenig Struktur. So ist erst mal der Rotationsvektor definiert: Zu einem Vektorfeld F^-> berechnet man ein weiteres Vektorfeld nach den gegebenen Regeln.   Und nun wollen wir versuchen, in diesen Rechenregeln für Divergenz und Rotation eine einheitliche Struktur zu erkennen. Und das ist möglich, wenn man einen formalen Vektor einführt, den sogenannten Nabla-Vektor. Die Definition vom Nabla-Vektor schreibe ich gleich an: "Betrachte den formalen Vektor" (oder symbolischen Vektor). Der besteht nicht aus Zahlen, nicht aus Funktionen, sondern aus Differenzialoperatoren: (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z). Dieser Vektor wird durch dieses Dreieck bezeichnet und wird "Nabla" genannt. Ich betone, das ist kein echter Vektor! Damit es ein echter Vektor ist, da müssten da Zahleneinträge stehen. Hier stehen aber keine Zahlen sondern Differenzialoperatoren. Deswegen spricht man von einem formalen Vektor, oder einem symbolischen Vektor. Vielleicht passt das Wort "symbolisch" hier besser in diesem Zusammenhang. Gut. Und wenn man diesen formalen Vektor Nabla eingeführt hat, dann kann man die Definition für Gradient, Divergenz und Rotation einheitlich schreiben. Und zwar: Den Gradienten kann man sich denken (den Gradient der Funktion f) als Vektor Nabla, zusammengeschrieben mit der Funktion f. Tatsächlich, wenn man in diese Definitionszeile einfach nur formal-symbolisch die Funktion f hereinschreibt, dann bekommt man den Gradienten. Und deswegen schreibt man den Gradienten symbolisch so: Nabla f. (Jetzt muss der rote Buchstabe weg. Moment mal.) So. Und mit dem Gradienten ist es ja ziemlich billig. Wenn man nur in diesen symbolischen Vektor Nabla den Buchstaben f reinschreibt, dann ist es der Gradient. Also, das ist ein ziemlich billiges Spiel. Und dafür ist es natürlich nicht gemacht, das wissen wir. Mehr Sinn macht es mit Divergenz und Rotation. Und ich hoffe, ihr könnt erraten, wie man die Divergenz mit dem Nabla-Vektor aufschreiben kann. Die Divergenz des Vektorfeldes F^-> kann man als Skalarprodukt von Nabla und des Vektorfeldes schreiben. Meist schreibt man das Skalarprodukt nicht so aufwendig mit diesen eckigen Klammern, sondern ganz kurz: Nabla • F^-> (aber ein ganz dicker Punkt, damit man das eben nicht übersieht). So kann man offenbar Divergenz aufschreiben, wenn man die Multiplikation der Komponenten des Vektors Nabla mit den Komponenten des Vektorfeldes F^-> nicht als echte Multiplikation auffasst, sondern als Anwendung des Differenzialoperators auf die entsprechende Funktion. Ich mache noch einmal deutlicher, was ich jetzt gesagt habe:  ∂/∂x × Funktion P. Also, wenn ich dieses Produkt bilde, dann meine ich kein echtes Produkt, keine echte Multiplikation, sondern eine Anwendung des Differenzialoperators ∂/∂x auf die Funktion P, das heißt, eine partielle Ableitung von P nach x. Gut, und mit dieser Konvention kann man Divergenz als Skalarprodukt von Nabla und dem Vektorfeld schreiben. Und nun kann man entsprechend die Rotation hinschreiben. Also, die Rotation des Vektorfeldes F^-> ist dann das Kreuzprodukt von Nabla und dem Vektorfeld. (Vielleicht wische ich jetzt die umständliche Schreibweise für Divergenz weg und lasse nur das Notwendige hier stehen. Und vielleicht bekommen diese 3 Formeln einen roten Rahmen.) Hier sieht man, dass diese 3 aufwendigen Formeln sich sehr kurz schreiben lassen, wenn man den symbolischen Vektor Nabla benutzt. Und so kann man sich diese 3 Formeln wunderbar merken. Der Gradient von f ist einfach nur Nabla multipliziert mit f. Die Divergenz von F^-> ist das Skalarprodukt von Nabla und F^->. Und die Rotation ist das Kreuzprodukt von Nabla und F^->. Wer Schwierigkeiten mit dem Kreuzprodukt hat, oder Berührungsängste, der sei auf den entsprechenden Beitrag auf dieser Seite hingewiesen. Wir haben da Kreuzprodukte ausführlich diskutiert, mit Beispielen. Also guckt euch das an. Gut. Die 3. und letzte Formel ist vielleicht nicht so ganz offensichtlich. Ich will als Nächstes zeigen, dass die Umschreibung der Rotation durch das Kreuzprodukt mit dem Nabla-Vektor tatsächlich das ergibt, was ich am Anfang geschrieben hatte. Dann lasst uns das kurz nachrechnen. (Den Vektor Nabla haben wir uns gemerkt, den brauchen wir nicht mehr. Ich wische alles weg und es bleibt nur die letzte Definitionsformel übrig.) Also, dann rechnen wir nach: Das Kreuzprodukt von Nabla und F^->. Jetzt schreibe ich die Komponenten des Nabla-Vektors aus; das sind die Ableitungen nach x, nach y und nach z. Dann kommt das Vektorfeld F^->. (Den Pfeil habe ich vergessen. Den Pfeil vergesse ich auch gerne. Mathematiker schreiben keine Pfeile oberhalb von Vektoren.) Das Vektorfeld F^-> hat die Komponenten (P, Q, R). Und nun sollen wir das Kreuzprodukt bilden. Das Kreuzprodukt bilde ich nach der sogenannten Determinantenregel. Derjenige, der die Determinantenregel nicht kennt, der schaue sich bitte den Beitrag auf dieser Seite an, da habe ich diese Regel erläutert. Nach der Determinantenregel ist die erste Komponente des Kreuzproduktes die Determinante der Matrix aus den 4 Elementen, die ich gerade markiert habe. Also: ∂/∂y×R. Ich sage „ד, aber ich meine keine Multiplikation! Hier meine ich die partielle Ableitung von R nach y. Dann: -∂/∂z×Q. Und wir sehen, das ist genau das, was in der 1. Zeile der ursprünglichen Definition steht. Und so weiter. Dann nehme ich - die Determinante, und ihr wisst, von welchen Elementen: ∂/∂x×R-∂/∂z×P. Und schließlich, die 3. Komponente ist … Ich markiere wieder die entsprechenden Elemente. So, das ist die Determinante der Matrix aus den Komponenten, die ich mit der gestrichelten Linie markiere. Mit dem Vorzeichen +. Also: ∂/∂x×Q-∂/∂y×P. Und wir bekommen … Mein Gott, jetzt stimmt etwas nicht. Ja, ich habe hier die Formel falsch hingeschrieben. Entschuldigung. Statt R muss hier P stehen. Das ist ein Schreibfehler von mir, Entschuldigung. Okay, jetzt stimmen die Formeln überein.  Das ist ein bisschen peinlich, aber das ist wirklich ein Schreibfehler von mir. Entschuldigung. Das kommt mal vor. Nun sehen wir, wenn wir im 2. Beitrag das Minus in die Klammer hineinschieben, dann bekommen wir genau die Formel, die da vorher gestanden hat. Und warum mache ich das? Sinn der Sache ist, man soll diese Buchstaben nicht auswendig lernen. Das ist einfach nur Müll. Also, man soll sich nicht den Kopf vermüllen. Am besten merkt man sich die Rotation als Kreuzprodukt des Nabla-Vektors mit dem Vektorfeld. Das ist sehr kurz; man kann es sich merken. Und man kann dann, jedes Mal, wenn Bedarf entsteht, das Kreuzprodukt ausrechnen. Dann macht man das nach der Determinantenregel. Bitte tut euch selbst den Gefallen, lernt diesen Buchstabensalat nicht auswendig. Einfach nur auswendig lernen ist manchmal schädlich. In diesem Fall auf jeden Fall. Also nutzt diese Schreibweise mit dem Kreuzprodukt und die Determinantenregel für die Berechnung des Kreuzproduktes.   Das sind bloß die Definitionen. Es ist natürlich an dieser Stelle nicht klar geworden, wozu das alles da ist. Und ich kann gar nicht in aller Ausführlichkeit erläutern, wozu man Rotation und Divergenz braucht, weil es den Rahmen dieses Beitrags sprengen würde. Ich kann nur andeuten, dass es sehr oft in der Vektoranalysis vorkommt. Also, die Vektoranalysis ist der Bereich der Analysis, der sich mit Kurvenintegralen, Oberflächenintegralen und Volumenintegralen beschäftigt. Und diese komischen Integrale haben natürlich Beziehungen zueinander. Wenn man diese Beziehungen untersucht, dann kommen immer wieder diese Differenzialoperatoren zum Gebrauch. Soweit gesagt. Das ist ein bisschen nebulös, was ich jetzt gesagt habe, aber ich kann es nicht ausführlicher machen, sonst … Es ist einfach nur nicht machbar an dieser Stelle. Genauer, die Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale und Volumenintegrale hängen miteinander zusammen durch die berühmten Integralsätze - der Integralsatz von Gauß und der Integralsatz von Stokes. Wenn man sie hinschreibt, diese beiden Sätze, dann tauchen dort Divergenz und Rotation auf. Und das gehört zum Kurs Analysis II. Die Beiträge befinden sich auch auf dieser Seite. Gut, aber wenn man einfach nur Divergenz und Rotation das erste Mal gesehen hat, dann kann man gar nicht verstehen, wozu man das braucht. Wer es nicht versteht, der mache sich keine Sorgen darüber. Die Divergenz und Rotation lassen sich doch physikalisch interpretieren. Und die physikalische Interpretation von diesen Dingen gibt es in einem Beitrag, ebenfalls auf dieser Seite, den ihr euch schon jetzt ansehen könnt. Den mache ich verständlich ohne Vorkenntnisse aus der Vektoranalysis.   Nun zum Schluss, damit wir uns ein bisschen an diese 3 Differenzialoperatoren gewöhnen, möchte ich ein paar Rechenregeln präsentieren. Es gibt sehr viele Rechenregeln damit … Nicht sehr viele, aber genug. Davon greife ich 3 Regeln heraus und schreibe sie an die Tafel. Und wir wollen eine davon sogar nachrechnen. Wir kennen aus der reellen Analysis, aus der Analysis I, die Produktregel. Wir kennen das aus der Schule. Sie sieht folgendermaßen aus: Wenn ich 2 Funktionen f und g ableite, dann gilt folgende Regel: Zuerst muss ich f ableiten und mit g ausmultiplizieren, das ist der eine Term. Dazu kommt noch ein Term: f×g‘. Das war die Produktregel für die Differenziation. Und diese Produktregel wird sich auf die Operatoren Rotation, Gradient und Divergenz übertragen. Aber nicht so buchstäblich - es ergeben sich Modifikationen. Und welche sind das? Das zeige ich euch gleich. Also, die Produktregeln sehen so aus: Für die Funktionen f und g (das sind ja reell wertige Funktionen) von R3 nach R, und ein Vektorfeld F^-> von R3 nach R3 gilt Folgendes: (Natürlich setze ich voraus, dass f, g und F^-> differenzierbar sind. Das versteht sich. Wir leiten alles überall ab, und damit man das machen darf, müssen die Objekte differenzierbar sein. Das ist stillschweigend vorausgesetzt.) Wenn ich den Gradienten des Produktes f×g bilde, dann erfolgt das nach der folgenden Regel: Das ist gleich g×gradf+f×gradg. Zweitens, wenn ich die Divergenz von f×F^-> bilde, dann erfolgt das nach der folgenden Regel: Das ist grad f•F^->+f×divF^->. (Mit diesem • meine ich das Skalarprodukt.) Und drittens,  rot(f×F^->)=gradf[Kreuz]F^->+f×rotF^->. Das sind einfache Konsequenzen der Produktregel. Noch einmal, wie sieht die Produktregel aus?  (f×g)‘ … Ich unterstelle jetzt, dass f und g von einer Veränderlichen abhängig sind. Dann ist das f’×g+f×g‘. Also, bei der Produktregel zerfällt die Ableitung in eine Summe aus 2 Summanden. Und beim 1. Summanden wirkt der Differenzialoperator auf den einen Faktor, der andere Faktor bleibt unberührt. Im 2. Summanden wirkt der Differenzialoperator auf den 2. Faktor, der 1. Faktor bleibt unberührt. Und dieses Prinzip ist überall hier bestätigt. Wenn ich grad(f×g) bilde, dann wirkt der Differenzialoperator Gradient zuerst auf f, g bleibt unberührt, dann umgekehrt auf g und f bleibt unberührt. Hier bei der 2. Formel haben wir dasselbe: Wenn ich die Divergenz von f×F^-> bilde, dann wirkt der Differenzialoperator zuerst auf f. (Man kann keine Divergenz der Funktion f ausrechnen, deswegen wird aus der Divergenz hier der Gradient. Wenn der Differenzialoperator auf f wirken soll, dann sinnvollerweise als Gradient.) Plus, und dann wirkt der Differenzialoperator auf F^->, auf den 2. Faktor. Und der 1. Faktor, f, bleibt unberührt. Dasselbe mit der Rotation. Die Modifikationen sind in jedem Fall eine andere Modifikation - manchmal sollen die Faktoren durch das Skalarprodukt verknüpft werden; manchmal sollen sie mit dem Kreuzprodukt verknüpft werden. Die Modifikationen ergeben sich aus der Spezifik des Differenzials und des Operators, von dem gerade die Rede ist. Aber diese Tendenz zu diesem Grundprinzip der Produktregel ist überall bestätigt. Und so braucht man die Formeln nicht wirklich auswendig zu lernen, wenn man die Produktregel kennt. Nun will ich beispielsweise die 2. Regel nachrechnen. Ich empfehle euch, dass ihr auch die 1. und die 3. Regel nachrechnet. Die 1. ist sehr einfach, die 3. ist relativ aufwendig. Aber macht es, das ist nichts Schwieriges. Man lernt einfach nur den Umgang mit Kreuzprodukt und Rotation. So, die 2. Regel will ich an der Tafel beweisen. Also: div(f×F^->). F^-> ist ein Vektorfeld, dessen Komponenten ich (P, Q, R) genannt habe. Also schreibe ich auch (f×P, f×Q, f×R). Nun benutze ich die Definition der Divergenz. Das ist die 1. Komponente des Feldes (f×P), abgeleitet nach der 1. Variablen (x), plus die 2. Komponente des Feldes (f×Q), abgeleitet nach der 2. Variablen  (y), und dann die 3. Komponente des Feldes (f×R), abgeleitet nach der 3. Variablen (z). Nun, wenn es um Ableitungen nach einer Variablen geht, dann kann ich die ganz normale Produktregel aus der Analysis I benutzt. (Und an dieser Stelle bekomme ich Platzprobleme. Mein Gott. Dann wische ich einiges weg und rechne weiter. Moment mal. Das war jetzt nicht günstig, platzpolitisch, aber wir müssen damit leben.) Also gut, dann wende ich die Produktregel auf die 1. Ableitung hier an. Also: (∂f/∂x×P+f×∂P/∂x)+)+ … Und dasselbe mache ich im 2. Term: (∂f/∂y×Q+f×∂Q/∂y)+(∂f/∂z×R+f×∂R/∂z). Nun habe ich 6 Terme an der Tafel und ich muss sie geschickt gruppieren. Also, ich gruppiere erst mal die Terme, wo f ohne Ableitung heran multipliziert ist. (Die unterstreiche ich gleich.  Und ich führe die Rechnung hier oben weiter. Alles, was ich jetzt nicht mehr kommentieren möchte, das wird weggewischt. So, ganz vorsichtig, damit ich nicht das Wichtige wegwische. Gut, und hier oben rechne ich weiter. Es ist ein bisschen chaotisch. Ich bitte euch um Entschuldigung. Also, von hier geht die Rechnung hier weiter.) Dann gruppiere ich die unterstrichenen Terme. Also: ∂f/∂x×P (Das ist nicht unterstrichen.) +∂f/∂y×Q+∂f/∂z×R (Das sind ja die Terme, die ich nicht unterstrichen habe.) Dann gruppiere ich die unterstrichenen Terme und da kann ich f schon ausklammern. Also: f ausgeklammert, und dann die Terme (∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z). Das waren die unterstrichenen Terme. Und wir sehen, dass die Klammer, die ich unterstrichen habe, das ist nichts anderes als die Divergenz des Feldes. Hier vorne die Summe aus 3 Termen, die ich nicht unterstrichen habe, das ist das Skalarprodukt. Ich schreibe es aus: Das ist das Skalarprodukt, (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) (das ist ein Vektor) skalar multipliziert mit dem Vektorfeld (P, Q, R), + f×divF^->. Und im linken Eintrag im Skalarprodukt stehen partielle Ableitungen der Funktion f, und das ist natürlich der Gradient. Deswegen schreibe ich das dann kürzer: gradf … Für das Skalarprodukt nehme ich einen dicken Punkt: • … dann kommt das Vektorfeld F^-> … und + der 2. Term bleibt unverändert. Ja, und das ist die Rechenregel Numero 2. Hier ist sie. Also wir sehen, die Rechenregel Nr. 2 verallgemeinert die Produktregel. Und wenn man sie ganz genau nachrechnet, dann nutzt man nichts anderes als die Produktregel selbst, plus die Definitionen von entsprechenden Differenzialoperatoren, in diesem Fall die Divergenz. Genauso kann man die 1. und die 3. Regel nachrechnen. Ich empfehle euch, tut das! Gewöhnt euch an die Definitionen. Das ist sehr nützlich, denn Definitionen muss man auswendig kennen. Zu der inhaltlichen Interpretation von Divergenz und Rotation seht den nächsten Beitrag.  

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4 Kommentare
  1. Default

    Sergej&Maciej macht das ganz gut, verständlich und für eine Nacharbeitung mit geeigneten Mathe-Büchern und zur Lernverinnerung gut geeignet. Es ist nicht so einfach, den Stoff in eine so kurze Video-Zeitspanne unterzubringen; deshalb ein wenig überhastet.
    Gruß von einem 76-jährigen Opa

    Von Sperling Ploen, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    ...

    Von Rii Nagaja, vor etwa 6 Jahren
  3. Blue hills

    ...

    Von H. B., vor mehr als 6 Jahren
  4. Default

    wie das kostet was???

    Von Dickeplatte, vor etwa 7 Jahren