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Transkript Dreifachintegrale – Theorie

In diesem Video besprechen wir den Begriff des dreifachen Integrals. Dreifache Integrale bezeichnet man gerne auch als Volumenintegrale, weil das ja mit dreidimensionalen ausgedehnten Körpern zu tun hat, sozusagen Volumenbereichen. Grundobjekt ist wie gesagt ein Volumenbereich oder ein dreidimensionaler Körper. Meinetwegen so ein Würfel im Raum oder eine Kugel oder weiß was ich oder ein Zylinderstück und auf diesem dreidimensionalen Volumenbereich lebt eine Funktion, regelwertige Funktion, d.h. sie ist dort definiert. Sie nimmt mit jedem Punkt des dreidimensionalen Volumenbereichs einen Wert zu. Also hier ist diese Funktion, bezeichnet wie immer mit dem Buchstaben f, also sie hängt von 3 Variablen ab, hat reelle Werte, und wenn ich den Körper oder dreidimensionalen Volumenbereich mit K bezeichnet habe, dann kann man das dreifache Integral der Funktion f über den Volumenbereich K berechnen. Und in diesem Video werde ich etwas ausführlicher erklären, welche Rechentechnik dabei uns zur Verfügung steht, die wir dann bei den Übungsaufgaben einsetzen sollen, erstens und zweitens, ich bespreche, welche physikalische und geometrische Bedeutung die dreifachen Integrale haben. Ok, zuerst die Rechentechnik. Und damit man ein dreifaches Integral über dem Körper K explizit ausrechnen kann, muss man den Körper K genauer beschreiben. Und ich mache es folgendermaßen. Ich nehme 2 Funktionen von 2 Variablen, φ1, φ2, Funktion von x,y und da kann ich natürlich die Grafen von diesen Funktionen zeichnen und die Grafen von diesen 2 Funktionen, ergeben 2 Flächen. Das sind hier diese karierten Flächen, das sind hier die Grafen für φ1 und φ2. Und Funktion φ1 und φ2 nehm ich so, dass der Graf von φ2 oberhalb des Grafen von φ1 liegt. Unten in der xy-Ebene, markiere ich einen Bereich Ω, so ein ebenes Gebiet Ω und ich betrachte die Abschnitte von φ1 und φ2, die sich unmittelbar oberhalb von Ω befinden. Und als Nächstes betrachte ich, also den Bereich zwischen den beiden Grafen, oberhalb von Ω nenne ich dann K, den Volumenbereich K oder Körper K. So entsteht der Körper K und nun, analytisch beschreibt man das folgendermaßen. Ω ist wie gesagt, ein zweidimensionales Gebiet im Bereich der xy-Ebene. Aber wir haben 2 Funktionen φ1 und φ2. φ1 sehe ich hängen von 2 Variablen ab und sind dann mindestens auf Ω definiert. φ1≤2, damit der Graf von φ2 oberhalb des Grafen von φ1 liegt und wenn das alles erfüllt ist. Ach Moment, ich hab da gefordert, dass die Funktion φ1, φ2 stetig sind, damit nichts Böses passieren kann und wenn das alles gegeben ist, kann man den Körper K analytisch so beschreiben. Körper K ist Menge der Punkte x,y,z im dreidimensionalen Raum, xy liegen im Gebiet Ω, d.h. wenn ich irgendwo einen Punkt habe im Körper K, die Projektion von diesem Punkt liegt immer im Gebiet Ω, ja das habe ich hier geschrieben, xy liegt im Ω. Und die z-Koordinate von dem entsprechenden Punkt befindet sich zwischen beiden Grafen. Und analytisch ist es so, dass also z liegt zwischen φ1(x,y) und φ2(x,y), wobei xy der jeweilige fixierte Punkt ist. Gut, so beschreibt man den Körper K, und wenn man eine so explizite Beschreibung des Körpers da hat und dann eine Funktion f, die auf dem Körper definiert ist, eine Funktion, die jedem Punkt des Körpers K eine reelle Zahl zuordnet, dann kann man erst mal das Integral berechnen von f über K. Und technisch geht es so, dass wir die Berechnung der dreifachen Integrale, auf die Berechnung von zweifachen und einfachen Integralen zurückführen. Und hier ist die wichtigste Rechenformel, also die meisten Aufgaben zum Thema dreifache Integrale bearbeitet man mit dieser Formel, in der Regel. Was hat man in dieser Formel? Man hat große Klammern, in der großen Klammer wird bezüglich z integriert, in den großen Klammern steht ein ganz normales Integral, man integriert bezüglich einer veränderlichen und integrierten im Sinne von alles ist eins. Die Integrationsgrenzen sind φ1 und φ2, wie hier bei der Beschreibung des Körpers schon angedeutet ist und die Definitionsgrenzen hängen von x und y ab. Bei dieser Rechnung wir denken uns aber x und y als fixiert, festgehalten. Wenn die Integration in den großen Klammern ausgeführt ist, dann haben wir in den großen Klammern einen Ausdruck von xy, z ist wegintegriert, z ist Laufvariable. Wie haben einen Ausdruck von xy und für diesen Ausdruck von xy eine Funktion natürlich und für die berechnen wir das doppelte Integral bezüglich Ω. Und wie man doppelte Integrale berechnet, das ist bekannt, doppelte Integrale führt man wiederum zurück auf einfache Integrale und die Technik dazu wurde im entsprechenden Video für doppelte Integrale präsentiert. Also es sei jetzt ziemlich verschachtelt, ziemlich kompliziert, aber man kann sich daran gewöhnen. Und das kann sogar Spaß machen. Also, das ist die Rechentechnik. Also die Zentrale ist die Formel, die hier in der letzten Zeile steht, das ist die wichtigste Formel und alles da oben, das ist Vorbereitungs-Krims-Krams. Nun will ich die physikalische und geometrische Integration ansprechen. Was versteht man konkret unter einem dreifachen Integral? Und wir wissen schon von zweifachen Integralen oder von einfachen Integralen, dass Integration etwas mit Volumen und Flächenmessen zu tun hat. Und dreifache Integrale bilden in diesem Zusammenhang keine Ausnahme. Und das ist auch der 1. Punkt in der geometrischen Interpretation. Mit dreifachen Integralen kann man Volumina bemessen und ich sage euch, wie es genau dann aussieht. Wie sieht dieses nun formeltechnisch aus. Das Bild möchte ich nicht wegwischen, das Bild ist hübsch Also, die aktuelle Überschrift lautet die geometrische bzw. physikalische Interpretation. Und 1. Messen von Volumina, Volumenberechnung. Und das ist sehr ähnlich wie bei doppelten Integralen. Also, ich erinnere euch, wenn man ein doppeltes Integral, Moment ohne f, wenn man doppeltes Integral über Ωdxdy berechnet, dann ist das Fläche von Ω. Und Fläche ist zweidimensional. Und hier hat man Analoges, wenn man das dreifache Integral über einem Volumenbereich K berechnet, dann ist es Volumen von K. Also ich empfehle euch diese Formeln nebeneinander zu lernen, weil sie ja völlig analog sind. Zweifache Integrale einfach nur ohne irgendwelchen Integrand, das bewirkt ja Flächenmessung und dreifache Integrale ohne irgendwas unter dem Integral bewirkt Volumenmessung. Und ich habe da gesagt, ohne irgendeinen Integranden, das ist so nicht ganz richtig,  hier steht 1 als Funktion unter dem Integralm, aber das schreibt man nicht explizit. Und das ist die geometrische Interpretation von dreifachen Integralen, und das ist der Punkt 1, da gibt es nicht viel zu vorzubereiten, zu erklären, also Volumen(K) ist einfach nur das dreifache Integral über diesem Körper und integriert wird dabei die Funktion identisch 1. Weil sie ja identisch 1 ist, schreibt man sie explizit nicht hin. 2. Es geht um die physikalische Interpretation und hier ist es ja eine ziemlich naheliegende Sache. Wenn wir einen dreidimensionalen Körper haben, so ein Zylinderstück, der Körper hat Gewicht natürlich, d.h. über dem Körper ist Masse verteilt, das ist eine Kerze und wir können uns so vorstellen, dass das Wachs hier nicht gleichmäßig verteilt ist, im Inneren gibt es einen Docht, der Docht hat eine andere Massendichte als Wachs. Also über diesen Körper ist Masse verteilt, mit unterschiedlicher Massendichte. Und Massendichte kann man mathematisch durch die Dichtefunktion beschreiben, und wenn man Dichtefunktion über den Körper, über diese Kerze integriert, dann bekommt man Gesamtmasse der Kerze. Und das ist sehr, sehr handgreifliche, anschauliche Interpretation. Wir hatten auch beim Thema Kugeln Integrale, beim Thema zweifache Integrale, ähnliches gehabt. Das ist das Einheitliche an dem Integrationsbegriff, dass man damit Volumina, Flächen und Massen berechnet. Also ist µ die Massendichte des Körpers K und Massendichte das ist eine Funktion mit positiven Werten. Die Massendichte des Körpers K, so ist das dreifache Integral der Massendichte über dem Körper K die Gesamtmasse von K. Das ist die richtige physikalische Interpretation dieser Idee der Massenbestimmung durch Integration der Massendichte. Sie zieht sich wie ein roter Faden durch alle Integralbegriffe hindurch, hinweg. Wunderbar, also das ist die geometrische und physikalische Interpretation und nun habe ich ja was vergessen am Anfang. Es ist so, dass es gibt ein Notationschaos auch bei dreifachen Integralen, insgesamt in der Vektornalis gibt es keine einheitliche, übersichtliche Notation, es gibt hier viele Notationsvarianten. Und die möchte ich zum Schluss besprechen. Und da ist es aber nicht viel, also wenn wir Notationsvarianten bei zweifachen Integralen gesehen haben, dann können wir uns schon ausmalen, wie die Notationsvarianten bei dreifachen Integralen aussehen. Und insofern ist es schon wieder übersichtlich, wenn man sich daran gewöhnt, aber es gibt eben viele. Notationsvarianten: Wie gesagt, die Notation, die ich hier verwendet habe, die ist ja ziemlich lang, man muss ja viel schreiben. Und manchmal, wenn es nicht darauf ankommt, durch welche Formel die Funktion f beschrieben ist, dann unterdrückt man die Abhängigkeit von x,y,z und schreibt einfach nur so. Das ist alles dasselbe. Dann, manchmal hat man keine Lust dreimal das Integralzeichen zu schreiben, wenn man da keine Lust hast, dann schreibt man nur ein Integralzeichen, meint aber trotzdem dreifaches Integral und um das alles irgendwie anzudeuten, die Differenziale schreibt man so, mit der Klammer, das geht ja auch. Und es gibt noch ein paar Notationsvarianten. Dieses dxdydz wird interpretiert als Infinitisimal im Volumenbereich. Ich möchte nicht auf diese Interpretation eingehen, weil sie ist ja 1. ein bisschen schwammig und 2. für die Rechnungen hat sie kaum Bedeutung. Es sei aber erwähnt, dass es eine solche Interpretation gibt, also dieses dxdydz nennt man Infinitisimales Volumenelement oder einfach nur Volumenelement und aus diesem Grund ersetzt man dxdydz durch dV und dV bedeutet Volumen. Und in diesem Fall stimmt dann die deutschsprachige Notation mit der englischsprachigen Notation überein, weil man hat, dann auch denselben Buchstaben, Volume. Und man kann das ein bisschen ausgefallener machen, man kann nicht Volumenelement schreiben, sondern noch einmal den Körper hier hinten schreiben, dK. Ist aber nicht so ganz üblich, das ist wirklich Exotik. dV sieht man schon öfter. Es gibt auch solche Scherze, dass man dann den Körper über den integriert wird, nicht unten schreibt, sondern so spaßeshalber hier links oben. Gibt auch solche Bücher und wir sehen es gibt ja mehrere Notationsvarianten und der wesentliche Unterschied ist dann, dass man statt dxdydz einfach nur dV schreibt, das sieht man sehr oft, sehr oft die beiden Varianten und manchmal hat man keine Lust das dreifache Integralzeichen zu schreiben, da schreibt man nur ein einfaches Integral und man muss da oft auf den Zusammenhang aufpassen, was da gemeint ist. So, dann war es das schon.

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