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Transkript Dreifachintegrale – Aufgabe 1

Zum Einstieg in das Thema Dreifachintegrale wollen wir eine einfache Aufgabe behandeln. Hier ist ein Körper K vorgegeben durch irgendwelche Ungleichungen und wir wollen eine sehr einfache Funktion integrieren, 4x über diesen Körper. Die Strategie ist die folgende. Im theoretischen Beitrag zum Thema Zweifach- und Dreifachintegrale habe ich die Rechenformel präsentiert. Und hier möchte ich zeigen, wie man sie direkt anwendet. Dazu ist noch ein bisschen Arbeit zu tun. Das Allererste, womit man die Aufgabe zum Thema Vektoranalysis anfängt, ist die Veranschaulichung. Also als Erstes wollen wir den Körper K veranschaulichen, wir wollen ihn sehen. Zweitens: Wir wollen den Körper K in die Form bringen, analytisch den Körper K so darstellen, sodass ich die besagten Formeln anwenden kann, die Rechenformeln für Zweifach- und Dreifachintegrale. Dann lasst uns anfangen. Veranschaulichung von K: Es ist sehr wichtig, ein richtiges Bildchen von K zu zeichnen. Das wird uns helfen, den Körper K analytisch so darzustellen, sodass wir die Formeln für die Dreifach- und Zweifachintegrale anwenden können. Also die Veranschaulichung in diesem Fall ist sehr wichtig. Zuerst die Achsen x, y, z, diesmal drehe ich die y-Achse ein bisschen weg vom Betrachter. Dann wollen wir die Ungleichungen lesen. Die ersten 3 Ungleichungen, die den Körper K beschreiben, sind ja sehr einfach. Also x, y und z sollen lauter positive Werte haben und deswegen habe ich nur die positiven Teile der 3 Achsen gezeichnet. Also nur der Bereich des Raumes in diesem Achtel des Raumes ist relevant für uns. Jetzt die 4. Ungleichung, was bedeutet denn sie? Also wir sehen, links ist ein linearer Ausdruck in x, y, z. Wenn wir lineare Ausdrücke sehen in irgendwelchen Variablen, dann bedeutet das, dass sie auch geometrisch lineare Objekte vorgeben, das heißt Geraden oder Ebenen. Weil wir uns im 3-dimensionalen Raum befinden, dann hat diese Ungleichung etwas mit einer Ebene zu tun. Und Ebenen sind aber durch Gleichungen gegeben. Also wir haben hier eine Ungleichung, um sie zu veranschaulichen, ist es am besten zu einer Gleichung zu wechseln, hier das ≠ am besten durch = zu ersetzen. Wenn wir das vornehmen, dann haben wir die Gleichung einer Ebene. Diese Ebene wollen wir nun analysieren. Also wir betrachten die Ebene mit der Gleichung 2x+y+4z=4. Für das Kommende ist es vorteilhaft, diese Gleichung zu normieren, das heißt so umzuformen, dass auf der rechten Seite 1 steht. Ich teile alles durch 4 und bekomme Folgendes: ½x+¼y+z=1. Und wenn wir die Gleichung der Ebene in dieser Form haben, dann können wir besser die Lage der Ebene bestimmen. Wodurch wird die Lage der Ebene bestimmt? Zum Beispiel durch ihre Schnittpunkte mit den Achsen. Anhand dieser Darstellung können wir die Schnittpunkte mit den Achsen sehr bequem ausrechnen. Ich schreibe jetzt hier etwas vorbereitend formal und ich schlage euch vor: Berechnet die Schnittpunkte dieser Ebene mit den Achsen. Das wird wichtig für das Kommende sein. Also das hier ist Gleichung einer Ebene, die die Achsen in den folgenden Punkten schneidet. Ich hoffe, ihr habt das selbst überlegt, welche Punkte da herauskommen. Wie kann man denn das machen? Wir interessieren uns für den Schnittpunkt der Ebene mit der x-Achse. Auf der x-Achse sind die yz-Koordinaten=0. Das heißt, in dieser Gleichung setzen wir y, z=0 und bestimmen daraus x. Da braucht man gar nicht zu rechnen. Wenn ich die Gleichung in diese Form gebracht habe, dann sieht man, wenn y und z=0 sind, dann muss x=2 sein, damit die Gleichung aufgeht. Also (2,0,0), das ist der Schnittpunkt der besagten Ebene mit der x-Achse. Und entsprechend die anderen 2 Achsen: Auf der y-Achse haben die x- und z-Koordinaten den Wert 0, also wir setzen hier in die Gleichung statt x und z die 0 ein. Und damit die Gleichung aufgeht, da muss y=4 sein. Also (0,4,0), das ist der Schnittpunkt der Ebene mit der y-Achse. Und dann die z-Achse ganz entsprechend: Auf der z-Achse sind die x- und y-Koordinaten =0. Damit die Gleichung aufgeht, muss der =1 sein, (0,0,1). Nun können wir diese Punkte auf der Zeichnung markieren. Der Punkt auf der y-Achse ist ja ganz weit draußen, er hat die Koordinate 4, der Schnittpunkt auf der y-Achse. Der Schnittpunkt auf der x-Achse hat die Koordinate 2. Und der Schnittpunkt auf der z-Achse hat die Koordinate 1. Die 3 Punkte auf einer Ebene legen die Ebene vollständig fest. Deswegen kann ich diese Ebene auch zeichnen. Dieser Abschnitt der x-Achse, den ich gerade wegwische, wird dann durch die Ebene verdeckt. Die Ebene enthält also dieses Dreieck, das ich gerade zeichne. So, das ist die Ebene und das ist der verdeckte Teil der y-Achse. Den Pfeil möchte ich hier ein bisschen zierlicher machen. Das war die Gleichung, die die Ebene beschreibt. In der Beschreibung des Körpers K steht in dieser Gleichung statt des Gleichheitszeichens, haben wir da eine Ungleichung. Das heißt, dieser Ausdruck muss < 4 sein. Deswegen sind gemeint alle Punkte, die unterhalb dieser Ebene liegen. Nun haben wir den Körper K vollständig veranschaulicht. Also der Körper K ist dieser Eckkörper sozusagen. Man nimmt ein Koordinatenkreuz, betrachtet die positiven Teile der Achsen und von diesen Achsen schneidet man mit der besprochenen Ebene so einen Körper ab. Diesen Körper nennt man gerne Polyeder, also Vieleckpolyeder. Dieser Polyeder ist genau der Körper K. Hier in der Ecke ist der Körper K, also unterhalb dieser Ebene. Das ist schon sehr wichtig für den Anfang. Nun sehen wir konkret, über welchen Körper wir integrieren. Und das ist sehr wichtig für die folgenden Schritte. Damit wir das Dreifachintegral über K berechnen können, sollen wir den Körper K in einer speziellen Form schreiben. Wir sollen K darstellen als Bereich zwischen Grafen von 2 Funktionen. Wir sollen da nicht viel tun, um diese Funktion zu sehen. Also die eine Funktion, die untere Funktion, das wird die Nullfunktion sein, also ihr Graf wird dann mit der xy-Ebene übereinstimmen. Der Graf von der oberen Funktion wird gerade die beschriebene Ebene sein. Wir betrachten die Grafen von besagten Funktionen oberhalb des schraffierten Gebiets, oberhalb der Grundfläche. Und die Grundfläche bezeichne ich mit Ω. Die Menge Ω muss man auch beschreiben. Das wird dann wichtig für die Berechnung der Integrale sein. Also als Nächstes beschreiben wir die Grundfläche Ω von unserem Polyeder K. Am besten zeichne ich das auf einer anderen Zeichnung. Hier ist die xy-Ebene. Wir haben ja gesehen, dass unsere Ebene die x-Achse bei 2 schneidet und die y-Achse bei 4. Dieses rechtwinklige Dreieck, das ich gerade schraffiere, das ist unsere Grundfläche Ω. Beim Thema Zweifachintegrale habe ich ja erläutert, wie man ebene Bereiche beschreibt. Wir wollen zuerst den ebenen Bereich Ω beschreiben, auf die Weise, die für Integration angebracht ist. Denn wenn wir das haben, dann beschreiben wir den Körper K, auf die Weise, die für Integration geeignet ist. Das sind die nächsten Schritte. Wenn wir diese beiden Beschreibungen haben, dann können wir erst anfangen mit der Integration. Bereich Ω ist wieder der Bereich zwischen den Grafen von 2 Funktionen. Die untere Funktion hier ist 0. Die Funktion, die den oberen Rand beschreibt, das ist der Abschnitt einer Geraden. Was soll ich denn groß dazu sagen? Also diese Gerade hat offenbar die negative Steigung, offenbar die Steigung -2. Das steht ja direkt auf dem Bild, dass diese Gerade die y-Achse bei 4 schneidet. Daraus ergibt sich die Gleichung für diese Randstrecke. Also y=4, weil diese Gerade die y-Achse bei 4 schneidet, -2x, weil -2 die Steigung dieser Geraden ist. Um zu checken, ob das die richtige Gleichung ist, dann setzen wir sicherheitshalber in diese Gleichung x=2 ein und bekommen y=0. Das heißt, wir befinden uns tatsächlich hier unten in diesem Punkt. Also diese Gleichung y=4-2x, sie beschreibt den oberen Rand von diesem Dreieck Ω. Wunderbar. Dann haben wir schon etwas auf die Reihe bekommen. Die Beschreibung der Grundfläche Ω: Sei Ω die Grundfläche von K. Und wie wir gesehen haben auf dem Bild, können wir Ω wie folgt analytisch beschreiben. Es ist sehr wichtig, die richtigen Bilder herzustellen, das hilft dann bei der analytischen Beschreibung. Wir sehen, jeder Punkt auf der Grundfläche Ω hat die x-Koordinate von 0 bis 2, die x-Koordinate ist höchstens 2. Und y liegt dann zwischen 0 und 4-2x. y geht von 0 bis 4-2x. So ist die Grundfläche Ω beschrieben. Nun wollen wir den Körper K beschreiben. Das ist ja nicht schwer. Was weiß man über die Punkte des Körpers K? Jeder Punkt des Körpers K, wenn er auf die xy-Ebene projiziert wird, dann landet er notwendig auf der Grundfläche Ω, dazu ist es auch die Grundfläche. Nicht wahr? Ich zeichne hier irgendwo einen Punkt. Und wenn man den Punkt projiziert, nach unten in die xy-Ebene senkrecht, dann landet man erst mal in der Menge Ω. Wenn man diese Projektionsstrecke nach oben fortsetzt, dann schneidet man irgendwann die Ebene, die den oberen Rand des Körpers K begrenzt. Das heißt für die z-Koordinate eines beliebigen Punktes des Körpers K, sie ist mindestens 0, aber sie hat höchstens den Wert, den diese Ebenengleichung zulässt. Wir hatten dann folgende Gleichung für die Punkte unseres Körpers. Für einen Punkt (x,y,z), der zum Körper K gehört, gilt Folgendes. Erstens x, y für sich genommen, also für die Projektion des Punktes (x,y,z), x, y landet immer in Ω. Das will ich jetzt nicht noch einmal schreiben. Ich habe das angesprochen, das reicht. Für die 3 Koordinaten insgesamt gilt folgende Gleichung: 2x+y+4z ≤ 4. Nun stellen wir diese Ungleichung nach z um und bekommen: z ist ≤ und ich schmeiße 2x und y auf die rechte Seite und teile alles durch 4 und bekomme dann z ≤ 1- , 2x÷4 macht ½x, und y÷4 macht ¼y. Also wir haben da Folgendes überlegt. Die z-Koordinate eines jeden Punktes hier im Körper K ist mindestens 0, aber höchstens 1-½x-¼y. Daraus ergibt sich folgende Beschreibung des Körpers K. Also K= Menge der Punkte (x,y,z) im 3-dimensionalen Raum mit der folgenden Eigenschaft. Also das Paar (x,y) ist immer in der Grundfläche Ω enthalten, also jeder Punkt, projiziert nach unten, landet in Ω. Das ist hier mit dieser Aussage noch einmal formuliert. Und dann die z-Koordinate, sie liegt zwischen 0 und diesem Ausdruck 1-½x-¼y. Wunderbar. Wir haben jetzt analytische Beschreibungen des Körpers K. Das, was da oben steht, das ist auch eine analytische Beschreibung des Körpers K. Sie ist bloß für die Integration nicht so gut geeignet. Um sinnvoll integrieren zu können, da müssen wir erst einmal die Grundfläche beschreiben, so wie wir es hier gemacht haben. Und dann noch einmal den Körper K so beschreiben, dass man (x,y) irgendwo so auf der Grundfläche laufen lässt, und dann die z-Koordinate zwischen 0 und dann diesem Ausdruck einschließt. Nun können wir echt mit der Integration anfangen. Die Bilder brauche ich nicht mehr, jetzt gibt es eine technische Pause. Ich wische alles, was ich nicht brauche, weg, auch die schönen Bilder, die brauchen wir nicht mehr. Oben bleiben nur noch die analytischen Beschreibungen von den Gebieten, über die wir integrieren. Also Ω, ich schreibe es ab, das brauche ich nachher, ist Menge der Punkte (x,y) mit der folgenden Eigenschaft: x liegt zwischen 0 und 2, und y liegt zwischen 0 und 4-2x. Ich übernehme auch die analytische Darstellung des Körpers K. Also K besteht aus den Punkten (x,y,z) im 3-dimensionalen Raum mit der folgenden Eigenschaft: (x,y) landet in der Grundfläche Ω, und z liegt zwischen 0 und 1-½x-¼y. Das war schon ein gutes Stück Arbeit, das zu machen. Wir haben gar nicht angefangen mit der Integration. Wir haben die Integration lediglich vorbereitet. Jetzt kann es losgehen mit der Integration. Die Bilder sind nicht mehr nötig. Jetzt kann ich es irgendwie nicht übers Herz bringen das wegzuwischen, aber ich brauche das nicht mehr. Wunderbar. Jetzt bleibt nicht mehr viel zu tun. Die Denkarbeit ist jetzt an dieser Stelle erledigt. Nun fangen wir an mit der Integration. Also das Dreifachintegral der Funktion 4x über den Körper K berechne ich nach der Formel, die ich im theoretischen Beitrag zum Thema Dreifachintegrale präsentierte. Und zwar, ich nehme das ∫∫ über die Grundfläche Ω, das wird die äußere Integration sein. Und die innere Integration erfolgt bezüglich z, und zwar von 0 bis... Und ich schaue mal auf die analytische Beschreibung des Körper K, dazu ist sie da. Wir haben das alles ausgerechnet, um dann die Integrationsgrenzen richtig zu wählen. Also z geht von 0 bis 1-½x-¼y. Und am Integral steht die schöne Funktion 4x, und die Integration im Inneren erfolgt bezüglich z, Klammer zu, dxdy. Ich habe hier in diesem Übergang die Rechenformel angewendet für Dreifachintegrale, die im theoretischen Beitrag erläutert wurde. Ich habe sie einfach nur übernommen. Nun rechne ich langsam diese Integrale aus. Ich fange hier an im Inneren. Im Inneren ist der Integral des 4x, ist von z unabhängig, das ist wunderbar. Wenn der Integrand von z unabhängig ist, dann in Bezug auf z ist x hier eine Konstante. Für x kann ich vor das Integral ziehen. Also ich habe ∫(von 0 bis 1-½x-¼y)dz, Klammer zu, dxdy. Das Integral bezüglich z kann ich sofort hinschreiben, da gibt es nichts zu rechnen. Also ich habe ∫∫ über Ω, dann habe ich 4x. Nun setze ich halt die obere Integrationsgrenze ein. Ich habe da (1-½x-¼y)dxdy. Wunderbar. Und es bietet sich an, 4x in die Klammer hineinzuschieben. Ich habe ∫∫ über Ω, und 4x schiebe ich in die Klammer hinein, (4x-, ½x×4x macht 2x2, und dann 4x×¼y macht xy einfach nur), so dxdy. Nun haben wir einen wesentlichen Rechenschritt durchgeführt. Nun bleibt nur ein 2-faches Integral, jetzt müssen wir ∫∫ ausrechnen. Und nun wiederholt sich das Ganze von vorne an. Wir schauen dann auf die analytische Beschreibung der Menge Ω. Also die ist in der Form gegeben, sodass man das Ebenenintegral schnell ausrechnen kann. Im theoretischen Beitrag zu Zweifachintegralen habe ich eine Rechenformel präsentiert, die nutzte ich nun. Und es ist alles hier aus der analytischen Darstellung der Menge Ω abzulesen. x läuft von 0 bis 2, also die äußere Integration erfolgt bezüglich x von 0 bis 2. Die innere Integration erfolgt bezüglich y. Die Grenzen für y stehen da, sind hier vorbereitet. y läuft von 0 bis 4-2x. Und unter dem Integral steht eben dieser Ausdruck. Was soll ich denn noch dazu sagen? Ich weiß, dass ich im Inneren jetzt bezüglich y integrieren werde. Aus diesem Grund macht es Sinn, die ersten 2 Terme zusammenzufassen. Ich fasse sie so zusammen, dass ich hier 2x ausklammere, offenbar lässt sich 2x ausklammern. Und in Klammern bleiben dann (2-x), und -xy, das übernehme ich. Das ist die Integration bezüglich y im Inneren. Noch eine große Klammer zu. Und man hat die Integration bezüglich x im Äußeren. Jawohl. Nun rechnen wir brav weiter. Äußeres ∫(von 0 bis 2). Ich frage mich, ob man noch eine Klammer braucht. Ja. Dann 2x×(2-x), das ist in Bezug auf die y-Integration eine Konstante. Und die Stammfunktion in Bezug auf y ist ja 2x(2-x)y. Da habe ich diesen Term bezüglich y aufintegriert. Dann -xy integriert nach y gibt dann ½xy2. Wunderbar. An dieser Stelle sieht man, wieso ich denn die 2 Terme zusammengefasst hatte, damit ich nicht zu viel y schreibe. Nun setze ich die Grenzen für y ein, das ist 0 und 4-2x. Und das soll ausgerechnet werden, noch einmal bezüglich x aufintegriert. Dann mache ich das eben. Es bietet sich an, dass ich da in der oberen Integrationsgrenze für y 2 ausklammere. Also 4-2x macht 2×(2-x), das ist dasselbe. Okay. Dann geht die Sache fröhlich weiter. Also alle Zwischenrechnungen vergessen, die brauchen wir nicht mehr, die haben ja ausgedient. Die Darstellungen von Ω und K haben ja auch ausgedient. Nun berechnen wir weiter unsere Integrale. Jetzt y=0 einsetzen, das hat keinen Einfluss, da steht lauter 0 hinter dem Integral, das können wir uns schenken. Wir sollen y=2×(2-x) einsetzen. Wunderbar. Also ∫(von 0 bis 2) und diesen Wert von y einsetzen, dann bekomme ich 2×2=4, ich bekomme dann 4x und dann (2-x)2. Jetzt muss ich mal schauen, ob ich mich nicht verrechnet habe. Es sieht alles gut aus. Dann -½x, und jetzt muss ich dieses y noch quadrieren, 22 gibt 4, und dann halt (2-x)2 schreibe ich hinzu, und dx natürlich auch nicht vergessen. Und was wir da haben, sieht ziemlich hübsch aus. Also 4/2 macht 2, und wir haben 4× einen Ausdruck -2× derselbe Ausdruck. Also insgesamt haben wir ∫(von 0 bis 2), also 4-2 macht 2, 2x((2-x)2)dx. Und an dieser Stelle können wir aufatmen. Wir müssen also nur ein Polynom aufintegrieren und das kann man eigentlich auch in der Schule. Analysis 2 ist längst zu Ende. Weil die Zeit noch da ist, führe ich diese Rechnung durch. Also 2 lässt sich ausklammern. Dann (2-x)2, das kann ich nach der binomischen Formel entwickeln. Und insgesamt ergibt sich (4-4x+x2)dx. Nun multipliziere ich x in die Klammer hinein. Liebe Leute, damit ich nicht zu viel schreibe, mache ich das mit der Wischmethode. Also x in die Klammer hineinmultipliziert gibt (4x-4x2+x3). Nun als Nächstes berechne ich die Stammfunktion davon, setze brav die Integrationsgrenzen ein und dann kommt die begehrte Zahl heraus. Okay: 2, die Stammfunktion von 4x ist 2x2, und dann habe ich die Stammfunktion 4/3x3, und schließlich die Stammfunktion ¼x4, und x=0 und x=2 einsetzen. Rechnet es selbst aus. Dann 2 soll ich da in die Klammer hineinschieben anstandshalber. Liebe Leute, das ist langweilig. Ich rechne es aus, rein aus meiner Güte, aber das muss ja jeder selbst machen können. Also 4x2-8/3x3, ich hoffe, ich verrechne mich nicht dabei. Diese Rechnungen sind dazu da, damit sich jemand verrechnet, ansonsten machen sie kaum Sinn. Jetzt haben wir den großen Moment, ich setze die Integrationsgrenzen ein. x=0 einsetzen gibt nichts her. Also 4×4 macht 16, dann 8×8 macht 64, und dann 16/2 macht 8. Weiterrechnen: 16+8 macht 24, 24×3 macht 72. Also wir haben (72-64)/3 und insgesamt haben wir 8/3. Und unser Leiden ist zu Ende. Also das Integral der Funktion 4x über den Körper K beträgt 8/3. Diese Zahl ist natürlich nicht wichtig. Wichtig ist, dass wir die geometrischen Objekte, die bei der Integration beteiligt sind, in der richtigen Form darstellen können, sodass wir dann geeignete Integrationsgrenzen wählen. Und alles andere ist stumpfsinnig ausrechnen. Also hier darf man keinen Fehler machen. Hat man hier in diesem Schritt Fehler gemacht, dann kannst du alles abschreiben. Okay, vielen Dank!  

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2 Kommentare
  1. Default

    sehr gut!danke!

    Von Mbross, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    sehr schön erklärt

    Von Suy Ku, vor etwa 5 Jahren