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Transkript Doppelintegrale – Umstellung Integrationsreihenfolge – Aufgabe 1

Hallo, hier ist eine weitere Aufgabe zum Thema doppelte Integrale oder Zweifachintegrale. Der Themenschwerpunkt bei der Aufgabe ist die Umstellung der Integrationsreihenfolge. Worum geht es denn genau? Also, ich habe hier ein zweifaches Integral oder doppeltes Integral, wie man es auch immer nennt. Anhand der Notation erkennt man, dass die innere Integration bezüglich x erfolgt. Also wenn wir es einfach so rechnen würden, dann müssten wir eigentlich zuerst dieses Integral ausrechnen. Ich schreibe es noch mal hin. Dieses Integral steht im Inneren. Der ganze Scherz dabei ist, dass man zu der Funktion ex2 nicht explizit die Startfunktion angeben kann. Die Startfunktion existiert als solche, aber sie lässt sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Das ist eine Funktion für sich. Ab dieser Stelle kommt man nicht weiter. Diese Integration kann man nicht anhand der Elementarfunktion ausführen. Um diese Schwierigkeit zu vermeiden und doch eine Zahl hier rauszukriegen, um das Integral zu berechnen, müssen wir die Integrationsreihenfolge umstellen. Darum wird sich alles drehen in dieser Aufgabe. Das war als Motivation. Unser Ziel ist es, die Integrationsreihenfolge umzustellen. Zuerst wollen wir nach y integrieren, also die innere Integration nach y durchführen. Um das machen zu können, müssen wir uns darüber klar werden, über welches Gebiet integriert wird. Als Nächstes wollen wir dieses Gebiet veranschaulichen. Wir schauen wieder auf den vorgegebenen Ausdruck. Die äußere Integration erfolgt bezüglich y. Man stellt es sich so vor, dass y zwischen 0 und 1, also die äußere Integration zwischen 0 und 1 fixiert wird. Ich schreibe der Deutlichkeit halber y0, fixiertes y. Wenn wir y irgendwo fixiert haben, zwischen 0 und 1, dann erfolgt die innere Integration vom fixierten y bis 1. Hier ist y0 auf der y-Achse und dann läuft x von y0, dem fixierten y, bis 1. Also erfolgt die Integration entlang der rot markierten Strecke. Das ist erst mal die Information, die wir dem Ausdruck in der Aufgabenstellung entnehmen. Nun können wir anhand dieser Information das Gebiet, über das integriert wird, wiederherstellen. Ich schlage euch vor, dass ihr euch kurz selbst überlegt, wie das Gebiet aussieht. Gut. Und nun machen wir das alles gemeinsam. Man soll es so machen: Man soll das fixierte y auf und ab bewegen und schauen, was mit der roten Strecke passiert. Wenn man y bewegt, dann wird die rote Strecke das gesamte Integrationsgebiet überstreichen. Wenn man y nach unten bewegt, dann wird die rote Strecke länger. Wenn man y nach oben bewegt, wird die rote Strecke kürzer und insgesamt kommt man auf folgendes Gebiet: Insgesamt kommt man auf ein rechtwinkliges Dreieck, das so aussieht. Mit den Katheten 1 und der Hypotenuse \sqrt2. Dieses Gebiet nenne ich traditionell Omega. Über dieses Gebiet wollen wir integrieren. Als Nächstes wollen wir das Gebiet geeignet formal hinschreiben. Wir wollen zuerst die innere Integration bezüglich y ausführen. Wir wollen dann irgendwann irgendein x0 fixieren und längs der y-Achse auf dem Gebiet hochgehen. Künftig wollen wir entlang der roten Strecke die Integration ausführen bezüglich y. Dieses Dreieck sieht recht einfach aus und es ist überhaupt nicht schwer zu sehen, dass die Höhe zu der wir ankommen, ebenfalls x0 ist. Auf der roten Strecke läuft die Variable y von 0 bis zum fixierten x0. Das möchte ich einfach nur formal festhalten. Omega=Menge der Punkte xy in der R2 Ebene mit der folgenden Eigenschaft: x läuft zwischen 0 und 1, also x bummelt zwischen 0 und 1, so wie ich das andeute, und y läuft, wenn man x fixiert, zwischen 0 und fixiertem x. Auf diese Weise haben wir das Gebiet Omega beschrieben. Es gibt viele andere Beschreibungen, aber wir wählen diese, diese ist bequem. Nun wollen wir das Integral endlich ausrechnen. Integral(0bis1)Integral(ybis1)ex2dxdy=Integral(omega)ex2dxdy. Nun passiert das Wichtigste, wir stellen die Integrationsreihenfolge um. Die äußere Integration erfolgt bezüglich x und x läuft zwischen 0 und 1. An dieser Stelle habe ich diese Information hier ausgenutzt: x läuft zwischen 0 und 1. Also Klammer auf, Klammer zu, dx. Da haben wir schon die äußere Integration hingeschrieben bezüglich x. Nun die innere Integration bezüglich y. Die innere Integration bezüglich y erfolgt von 0 bis x, dy. In der Mitte landen dann die Funktionen. Ab hier kann man es bequem rechnen. Der Sinn der Sache ist, dass wenn wir die Integrationsreihenfolge umgestellt haben, wir die erste Integration bezüglich y ausführen müssen und bezüglich y ist ex2 eine Konstante. Wir können das vor das Integral schieben. Die Berechnung der Stammfunktion ist ein Scherz in diesem Fall. Wichtig war, sich zu überlegen, wie die Integrationsgrenzen aussehen werden. Man macht viele Fehler an dieser Stelle. Das war der springende Punkt. Wenn man hier die Integrationsgrenzen falsch wählt, dann ist alles für die Katz. Aber dieser Stelle ist es nur einfache Rechnung. ex2 kann vor das Integral gezogen werden und man hat einfach nur eine 1 unter dem Integral und die Stammfunktion von 1 bezüglich y ist y. Also mache ich das. Die äußere Integration deute ich nur an, wir beschäftigen uns mit der inneren Integration, also ex2×y, das ist die Stammfunktion bezüglich y, und die Stammfunktion werten wir in den Randpunkten, also einmal 0 und einmal x, aus. Es passiert erst mal nichts Spannendes. Nun haben wir die Stammfunktion in den Randpunkten ausgewertet. Das einfache Integral, das wir haben, das können wir berechnen. Anhand der Kettenregel können wir die Stammfunktion wiederherstellen. Die Stammfunktion davon ist ½ex2. Jeder soll sich klar machen, dass das wirklich die Stammfunktion von x×ex2 ist, nach der Kettenregel. Die Stammfunktion werten wir immer in den Randpunkten aus. Es bleibt nichts mehr zu tun. Wir haben e1, wir schreiben einfach nur e, -e0, e0 ist immer 1, und ½ wollen wir nicht vergessen.  Das war die Aufgabe.

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2 Kommentare
  1. Default

    Und gibt es allgemeine Tips, wie man feststellen kann, ob man die Int.reihenfolge verändern sollte?

    Von Sternint, vor etwa 5 Jahren
  2. Default

    Kann vll jmd ausformuliert hinschreiben, wie man auf das Ergebnis 1/2 e^(x^2) kommt?

    Von Sternint, vor etwa 5 Jahren