Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Doppelintegrale – Theorie

In diesem Beitrag möchte ich einen Integralbegriff präsentieren und zwar die doppelten Integrale oder die sogenannten Zweifachintegrale.Steht hier oben an der Tafel. Wenn jemanden diese drei Striche verwirren, sag ich euch gleich, das bedeutet identisch. Zweifachintegrale sind dasselbe wie Doppelintegrale. Und wir wollen darüber reden wie man sie berechnet und wie man sie versteht. Wie sie definiert sind, das will ich euch nicht erklären, das ist Vorlesungsstoff. Das würde den Rahmen des Beitrags sprengen. Gut, so ganz grob für den Anfang braucht man 2 Sachen: Man braucht ein Gebiet Omega, das ist ein flacher Bereich in der XY-Ebene und auf diesem Gebiet Omega ist eine Funktion f definiert. Die ordnet jedem Punkt vom Gebiet Omega eine reelle Zahl zu. Und dann kann man das Zweifache Integral berechnen. Man kann das Integral in der Funktion f über den Bereich Omega berechnen. Nun werde ich eine sehr übliche Rechenformel präsentieren, nach der praktisch alle Übungsaufgaben bearbeitet werden. Nun reden wir darüber wie man die Doppelintegrale berechnet. Dazu muss man das Gebiet Omega etwas genauer beschreiben. Eine Beschreibungsvariante ist die Folgende: Man kann ja 2 Funktionen betrachten, φ1 und φ2 und ihre Graphen in der XY-Ebene und oberhalb einer bestimmten Strecke a-b und man kann sehr oft den Bereich Omega als Bereich zwischen den Graphen von 2 bestimmten Funktionen beschreiben. Das geht sehr oft, das wird in der Regel der Fall sein. Und diese Beschreibung hab ich auch hier an der Tafel gewählt. Also jetzt ganz konkret: Auf der x-Achse ist ein Intervall fixiert a-b, dann betrachte ich 2 Funktionen, φ1 und φ2, regelwertige Funktionen, die auf dem Intervall a-b erklärt ist und φ1 ist kleiner als φ2. Als nächstes zeichne ich den Graphen φ1. Diese untere Kurve ist der Graph der Funktion φ1. y=φ1(x). Die obere Kurve ist der Graph der Funktion φ2. y=φ2(x). Und dann schraffiere ich den Bereich zwischen diesen beiden Kurven oberhalb der Strecke a-b und das wird dann mein Gebiet Omega sein. Ich benutze abwechselnd das Wort Gebiet und Bereich, das ist üblich so. Das, was ich hier visuell dargestellt habe lässt sich auch analytisch beschreiben und zwar in der folgenden Form: Ω: = {(x,y) ist Element von R² mit der folgenden Eigenschaft: die Koordinaten von jedem dieser Punkte befinden sich zwischen a und b, das heißt egal welchen Punkt wir in Omega nehmen, seine Koordination auf der x-Achse befindet sich zwischen a und b. Mit dieser Ungleichung ist das angedeutet. Bei den y-Koordinaten ist das ein bisschen komplizierter. Wenn man x irgendwo fixiert, ich nehme mal eine andere Farbe, wenn man x hier auf dem Intervall a-b irgendwo fixiert, dann kommen nur die Ypsilons infrage, die hier auf der roten Strecke liegen. Das heißt nur die Ypsilons, die zwischen dem Wert der Funktion φ1 im Punkt x0 und dem Wert der Funktion φ2 im Punkt x0 liegen. Ich werde das nicht anschreiben, sonst wird die Zeichnung unübersichtlich. Das hier ist der Wert der Funktion φ1 im Punkt x0 und das hier ist der Wert der Funktion φ2 im Punkt x0. Oder ich schreibe das doch an, das geht. Es kommen nur die Ypsilons infrage, die da zwischen zwei Werten liegen und wenn ich das fixierte x dann doch frei mache, bewege zwischen a und b, dann wird sich diese rote Strecke verändern. So beschreibt man das Gebiet Omega. Und wenn wir dann als nächstes eine Funktion f haben, die auf dem Gebiet Omega erklärt ist, zumindest auf dem Gebiet Omega, vielleicht auch darüber hinaus, das heißt die ordnet jedem Punkt des Gebiets Omega eine reelle Zahl zu, dann kann man die Funktion f über das Gebiet Omega integrieren, falls sie zum Beispiel stetig ist oder hinreichend gute analytische Eigenschaften hat. Aber bei den Übungsaufgaben werden wir uns nie darüber unterhalten, wir werden nur mit Funktionen zu tun haben, die man integrieren darf. Deswegen werde ich die Integrationsbedingungen, ob f integrierbar ist, gar nicht erst besprechen, dafür interessieren sich Ingenieure. Dann dieses Doppelintegral von f über Omega berechnet man nach der folgenden Formel. Wie kann man diese Formel verstehen? Das Doppelintegral wird mithilfe dieser Formel auf einfache Integrale zurückgeführt. In großen Klammern integriert man nur bezüglich y, also man hat das übliche Integral, wie wir es in Analysis 1 gesehen haben. X ist vorübergehend fixiert, also φ1(x) ist ein bestimmter Ausdruck und φ2(x) ist auch ein bestimmter Ausdruck und dann integriert man ganz normal bezüglich y. Wenn man das Integral in der großen Klammer berechnet hat, dann bekommt man einen Ausdruck, der nur von x abhängig ist. Y ist in diesem Fall Integrationsvariable. Wenn man das gemacht hat, dann integriert man diesen Ausdruck bezüglich x von a bis b. Und auf diese Weise ist die Berechnung von Doppelintegralen auf die wiederholte Berechnung von Einzelintegralen zurückgeführt. Und das ist sehr bequem und diese Formel wendet man immer wieder an. Es gibt kaum eine andere Möglichkeit Doppelintegrale konkret zu berechnen. Diese Formel ist einfach nur täglich Brot. Nun haben wir die Formel erläutert und als nächstes möchte ich euch Notationsvarianten präsentieren. Dieses Doppelintegral wird auch anders bezeichnet und in der Vektor-Analysis ist es üblich, dass man einen Integralbegriff hat und dafür gibt es 3,4,5 Notationsvarianten. Leider ist es historisch so gekommen und es gibt keine Einheitlichkeit in der Notation und wir müssen uns daran gewöhnen. Und das geht relativ schmerzlos. Ab und zu führt das zu Verwirrung, man muss in einem Buch, wenn man ein Integral sieht, dann muss man erst mal genau schauen was damit gemeint ist, aber man gewöhnt sich langsam daran. Also, Notationsvarianten, so wie ich es geschrieben haben ist es Standard. Das ist auch die Notation, die ich immer wieder in diesem Video benutzen werde. Oft ist es bequem die spezite Abhängige von x in y zu unterdrücken. Manchmal genügt solche Notation; das ist dasselbe. Das ist aber nicht Ungewöhnliches. Es gibt etwas ausgefallenes, man schreibt es folgendermaßen: Man schreibt nur ein Integralzeichen, obwohl Doppelintegrale gemeint sind. Das gibt es auch und das schreibt man: d(x,y). Das mag bisschen verwirrend sein, man muss ja auch den Zusammenhang sehen. So, mit einem Integralzeichen, kann man doch Zweifache Integrale bezeichnen, das ist auch üblich. Das macht man gerne. Es gibt noch eine skurrile Sache. Man ersetzt dieses d(x,y) durch etwas kürzeres, durch dF. Das geht auch, so bezeichnet man das gerne im deutschsprachigen Raum. Und woher kommt der Buchstabe F? Der Buschstabe F kommt vom Wort Fläche. Also wir haben hier ein ebenes Gebiet, also flaches Gebiet Omega und daher kommt das Wort Fläche und missverständlicherweise nennt man solche Integrale manchmal auch Flächenintegrale. Ich bin da nicht befreundet mit einer solchen Bezeichnung, manchmal sieht man dieses dF und manchmal nennt man diese Integrale Flächenintegrale. Man muss da vorsichtig sein. Es kann zu Verwirrung führen und ich werde dann in allen Videos, die auf dieser Seite sind die Integrale als Doppelintegrale oder Zweifachintegrale bezeichnen. Also Flächenintegrale hört man zwar ab und zu, aber aus meiner Sicht ist das keine gute Bezeichnung. Aber weil sie antrifft, dann sei sie hier erwähnt. Hier ein Mal und dann nie wieder. Man kann es auch ein bisschen skurriler machen, man kann das Integral so bezeichnen, wenn man über dem Gebiet Omega integriert, dann schreibt man hier statt dF dΩ. Damit ist aber trotzdem ein Zweifaches Integral über Omega gemeint. In manchen Büchern sieht man auch eine ziemlich skurrile Sache: Man schreibt das Gebiet, über das integriert wird links oben vom Integralzeichen, also nicht unten, wie üblich, sondern links oben. Aber das alles bezeichnet denselben Integralbegriff und es gilt dieselbe Formel für diesen Integralbegriff. Notationsvarianten haben wir ja besprochen, nun noch ein wichtiger Aspekt: Es ist so, dass manchmal ein Gebiet, über das wir integrieren sollen, sich nicht so beschreiben lässt, wie es auf dem Bild steht. Was mein ich da? Ganz konkret: Also, leider ist diese Beschreibung nicht universell. Sie ist recht bequem, aber man kann nicht alle Situationen erfassen. Zum Beispiel hat mein ein Gebiet Omega, das eher so aussieht. Das ist das Gebiet, hier schraffiere ich dieses komische Gebilde. Und dieses Gebiet G, mit einem neuen Buchstaben, lässt sich analytisch nicht so beschreiben mit der Funktion φ1 und φ2. Und vielleicht sieht der ein oder andere das Problem. Es ist so, dass der rechte und der linke Rand von Gebiet G keine Geraden sind, es sind gekrümmte Linien. Und es ist so, dass man diesen oberen Abschnitt des Randes nicht als Graph einer Funktion auffassen. Aus welchem Grund? Der Wert x würde dann mindestens 2 Werten zugeordnet werden. Es gibt ja keine Funktion y von y ist eine Funktion meinetwegen für φ2(x), sodass der Graph so aussehen würde. Das geht schon gar nicht, weil Gebiete, die so aussehen, die kann man nicht mit solchen Funktionen φ1 und φ2 beschreiben. Es gibt aber einen Ausweg: Man kann die Rundung von x und y vertauschen, man kann, wenn man so eine Situation hat wie in dem Gebiet G, dann Funktionen x von y betrachten. Nicht wie hier oben y von x, sondern x von y. Und dann ändert sich auch die Rechenformel für doppelte Integrale. Nun werd ich das ausführlicher besprechen. Also wenn sich das Gebiet Omega so wie auf dem Bild oben beschreiben lässt, haben wir eine nette Rechenformel, die vorher an der Tafel stand. Und da kann man die Integrationsreihenfolge, dass man zuerst im Inneren nach y integriert und außen zum Schluss nach x integriert. Nun wollen wir uns eine ähnliche Formel für das Gebiet G an die Tafel schreiben. Es ist im Wesentlichen das Vertauschen der Rollen von x und y. Nun wollen wir einfach nur das, was wir schon haben ein bisschen modifizieren. Das Bild wird komplett anders sein, aber der Text praktisch derselbe. Also ich hab die x-y Ebene wie üblich und das Gebiet G, nicht Omega, das so aussehen wird. Meinetwegen so. Der obere Rand des Gebiets ist eine gerade Strecke, der untere Rand des Gebiets ist ebenfalls eine Gerade strecke. Und der linke Rand des Gebiets ist Graph einer Funktion, also x=Ψ1(y), x und y vertauschen die Rollen. Und der rechte Rand des Gebiets ist Graph einer Funktion x=Ψ2(y). Y hat dann feste Grenzen, meinetwegen von c bis d. Und das Gebiet, das auf diese Weise entstanden ist, bezeichne ich mit G. Und nun modifiziere ich einfach das, was ich hier geschrieben habe. Seien Ψ1 und Ψ2 auf dem Intervall c-d definiert und Ψ1 ist kleiner als Ψ2, damit der Graph von Ψ1 sich links von dem Graphen von Ψ2 befindet, dazu braucht man diese Ungleichung. Und Bereich G sei gegeben durch folgende Formel: y liegt zwischen c und d und x liegt zwischen Ψ1(y) und Ψ2(y). Wenn das Gebiet G durch diese analytische Beschreibung gegeben ist, dann berechnet man das Doppelintegral einer Funktion f über G nach der folgenden Formel: Man integriert von c bis d bezüglich y außen und im Inneren integriert man bezüglich x von Ψ1(y) bis Ψ2(y) f(x,y)dx. Zum Vergleich schreibe ich euch die alte Formel hin. Wenn wir solche Beschreibungen haben wie bei Omega, dann hat man solche Rechenformeln. Integral von a bis b bezüglich x, außen und innen steht das Integral von φ1(x) bis φ2(x) f(x,y) dy. Was hat sich geändert? Es hat sich die Integrationsreihenfolge geändert. Zuerst haben wir im Inneren nach y, im Äußeren nach x integriert. Im Gebiet G ist das umgekehrt: Im Inneren integrieren wir nach x, im Äußeren nach y und entsprechend müssen die Integrationsgrenzen angepasst werden. Es gibt ebene Gebiete, die sich sowohl auf eine, als auch auf andere Weise beschreiben lassen. Und auf dieser Seite steht eine Aufgabe, wo ich zwischen beiden Beschreibungen wechsle. Wo ich die Integrationsreihenfolge verändere. So weit zu den Rechenformeln für Zweifache Integrale. Nun möchte ich euch erklären, was man sich unter Doppelten Integralen inhaltlich, geometrisch und physikalisch vorstellen soll. Das ist der nächste große Abschnitt. Wir wissen ja, dass wir mit Integralen Flächeninhalte berechnen können. Vielleich geb ich zuerst eine kurze Motivation aus Analysis 1 oder aus der Schule. Da ist Folgendes bekannt: Wenn man eine Funktion hat, von einer veränderlichen, hier ist der Graph der Funktion y=f(x), oberhalb von einem Intervall a-b. Dann kann man das Gebiet zwischen dem Graph und der Funktion und der x-Achse betrachten und die Fläche des Gebietes ist eben das Integral von a bis b f(x) dx. Das ist das Flächenmaß des Gebietes zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f. Man kann mit einfachen Integralen Flächenmessungen vornehmen und mit doppelten Integralen kann man ähnliches machen. Man kann mit doppelten Integralen sowohl Flächenmaße berechnen, als auch Volumen berechnen. Wie das konkret geht, möchte ich euch im Folgenden kurz erklären. Und zwar habe ich folgende Situation: Ich betrachte eine Funktion mit positiven Werten. Also 1. zu einer Funktion f mit positiven Werten. Sie hat Werte im Halbintervall von 0 bis ∞ betrachte den Körper. Welchen Körper meine ich? Man kann natürlich den Graphen der Funktion f oberhalb der xy-Ebene auftragen. Das wird meinetwegen so aussehen. Wie kann ich da den Graphen aufzeichnen? Meinetwegen so: Das ist so eine Rutsche. Das ist der Graph der Funktion f. Das ist die Fläche mit z=f(x,y). Und oberhalb eines bestimmtes Gebietes in der xy-Ebene und dieses Gebiet nenne ich traditionell Omega. Beispielsweise, damit die Zeichnung leichter wird, ist Omega ein Rechteck in der xy-Ebene. Hier ist Omega. Dann ist es ganz sinnvoll, den Körper zwischen dem Graphen der Funktion und dem Gebiet Omega zu betrachten. Diesen Körper nenne ich K, wir wollen das Volumen von diesem Körper messen. Also zu dieser Funktion f: betrachte den Körper K und der Körper K lässt sich analytisch so beschreiben: K={(x,y,z) ist Element von R². x,y,z sind Punkte im dreidimensionalen Raum mit der folgenden Eigenschaft: x,y befinden sich in einem Gebiet Omega, aber die Koordinate z liegt zwischen 0 und f(x,y). Das ist die analytische Beschreibung des Volumenbereichs zwischen dem Gebiet Omega in der xy-Ebene und dem Graphen der Funktion f. Man kann das Volumen von diesem Körper mit Hilfe von Doppelintegralen berechnen. Dann lässt sich Volumen des Körpers K wie folgt berechnen: Das ist einfach nur ein Doppelintegral der Funktion f über dem Gebiet Omega. Das ist die geometrische Interpretation von Doppelintegralen. Das ist ein sehr wichtiger Punkt, ich empfehle euch das auswendig zu lernen. Noch ein mal: Wenn man eine regelwertige Funktion f hat von einem Intervall a-b die reellen Zahlen, dann ist das Integral dieser Funktion gleich dem Flächenmaß des Gebiets zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse. Hier hat man eine analoge Situation: Wenn man das Doppelintegral einer Funktion f über dem Gebiet Omega hat, ist das Volumen des Körpers zwischen dem Graphen der Funktion und dem Gebiet Omega der xy-Ebene. Das ist eine sehr wichtige Interpretation. Daraus ergibt sich eine nächste Interpretation: Wenn die Funktion f=1, dann hat man keine Rutsche hier oben, sondern ein Quader. Also der Graph der Funktion f ist dann gleich 1, einfach nur eine Ebene auf der Höhe z=1, wenn f gleich 1 wäre. Wir wollen uns diesen speziellen Fall anschauen. Also im Fall f=1 ist das Doppelintegral von f über Omega und wenn f identisch gleich 1 ist schreibt man dieses f nicht explizit hin, man schreibt einfach nur dxdy, denn eine Multiplikation mit 1 bewirkt nichts. In diesem Fall ist das hier das Volumen eines Quaders mit der Höhe 1 und das ist zugleich der Inhalt der Grundfläche. Das ist auch eine sehr einfache Idee. Wenn man ein Quader hat, dessen Höhe 1 ist, dann ist sein Volumen natürlich gleich der Grundfläche mal die Höhe. Weil die Höhe 1 ist, dann ist sein Volumen dasselbe wie die Grundfläche. Und aus diesem Grund, hier ist das Integral dxdy ohne irgendeine Funktion f hier drin. Dieses Integral ist ein Flächenmaß des Gebiets Omega. Das ist eine sehr wichtige Interpretation, ich empfehle euch, euch das in der folgenden Form zu merken: ganz kurz die 2. geometrische Interpretation. Fläche(Ω)=∫∫dxdy über Omega.D1-Funktion schreibt man nicht explizit hin. Wenn unter dem Integral kein Zeichen steht, dann berechnet man einfach nur Flächeninhalte des Gebiets Omega. Mit Doppelintegralen kann man sowohl Volumina, als auch die Flächeninhalte berechnen. Das ist eine zweite wichtige Interpretation. Und natürlich ist es nicht so interessant, wenn Omega einfach nur ein Rechteck ist. Wenn Omega irgendwie gekrümmt ist, wie wir vorher gezeichnet haben, dann ist es nicht ganz egal, die Fläche von Omega zu berechnen und das ist eine mögliche Rechenformel wie man die Fläche von Omega berechnet. Zum Schluss möchte ich noch eine physikalische Interpretation des Doppelintegrals geben. Dazu muss ich alles, was ich bisher geschrieben habe opfern. Die Überschrift lautet geometrische Interpretation, das stimmt nicht ganz. Geometrische unphysikalische Interpretation und der 3. Punkt ist der folgende: Noch einmal, wir haben ein Gebiet Omega in der xy-Ebene, so irgendwie wird das Gebiet aussehen. Es ist denkbar, dass über das Gebiet Omega eine Masse verteilt ist. Man kann sinnvollerweise fragen, welche Gesamtmasse das Gebiet Omega hat. Und die Antwort darauf ergibt sich wieder aus dem Doppelintegral. Doppelintegrale helfen uns dabei, die Gesamtmasse von solchen Integralen zu berechnen. Wenn über dem Gebiet Omega Masse verteilt ist, dann wird die Massenverteilung wird durch die Massendichtefunktion beschrieben. Also ist μ die Massendichte des Gebiets Omega und Masse ist natürlich immer positiv, deswegen hat diese Masse immer nur positive Werte. Also ist μ die Massendichte von Omega, dann ist das Doppelintegral von μ bezüglich Ω die Gesamtmasse von Omega. Ganz einfach, Ω ist meinetwegen ein Blech, das auf der xy-Ebene liegt und die xy-Ebene ist natürlich zweidimensional, deswegen ist Ω eine Menge von R². Und dieses Blech ist flach, hat aber eine bestimmte Masse. Dann kann man die Masse von diesem Blechstück mit Hilfe vom Doppelintegral ausrechnen, weil man die Massenverteilung kennt. Also wir haben 3 wichtige geometrische Interpretationen von Doppelintegralen: Einmal können wir Volumina damit rechnen, zum Anderen können wir Flächeninhalte damit rechnen und wir können so wie hier beschrieben Massen von flachen Gebieten berechnen. Es gibt aber noch eine physikalische Interpretation, die der letzten sehr ähnlich ist. Wenn Omega wieder so ein Stück Alu oder ein Stück Blech ist, über das die elektrische Ladung verteilt ist, dann kann man wieder die Ladungsdichte mit μ bezeichnen. Wenn man die Ladungsdichte über Omega integriert, dann bekommt man die Gesamtladung des Blechs. Also man geht analog mit der Masse. Wenn man Massendichte integriert, dann bekommt man die Gesamtmasse. Wenn man die Ladungsdichte integriert, dann bekommt man die Gesamtladung. Wunderbar, das empfehle ich euch alles über doppelte Integrale auswendig zu lernen zu lernen, das hilft dann beim Verständnis, also bei Fragen, die dann diese Begriffe benutzen. Ok, das wars.

Informationen zum Video
9 Kommentare
  1. Default

    Super Typ

    Von Boris Kurowski, vor 10 Monaten
  2. Default

    Sorry aber:
    Bitte erklär es doch einfach...
    Bevor man es Fachmännisch an die Tafel schreibt(oder abschreibt aus einem Buch), sollte man es erst mit eigenen Worten beschreiben. Oder ein selbst ausgedachtes Beispiel anführen. Und es anfangs simpel erklären. Um einen Überblick zu bekommen.

    Von Black Brush, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Machts besser...

    Von Thadod, vor fast 5 Jahren
  4. Default

    Vortrag lässt zu wünschen übrig!!

    Von 08voelkl, vor mehr als 5 Jahren
  5. Default

    Also wie er die Materie rüber bringt ist einfach hammer... und so schlimm ist seine aussprache nicht..

    Von Neshkaran, vor mehr als 5 Jahren
  1. Default

    die ähs und öhs stören überhaupt nicht

    oh man, einige haben Probleme

    besser als in einem überfüllten lauten und unbequem Vorlesungssaal zu sitzen ist es allemal. Sagt nicht, dass euer Professor nie ähh öh äh macht und immer ganz sauber schreibt *rolleyes

    Von Paulschlabber, vor etwa 6 Jahren
  2. Default

    Ich schließe mich Myraapha an!!!!!
    Unglaublich transparent gestaltet!!!!
    Danke für die Vidoes!!!!!

    Von Markus S, vor etwa 6 Jahren
  3. Default

    dafür kriegt es meiner meinung nach kaum ein anderer so gut hin, den stoff so verständlich rüberzubringen. flüssige sprache hin oder her.. ich bin restlos begeistert!!

    Von Myraapla, vor mehr als 6 Jahren
  4. Default

    es ist einfach nur anstrengend dem Tutor zuzuhören. Leider is eine flüssige Sprache nicht möglich. ähhhh äähhh öhhhh dan, dan, dan, dan

    Von Alija D, vor fast 7 Jahren
Mehr Kommentare