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Transkript Doppelintegrale – Aufgabe 1

Hier wollen wir ein doppeltes Integral ausrechnen. Doppelintegral oder zweifaches Integral - man nennt das, wie man es will. Also, wir haben die Funktion, die wir integrieren wollen. Sie ist ja sehr einfach: x2y. Das ist ein Polynom mit 2 Variablen, damit die Integration nicht so kompliziert wird. Und wir haben das Gebiet Ω. Das Gebiet Ω wird durch 3 Ungleichungen beschrieben. Als Erstes machen wir uns klar, wie das Gebiet Ω grafisch aussieht. Zweitens stellen wir das Gebiet Ω in der Form dar, die für die Integration geeignet ist. Und drittens schließlich führen wir die Integration durch.   Na also, der Reihe nach: Das Gebiet Ω wird beschrieben durch die 3 Ungleichungen, und erst mal veranschaulichen wir diese Ungleichungen. Die Ungleichung y≥0, die sieht am einfachsten aus. Das ist einfach nur die obere Halbebene. Das ist klar. Die Menge der Punkte ... (Moment mal, jetzt habe ich aber die Achsen verwechselt. Das ist ja schlecht für den Anfang. Also, hier ist die x-Achse; hier ist die y-Achse.) Und wir betrachten die Menge der Punkte, wo y≥0 ist, das heißt die Menge der Punkte, die sich auf die positive y-Halbachse projizieren. Und diese Punkte liegen alle hier. Also, die Ungleichung y≥0, sie beschreiben das schraffierte Gebiet. Die obere Halbebene. Das ging schnell. Nun die nächste Ungleichung - das wird ein bisschen dauern, wie wir sie veranschaulichen. Mein Vorschlag ist: Wenn man Ungleichungen veranschaulicht, da soll man zuerst mit der entsprechenden Gleichung anfangen. Also, wir wollen diese Ungleichung veranschaulichen, und die Technik ist die Folgende: Schreibe erst mal die entsprechende Gleichung auf. Wir wollen das veranschaulichen. Und in diesem Fall ist es sinnvoll, diese Gleichung nach y umzustellen. Wir bekommen dann y=-x+1. Das ist die Umstellung dieser Gleichung nach y. Und es ist ja bekannt, das ist die Gleichung einer Geraden mit der Steigung -1 und mit der Verschiebung 1. Hier ist das entsprechende Bild. Wir haben die Verschiebung 1 nach oben (+1), das heißt diese Gerade, die durch diese Gleichung beschrieben wird, die schneidet die y-Achse an der Stelle 1. Und die Steigung dieser Geraden ist -1. Also, so läuft diese Gerade herum. Das war die Gleichung. Also damit haben wir die Gleichung veranschaulicht. Und die entsprechende Ungleichung sieht dann so aus: (Also jetzt korrigiere ich alles so, dass wir dann mit Ungleichungen zu tun haben.) Und die entsprechende Ungleichung sieht so aus: y ≤ einem bestimmten Ausdruck. Das bedeutet, y≤, das heißt, wir beschreiben die Punkte, die sich unterhalb der besagten Gerade befinden. y ≤ als dieser Ausdruck; der Ausdruck -x+1 beschreibt eine Gerade; y ist < als diese Gerade. Das heißt, wir haben es mit einem Gebiet zu tun, das unterhalb dieser Gerade liegt. Hier ist es, dieses Gebiet. Also, das war die Veranschaulichung der Ungleichung x+y≤1. Und nun sollen wir die 3. Ungleichung veranschaulichen und das geht ganz analog. Das mache ich ein bisschen schneller. Also ich habe dann die Ungleichung y-x≤1, die stelle ich nach ... Also, wenn ihr Schwierigkeiten mit Ungleichungen habt, dann wechselt zuerst zu entsprechenden Gleichungen. Das mache ich jetzt hier nicht. Ich habe schon explizit an diesem Beispiel erklärt, wie das geht; am Beispiel y+x≤1. Also, ich stelle das alles nach y um. Rechts habe ich eine Gerade, x+1. Diese Gerade ist genauso wie vorher um 1 nach oben verschoben. Sie schneidet die y-Achse bei 1. Und bei x habe ich den Koeffizienten 1, also das ist eine Steigung von 1. Und wieder habe ich die Ungleichung: y ist ≤ als ein bestimmter Ausdruck, der eine Gerade beschreibt. Also, gemeint sind alle Punkte, die sich unterhalb der Geraden befinden. Und das ist das Gebiet, das die Ungleichung y-x≤1 beschreibt. So. Das ist schon ein Schritt nach vorne. Also, wir haben schon etwas gemacht für diese Aufgabe. Nun sollen wir diese Ergebnisse kombinieren. Diese Kommas, die hier stehen, bedeuten die logische Verknüpfung "und". Das heißt, wir betrachten die Punkte (x, y) auf der R2-Ebene, die alle diese 3 Ungleichungen erfüllen. Das heißt mengentechnisch, wir müssen diese 3 schraffierten Gebiete miteinander schneiden, um das Gebiet Ω zu bekommen. Also noch einmal: Die Kommas bedeuten die logische Und-Verknüpfung, und die logische Und-Verknüpfung bedeutet mengentechnisch eine Schnittoperation. Also, wir schneiden die 3 schraffierten Gebiete miteinander. So. Das 1. Gebiet ist die obere Halbebene. (Ah, mein Gott! Ich tendiere dazu, immer y falsch herumzuschreiben. Ich weiß nicht, woran das liegt.) Dann das 2. Gebiet sah so aus. Und ich schraffiere natürlich nur die Teile, die für das 1. Gebiet relevant sind, also die obere Halbebene. Und das 3. Gebiet sah so aus. Also wir sehen, der Schnitt von diesen 3 Gebieten ist dieses Dreieck. (Dieses Dreieck sieht so aus wie eine Indianerhütte. Jetzt möchte ich diesen Schmuck da oben wegwischen. Und jetzt haben wir nun wirklich ein Dreieck.) Und das ist das Gebiet Ω. Die eine Ecke liegt auf der y-Achse bei 1, die andere Ecke liegt auf der x-Achse bei -1. (Übrigens, hier ist -1. Hier ist 1.) Die Basis des Dreiecks liegt auf der x-Achse auf dem Abschnitt von -1 bis 1. Das ist das Gebiet Ω. Gut. Nun haben wir uns klar gemacht, wie das Gebiet Ω aussieht. Das ist ja sehr wichtig bei Integrationsaufgaben. Bei Integrationsaufgaben, bei zweifachen und dreifachen Integralen, geht es fast immer darum, die Integrationsgrenzen richtig zu wählen. Und damit wir die Integrationsgrenzen richtig wählen können, da empfiehlt es sich, dass wir das Gebiet erst mal veranschaulichen. Nun haben wir das.   Als Nächstes wollen wir das Gebiet Ω analytisch so beschreiben, dass es für Integrationen vorteilhaft ist. Ich erinnere euch, welche analytische Beschreibung für die Integration sinnvoll ist. Im theoretischen Beitrag zu diesem Thema habe ich eine Rechenformel präsentiert, und diese Rechenformel setzt voraus, dass das Gebiet Ω in einer bestimmten Form dargestellt ist. Und ich erinnere euch, wie diese Form aussah. Das ist die Menge der Punkte (x, y) auf der R2-Ebene mit der folgenden Eigenschaft: So, dass x sich in einem Intervall von a bis b befindet; und y liegt zwischen 2 Funktionen φ1(x) und φ2(x). Das ist die analytische Beschreibung des Gebiets Ω, die für die Integration vorteilhaft ist. Nun wollen wir uns klar machen: Was sind die Zeilen a, b und was sind die Funktionen φ1 und φ2 für dieses Gebiet Ω, in der konkreten Aufgabe? Also, grafisch war es so, das Gebiet Ω, das ist ein Gebiet zwischen den Graphen der Funktionen φ1 und φ2. Und auf dem Bild sehen wir, das Gebiet Ω ist tatsächlich ein Gebiet zwischen 2 Kurven. Und diese Kurven können als Graphen von 2 Funktionen dargestellt werden. Also, die Funktion unten, deren Graph markiere ich hier rot. Das wird die Funktion φ1 sein, hier unten. Und die Funktion φ1 können wir ruhig gleich 0 setzen. Also, die rote Linie hier das ist der Graph der Nullfunktion. Gut, das ist das Eine. Und wir sehen ja offenbar, dass das Intervall, über das wir den Graph der Funktion betrachten, das ist ein Intervall von -1 bis 1. Das kann ich hier auch fixieren. Das Intervall (a, b) ist ja so geartet, dass a=-1 ist und b=1 ist. Das können wir ziemlich schnell sehen. Was wir nicht so schnell sehen können, ist die Funktion φ2. Der Graph der Funktion φ2 ist hier oben. Das ist das Dach unserer Hütte. Ich markiere noch einmal fett den Graph der Funktion φ2. Und wir wollen dann die Funktion φ2 so wählen, dass ihr Graph ebenso aussieht. Das ist die nächste Herausforderung in dieser Aufgabe. Erst mal fasse ich zusammen, was wir einfach so sehen können (was geschenkt ist). Also: „Offenbar:“ Das Intervall (a, b) sieht so aus: a=-1; b=1. Und die untere Funktion ist einfach nur 0. Als Nächstes berechnen wir die Funktion φ2. (Und ich opfere dann unsere schöne Zeichnung. Das ist auch kein Problem – die Zeichnung lässt sich sehr schnell wiederherstellen.) Also, das nächste Problem: „Finde φ2.“ Also, ein geeignetes φ2. Die Idee ist die Betragsfunktion. Ich erinnere euch, die Betragsfunktion hat nun folgenden Graph: Das ist so ein V. Das ist die Funktion. (Die 0 ist hier. ... Ziemlich mager geworden.) Die Funktion y=|x|, nicht wahr? Das ist ja bekannt. Wenn ich dieses V spiegele bezüglich der x-Achse, nach unten, und dann das Spiegelergebnis um 1 anhebe, dann bekomme ich unsere Hütte, die wir brauchen. Dann mache ich das. Zuerst spiegeln bezüglich der x-Achse, und analytisch bedeutet das, dass ich die entsprechende Funktion mit -1 multipliziere. Das ist eine Spiegelung bezüglich der x-Achse. Und dann muss ich den Graph um 1 nach oben anheben, und analytisch bedeutet das, dass ich da einfach nur 1 hinzuaddiere. Also, ich habe dann y=1-|x|. (1 … -1 … 1 … 0 … x … y.) Gut. Und das ist der obere Rand unseres Gebiets Ω. Auf diese Weise haben wir festgestellt, dass die Funktion φ2 gleich 1-|x| ist. So, nach dieser Rechnung haben wir: „Ergebnis:“ φ2(x)=1-|x|. Hier steht es: 1-|x|. Und alles in allem können wir unser Gebiet Ω wie folgt darstellen: Ω ist die Menge der Zahlen (x, y), sodass x sich zwischen -1 und 1 befindet; und y sich zwischen φ1 und φ2 befindet. Und φ1 haben wir sofort gesehen; φ1 ist 0. Und φ2 haben wir uns gerade überlegt; φ2=1-|x|. Das ist ein ziemlich großer Fortschritt in unserer Aufgabe. Nun haben wir das Gebiet Ω auf die Form gebracht, mit der wir integrationstechnisch etwas anfangen können.   Und die Integration sieht dann so aus: Die äußere Integrationsvariable wird x sein, die innere y. Und wie erfolgt die Integration? Hier ist das Gebiet Ω. (Ich schraffiere das Gebiet rosa.) Und wie wird dann die Integration aussehen? Ich fixiere ein x, das ist die äußere Integrationsvariable, und mit y gehe ich dann entlang dieser senkrechten Strecke. Also, ich gehe mit y von 0 bis zu diesem Punkt hier. Und dieser Punkt wird dann durch die Funktion φ2 beschrieben, die den oberen Rand des Gebiets Ω beschreibt. Ich gehe also von 0 bis 1-x. Ein bisschen deutlicher: Wenn x hier fixiert ist, bei x0 meinetwegen, dann geht y von 0 bis 1-|x0|. Das ist ja diese Strecke. Und wenn x0=-1 ist, dann macht 1-|x0| auch 0. Also wir haben hier keine Bewegung. Wenn x0=0 ist, dann gehen wir mit y von 0 bis 1-0=1, also von 0 bis 1. Und so weiter.   Gut. Dann sind wir beim 3. Teil unserer Aufgabe angelangt: Unmittelbare Integration. Also, das Integral der Funktion x2y dxdy über dem Gebiet Ω kann man so berechnen: Bezüglich der Variable x wird außen integriert, also x läuft von -1 bis 1 – so steht es hier in unserer Formel, x läuft von -1 bis 1. x ist die äußere Integrationsvariable; die innere Integrationsvariable ist y. Und y, haben wir uns überlegt, läuft von 0 bis 1-|x|. Und deswegen ist diese Schreibweise für die Menge Ω sehr bequem. Indem wir uns diese Darstellung des Gebiets Ω herleiten, überlegen wir uns die Integrationsgrenzen. Also, die zu integrierende Funktion ist x2y, nach wie vor, und im Inneren integrieren wir bezüglich y. Grafisch soll man es sich so vorstellen: Wenn wir außen bezüglich x integrieren, dann sieht es so aus auf dem Bild: Wir fixieren x irgendwo zwischen -1 und 1, das sind die Integrationsgrenzen für x, und dann laufen wir mit y von 0 bis zum Dach von unserer Hütte. Und das Dach wird eben durch die Funktion 1-|x| beschrieben, hier. y läuft von 0 bis zu der Funktion, die den oberen Rand des Gebiets beschreibt.   Gut. Das war jetzt der inhaltliche Teil unserer Aufgabe. Es bleibt nur noch die Rechnung. Das ist ein sehr wichtiger Teil, wenn man diesen Teil nicht zustande bringen kann, dann hat man keinen Erfolg bei einer solchen Integrationsaufgabe. Nun ist es ja ganz einfach. Nun integrieren wir bezüglich y und dann bezüglich x, und dann haben wir es. Jetzt sind wir in der Analysis I gelandet. x2×y bezüglich y integriert ergibt folgende Stammfunktion: Das ist ½x2y2. (Wenn wir das nach y ableiten, dann bekommen wir x2y.) Und die Stammfunktion sollen wir in den Randpunkten des Integrationsintervalls auswerten. (Moment.) Also, wir haben mit y=0 angefangen und dann bei y=1-|x| aufgehört. Klammer zu, dx. Nun berechnen wir den Ausdruck in Klammern: y=0 einsetzen, bewirkt nichts. Jetzt müssen wir y=1-|x| einsetzen, und vielleicht können wir den konstanten Vorfaktor ½ schon nach vorne vorziehen. Also: ½∫(-1 bis 1) … und dann habe ich im Integral: x2 … und statt y setze ich dann (1-|x|) ein; und y soll ja quadriert werden. Und das alles sollen wir noch bezüglich x integrieren. Nun haben wir so ein Ding. Die Berechnung ist nicht kompliziert. Wir wollen die Berechnung noch einfacher machen. Diese Funktion x2-|x|^2 ist offenbar eine gerade Funktion. Sie ist achsensymmetrisch, der Graph der Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-Achse. Deswegen können wir die Integration der Geradefunktion ein wenig vereinfachen. Es genügt, das Integral von 0 bis 1 zu berechnen und dann den Wert, den wir erhalten, zu verdoppeln. Dann bekommen wir aufgrund der Symmetrie dieselben Zahlen, als wenn wir von -1 bis 1 integrieren würden. Also, das mache ich dann. Das ist die bekannte Rechenregel für gerade Funktionen. (Also, für diejenigen Leute, die es kurz vergessen haben, schreibe ich es als Erinnerung an: ∫(von -a bis a)g(x)dx=2∫(von 0 bis a)g(x)dx. Das ist die Rechenregel für gerade Funktionen, wenn das Integrationsintervall symmetrisch bezüglich 0 ist. Wenn g gerade ist, dann geht das. Und in unserem Fall ist das Integral gerade, deswegen können wir das machen. Das ist wirklich eine Vereinfachung. Also, ich habe ½ … der Vorfaktor ist dann 2 … ∫(von 0 bis 1)x2(1-|x|)2dx. Nun, als Nächstes sehen wir, dass es bezüglich x von 0 bis 1 läuft. x ist immer positiv; x ist immer größer als 0. Und wenn x positiv ist, dann ist |x| gleich dem x selbst. Und wir haben eine weitere Vereinfachung: Wir können |x| durch x ersetzen, weil wir nur mit einem positiven x integrieren. Als Nächstes, hier vorne, ½×2 gibt 1, also brauchen wir hier gar nichts zu schreiben. Und ansonsten haben wir ein Polynom. Die Polynome können wir sehr leicht integrieren. Zuerst vielleicht die binomische Formel anwenden, dann alles munter ausmultiplizieren, und dann können wir die Stammfunktion sehr schnell bilden. Also, dann mache ich das schnell. In Klammern habe ich R1-x nach der binomischen Formel, das macht (1-2x+x2)dx. Dann multipliziere ich x in die Klamm hinein, damit ich das richtige Polynom bekomme. (So. Die Zwischenschritte darf ich ruhig wegwischen. Die brauchen wir nicht mehr.) Ja, und eigentlich könnt ihr das ab jetzt ruhig selbst machen. Wenn man den Stoff von der Analysis I beherrscht, dann muss man in der Lage sein, das selbst zu machen. Also, x sollen wir dann natürlich in die Klammer hinein multiplizieren. (Hier sind Pünktchen für die Rechnung, die ich gerade weggewischt habe.) ∫(von 0 bis 1) … Jetzt multipliziere ich x2 in die Klammer hinein, dann bekomme ich (x2-2x3+x4)dx. Und nun die Stammfunktion bilden, wie man sie eben für Polynome bildet. Das ist hier gar nicht so schwer. Die Stammfunktion ist dann: 1/3x3-2 … (Das ist der Vorfaktor; den Vorfaktor behalte ich noch mal.) … also, -2. Die Stammfunktion von x3 ist (x4)/4, also ×¼x4, und das gibt dann -½, wenn ich es ausmultipliziere. Das könnte ich hier sofort schreiben, aber ich will die Dinge nicht überhasten. Und x4 hat die Stammfunktion (x5)/5. Das alles sollen wir erst mal in den Integrationsgrenzen auswerten (0 und 1). Also, 0 einsetzen, das ergibt nichts. Jetzt sollen wir einfach nur 1 einsetzen. Ich bekomme dann: 1/3-½+1/5. Nun sind wir in der Grundschule gelandet. Jetzt müssen wir diese Bruchrechnung noch zustande bringen. 1/3-½ macht natürlich -1/6; +1/5. Und 1/5-1/6 macht … Wie viel macht das? Das macht 1/30. Und das ist eben der Wert des Integrals. Das Integral, das wir berechnen mussten, ist gleich 1/30.   Vielen Dank!

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1 Kommentar
  1. Default

    Gut und verständlich erklärt!:-)

    Von Mbross, vor mehr als 4 Jahren