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Transkript Divergenz in Kugelkoordinaten – Aufgabe Teil 1

In diesem Beispiel beschäftigen wir uns konkret mit dem Gradienten in Kugelkoordinaten. Hier ist eine konkrete Funktion gegeben, u habe ich sie genannt. Und sie ist zunächst in kartesischen Koordinaten (x,y,z) vorgegeben. Die Formel ist hier. Ich markiere die Formel noch einmal. Hier ist das zentrale Objekt in dieser Aufgabe. Und wir wollen so manches anstellen mit dieser Funktion. 1. Wir berechnen den Gradienten dieser Funktion in kartesischen Koordinaten, wie gewohnt. Das wird dann für die Meisten von euch hoffentlich nichts Neues. Zweitens stellen wir diese Funktion u in Kugelkoordinaten dar. Also wir erstellen sie als Funktion von (r,θ,φ) und ich bezeichne dann die Darstellung der Kugelkoordinaten durch U. Und als Nächstes berechnen wir den Gradienten von U in Kugelkoordinaten. Zum Schluss vergleichen wir dann Ergebnisse. Die Moral dieses Beispiels wird die sein, es ist ja völlig egal, in welchen Koordinaten wir den Gradienten berechnen, es kommt dasselbe heraus. Der Gradient ist koordinatenunabhängig. Wenn man Gradienten in Kugelkoordinaten berechnet, muss man eine andere Formel benutzten als die, die man bei der Berechnung in kartesischen Koordinaten benutzt. Das ist unser Vorhaben für dieses Beispiel. Also fangen wir mit dem 1. Teil an. Wir berechnen den Gradienten von u in kartesischen Koordinaten. Die Formel für den Gradienten ist bekannt. Der Gradient einer Funktion in kartesischen Koordinaten ist ein Vektor, egal, ob man diesen Vektor als Zeile oder Spalte schreibt. Aus Platzgründen schreibe ich den Vektor als eine Zeile. Der Vektor, der aus partiellen Ableitungen der Funktion besteht: (∂u/∂x;∂u/∂y;∂u/∂z). Das ist der Gradient in kartesischen Koordinaten. In dieser Formel habe ich die Abhängigkeit von u von (x,y,z) unterdrückt, ebenfalls aus Platzgründen. Das darf man machen, das ist üblich so. Nun berechnen wir die partiellen Ableitungen, ∂u/∂x und zu diesem Zweck stelle ich die Wurzel einer Funktion in einer anderen Form dar, als (Ausdruck)^½. Und weil ich 1 durch die Wurzel teile, stelle ich am besten die Funktion als der (Ausdruck)^-½ dar. Also die Funktion u kann man so darstellen: (x2+y2+z2)^-½. Das ist erst mal eine formale Umformung der Funktion, damit wir bequemer differenzieren können. Und als Nächstes benutze ich die Kettenregel, wie immer. -½ kommt nach vorne, dann habe ich (x2+y2+z2)^-3/2. Das ist die äußere Ableitung. Dann kommt die innere Ableitung, x2+y2+z2 muss ich nach x ableiten und bekomme 2x. Nun ein wenig umrechnen. 2×(-½) ergibt -1, also ich habe -x. Die (Quadratsumme)^-3/2 stelle ich als Bruch dar, 1/(Quadratsumme)3/2. Das war die x-ableitende Funktion u. Es ist ja völlig klar, dass die y-Ableitung einer Funktion analog aussehen wird. Der Unterschied wird der sein, dass dann hier oben im Zähler statt x y landet. Und Entsprechendes gilt für die z-Ableitung. Das rechne ich nicht im Einzelnen vor. Das ist ja völlig klar, wie die y- und z-Ableitungen aussehen werden. Nun übernehme ich dieses Ergebnis. Also mit dieser Rechnung haben wir grad u= und das, was wir dort ausgerechnet haben, -x/(Summe der Quadrate)3/2. Das war die x-Ableitung, das haben wir explizit vorgerechnet. Und dann die y-Ableitung ist ähnlich. Da habe ich -y / denselben Ausdruck. Es ist ein bisschen anstrengend, diesen Ausdruck immer wieder abzuschreiben, aber der Korrektheit halber mache ich das. Das ist der Gradientenvektor. In diesem Fall habe ich den Gradientenvektor als Spalte hingeschrieben. Das ist ebenfalls aus Platzgründen. Jede Komponente des Vektors hat einen gemeinsamen Faktor, und diesen Faktor ziehe ich hier raus. -1/(Summe der Quadrate)3/2 × Vektor(x;y;z). Das ist der Gradient in der Funktion u in kartesischen Koordinaten. Nun gehen wir zum 2. Punkt unserer Aufgabe über. Hier sollen wir die Funktion u in Kugelkoordinaten darstellen. Damit ich Platz habe, wische ich alles weg. Dieses Ergebnis werden wir uns merken. Das steht auf jeden Fall bei mir auf dem Zettel, geht nicht verloren. Nun wollen wir die Funktion auf die Kugelkoordinaten umrechnen. Und dazu brauchen wir den Zusammenhang zwischen Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten. Diesen Zusammenhang habe ich im Beitrag über Kugelkoordinaten präsentiert. Wenn jemand das nötig hat, dann kann er dort nachschlagen. Vielleicht anstandshalber belasse ich die Funktion u hier an der Tafel, nicht belasse, sondern schreibe sie neu hin. Die Funktion u sah so aus. Der 2. Teil der Aufgabe: Wir rechnen die Funktion auf Kugelkoordinaten um. Vielleicht noch ein Wort dazu, warum das sinnvoll ist, eine solche Funktion in Kugelkoordinaten umzurechnen. Wir sehen, die Funktion u hängt von der Summe der Quadrate ab, x2+y2+z2. Und aus dem Thema Kugelkoordinaten wissen wir, dass dieser Ausdruck gleich dem Abstand des Punktes (x,y,z) zum Ursprung ist. Nicht genau die Summe der Quadrate, sondern die Wurzel aus dieser Summe. Die Wurzel aus dieser Summe ist der Abstand zum Ursprung. Also die Funktion u hängt nur vom Abstand zum Ursprung ab. In diesem Sinne sagt man, dass die Funktion kugelsymmetrisch ist. Also sie hängt nicht von der Richtung des Vektors (x,y,z) ab, sondern nur von seiner Länge, also vom Abstand zum Ursprung. Man sagt, die Funktion u ist kugelsymmetrisch. Deswegen ist es vorteilhaft, bei der Behandlung dieser Funktion mit Kugelkoordinaten zu arbeiten. Ja, nun machen wir diese Umrechnung. Der Zusammenhang der kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten ist bekannt. Er ist durch folgende Formel gegeben, die ich hier anschreibe. Also x=(r sinθ cosφ), y=(r sinθ sinφ) und z=(r cosθ). Und die Umrechnung geht folgendermaßen vor. Ich setze in die Funktion u statt (x,y,z) die entsprechenden Ausdrücke in Kugelkoordinaten ein. Statt x setze ich (r sinθ cosφ) ein, statt y setze ich (r sinθ sinφ) ein und statt z (r cosθ). Nun, die Formel für die Funktion u ist gegeben. Das ist 1 / die Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Komponenten. Also ich schreibe es hin: 1/\sqrt, ja und nun kommt ein schrecklich langer Ausdruck an die Tafel, also (r2 sin2θ cos2φ). Aber ich kann euch schon beruhigen, dieser Ausdruck wird sich kürzen, er wird sich vereinfachen. Wir werden gleich sehen wie. (r2 sin2θ sin2φ) + (r2 cos2θ). Und nun wollen wir diesen Ausdruck ein wenig umrechnen. Das mache ich am besten mit dem Wischlappen. Ich will das nicht gerne jedes Mal umschreiben, das ist ja viel zu viel Schreibarbeit. Wir betrachten die ersten 2 Terme in dieser Summe. Die ersten 2 Terme haben einen gemeinsamen Faktor r2sin2θ. Diesen gemeinsamen Faktor will ich ausklammern und bekomme Folgendes: r2sin2θ×(cos2φ×sin2φ). Hier sind die Klammern. cos2φ×sin2φ macht 1. Also die Klammer, die ich habe, ist 1. Die Multiplikation mit 1 bewirkt nichts, also die ganze Klammer kann ich wegwischen. Das ist die Multiplikation mit 1. Und das ist schon sehr angenehm. Unter der Wurzel habe ich r2sin2θ+r2cos2θ. Jetzt mache ich dasselbe. Ich klammere r2 aus, und ich hoffe, jeder von euch sieht, was da passiert. In Klammern bleibt sin2θ+cos2θ, sin2+cos2, ist immer 1. Also auch diese Klammer verschwindet. Und unter der Wurzel, die ja vorher so schrecklich lang war, bleibt einfach nur r2 stehen. Also \sqrt(r2)= wieder r. Und 1/r haben wir. Da r immer eine positive Zahl ist, r ist der Abstand zum Ursprung, dann ist \sqrt(r2) nicht der Betrag r, sondern einfach nur r. Dieses Ergebnis schreibe ich hier rechts hin. Ich habe da gesagt, es ist sinnvoll, mit der Funktion u in den Kugelkoordinaten zu arbeiten. Und spätestens hier sieht man warum. Weil in den Kugelkoordinaten ist u durch einen sehr einfachen Ausdruck repräsentiert, 1/r. Also Ergebnis: U(r,θ,φ) definiert als 1/r, das ist die Darstellung der Funktion u in Kugelkoordinaten. Und das war der 2. Teil unserer Aufgabe. Vielleicht schreibe ich dieses Ergebnis hier hin: U(r,θ,φ)=1/r. Das ist die Darstellung in Kugelkoordinaten. Als Nächstes sollen wir von der Darstellung in Kugelkoordinaten den Gradienten bilden. Und dabei sollen wir daran denken, dass die Formel für den Gradienten in Kugelkoordinaten nicht dieselbe ist, wie die Formel in Gradienten in kartesischen Koordinaten. Die Formel für den Gradienten in Kugelkoordinaten habe ich im theoretischen Beitrag zum Thema Differenzialoperatoren in krummlinigen Koordinaten vorgestellt. In jeder Formelsammlung gibt es diese Formel, in jeder Formelsammlung zur Analysis 2. Und nun übernehme ich diese Formel. Sie sieht folgendermaßen aus. Nach dieser Formel gradU=∂U/∂r×er^->, das ist der sogenannte radiale Basisvektor in Kugelkoordinaten, +1/r ∂U/∂θ×eθ^->, der weitere Basisvektor in Kugelkoordinaten, und +1/rsinθ ∂U/∂φ×eφ^->. Wie die Vektoren er^->, eθ^->, eφ^-> aussehen, das habe ich präsentiert in dem Beitrag zu Differenzialoperatoren in Kugelkoordinaten. Ich habe da ein schönes Bild an der Tafel gehabt. Und den Gradienten von U berechnet man eben nach dieser Formel, nicht nach derselben Formel wie für kartesische Koordinaten. Nun schauen wir mal, was passiert. Die Funktion U ist weder von θ noch von φ abhängig. Deswegen werden die Ableitungen von U nach θ und nach φ verschwinden, sie werden =0 sein. Und es bleibt einfach nur die Ableitung dieser Funktion ∂/∂r stehen. Also ich setzte dann diese Funktion ein. Die Funktion U=1/r in Kugelkoordinaten × der radiale Basisvektor + und dann schreibe ich 2 Nullen. Es macht ja keinen Sinn, +2 Nullen zu schreiben, aber ich möchte aufmerksam darauf machen, dass die weiteren Terme =0 sind. Sie verschwinden, weil die Funktion U weder von θ noch von φ abhängig ist. Die beiden Ableitungen sind =0. Nun bilde ich die Ableitung von 1/r nach r. Das macht -1/r2 × der radiale Basisvektor. Und das war es, das war die Berechnung des Gradienten in Kugelkoordinaten. Wir sehen, das Einzige, was wir da ableiten sollten, war einfach nur 1/r. Und ansonsten haben wir 2 Nullen. Diese Rechnung war wesentlich einfacher als die entsprechende Rechnung in kartesischen Koordinaten. Das bestätigt noch einmal, dass für eine solche Funktion, für eine kugelsymmetrische Funktion, die Kugelkoordinaten vorteilhafter sind. Gut, nun wollen wir die Ergebnisse vergleichen. Zuerst schreibe ich die Ergebnisse noch einmal an. Und wir wollen uns die Beziehungen zwischen diesen Ergebnissen klar machen. Ich habe gesagt, das soll das Gleiche sein. Bloß wenn man erst mal diese Formeln ansieht, dann sehen die wirklich verschieden aus. Wir wollen uns klar machen, dass es dasselbe ist. Also bis hier haben wir Folgendes ausgerechnet, also gezeigt. Der Gradient der Funktion u in kartesischen Koordinaten war -1/(Summe x2+y2+z2)3/2 × der Vektor (x;y;z). Und andererseits haben wir den Gradienten in Kugelkoordinaten berechnet: gradU(r,θ,φ) war =-1/r2 und dann der radiale Vektor in Kugelkoordinaten. Das sind unsere Ergebnisse. Wir sehen, diese 2 Ausdrücke für den Gradienten sehen ziemlich verschieden aus. Als Nächstes wollen wir klar machen, dass es in Wirklichkeit dasselbe ist. Na also. Und das können wir zum Beispiel so machen, dass wir den Gradienten in kartesischen Koordinaten auf die Kugelkoordinaten umrechnen. Also: grad u(x,y,z). Nun will ich diese Formeln nicht abschreiben. Ich will als Nächstes in die Formel, die wir bekommen haben, die Kugelkoordinaten einsetzen. Dabei wissen wir, dass x2+y2+z2 = r2 ergeben wird. Das war die lange Rechnung, die ich im 1. Teil gemacht habe. Also das übernehme ich sofort. Hier unten in Klammern steht (r2), nachdem ich die Kugelkoordinaten eingesetzt habe. Und statt (x;y;z) setze ich die Kugelkoordinaten nun wirklich ein. Also (rsinθcosφ; rsinθsinφ und rcosθ). Ich sehe, dass der Vektor, den ich da habe, den gemeinsamen Faktor hat, r in jedem Eintrag. Diesen Faktor ziehe ich nach vorne raus und bekomme -r, und unten habe ich (r2)3/2, das ergibt r3. Alle anderen Sachen, die von θ und φ abhängig sind, lasse ich erst mal stehen hier. Nun folgende Überlegung: Vorne kann ich r kürzen, statt r/r3 bekomme ich 1/r2. Und der Vektor, der hier steht, das ist genau der radiale Einheitsvektor in Kugelkoordinaten. Bitte, wenn Bedarf dafür besteht, der schlägt nach in der Formelsammlung, die steht auf dieser Seite, oder in dem Beitrag zu dem Thema, der auf der Seite steht. Der Vektor, der hier geblieben ist, ist der radiale Einheitsvektor in Kugelkoordinaten. Und wir haben -1/r2 × der radiale Einheitsvektor, und das ist genau der Gradient der Darstellung der Funktion U in Kugelkoordinaten. Obwohl diese Formeln in kartesischen und Kugelkoordinaten sehr verschieden aussehen, sie haben denselben Inhalt. Der Gradient ist ein von Koordinaten unabhängiger Begriff. Es ist so, wie ich einen Roman in englischer Sprache lese oder in der deutschen Sprache lese, der Inhalt ist derselbe, die Sprachen sind verschieden. Genauso ist es hier. Egal, ob ich in den kartesischen Koordinaten rechne oder in Kugelkoordinaten rechne, ich bekomme dasselbe Ergebnis. Aber der Unterschied ist der, dass ich bei der Rechnung in kartesischen Koordinaten die eine Formel für den Gradienten nehmen soll, bei der Rechnung in Kugelkoordinaten eine andere Formel nehmen soll. Genauso wie bei Sprachen, jede Sprache hat ihre eigene Grammatik, ihre eigenen Regeln. So kann man das sehen. Und noch ein Kommentar. Es ist unerheblich, ob wir zuerst den Gradienten berechnen und dann das Ergebnis in Kugelkoordinaten umrechnen, wie ich es zuletzt getan habe, oder umgekehrt. Zuerst die Funktion in Kugelkoordinaten umrechnen und erst dann den Gradienten berechnen. Das Ergebnis wird dasselbe sein. Ich wiederhole diesen Gedanken, er ist wahrscheinlich nicht so leicht fassbar. Es ist egal, ob ich zuerst die Funktion u in Kugelkoordinaten umrechne.
 

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