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Transkript Die Tschebyschew - Ungleichung

Hallo, in diesem Video geht es um die Tschebyschew-Ungleichung, und zwar möchte ich die zunächst mal herleiten und dann noch eine Anwendung auf eine binomial verteilte Zufallsgröße geben. Der Herr Tschebyschew war ein russischer Mathematiker aus dem 19. Jahrhundert und der hat sich ganz viel mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt. Wir nehmen uns erst mal eine endliche Zufallsgröße Z, die soll den Erwartungswert µ haben und die Varianz σ2. Und weiterhin soll a eine positive reelle Konstante sein. Der Erwartungswert von Z ist die Summe über die Produkte aus den möglichen Werten der Zufallsgröße und deren Wahrscheinlichkeit. Diese Summe schätzen wir jetzt nach unten ab, indem wir einfach ein paar Summanden weglassen. Wir betrachten nämlich nur noch die xi, die größer gleich a sind. Da wir dann weniger Summanden haben, ist die Summe natürlich kleiner. Diese Summe schätzen wir wieder nach unten ab, indem wir jedes xi aus der Summe durch a ersetzen. Dann ist jeder einzelne Summand mit dem a kleiner gleich dem Summanden xi, weil wir ja nur die xi betrachten, die größer gleich a sind. Dann können wir das a aus der Summe rausziehen, weil es von i unabhängig ist und jetzt schätzen wir die Summe noch mal nach unten gegen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Z gleich größer a ist, ab. Diesen Schritt will ich noch mal genauer erläutern. Diese Wahrscheinlichkeit entspricht im Prinzip der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung aller xi, die größer gleich a sind. Und die obere Summe entspricht der Summe aus den Einzelwahrscheinlichkeiten der xi, die ≥ a sind. Und die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung von Mengen ist immer kleiner gleich der Summen der Einzelwahrscheinlichkeiten. Deswegen gilt an dieser Stelle also das ≥. Jetzt haben wir also mehrmals nach unten abgeschätzt und dadurch diese Ungleichung erhalten. Diese Ungleichung teilen wir noch durch a und dann erhalten wir Erwartungswert von Z/a ≥ der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße Z≥ a ist. Diese Ungleichung ist eine vereinfachte Form der Markow-Ungleichung und Markow war übrigens ein Schüler von Tschebyschew. Für die Markow-Ungleichung brauchen wir allerdings noch, dass die Zufallsvariable Z positiv ist. So, und die Bezeichnungen µ und σ2, habe ich aus Versehen an die falsche Stelle geschrieben, die brauchen wir eigentlich gar nicht. In dieser Markow-Ungleichung ersetzen wir jetzt a durch c2, das geht ja, weil a>0 ist, und die Zufallsvariable Z ersetzen wir durch die spezielle Zufallsvariable, Betrag einer Zufallsvariablen x - deren Erwartungswert ^2. Den Erwartungswert nennen wir mal µ und diese Zufallsvariable iat auf jeden Fall auch positiv. Jetzt schreiben wir die Ungleichung nochmal auf, und ersetzen wir gesagt a/c2 und Z durch x-µ2. Dann können wir die rechte Seite ein bischen vereinfachen. Das c soll nämlich eine positive Konstante sein und dann ist das Quadrat des Betrages genau dann größer gleich c2, wenn der Betrag einfach größer gleich c ist. Da können wir also die Quadrate weglassen. Jetzt steht auf der linken Seite im Zähler genau die Definition der Varianz von x und damit haben wir schon die Tschebyschewsche Ungleichung. Die gilt also für eine Zufallsgröße x, mit Erwartungswert µ und Varianz σ2. Und jetzt wollen wir uns kurz mal überlegen, was die Ungleichung nun eigentlich aussagt. Die Wahrscheinlichkeit, das x einen Wert annimmt, der weiter als c vom Erwartungswert entfernt ist, das ist die rechte Seite, ist kleiner gleich σ2 durch c2. Das ist die linke Seite. Jetzt wollen wir die Formel noch mal ein bisschen anders aufschreiben. Die rechte Seite drücken wir durch die Gegenwahrscheinlichkeit aus, also 1 - die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand echt kleiner als c ist und die linke Seite bleibt stehen. Umgestellt sieht das Ganze dann so aus. Wir haben sogar eine untere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, dass x innerhalb eines bestimmten Gürtels um den Erwartungswert liegt. Jetzt wenden wir das Ganze noch auf eine binomial verteilte Zufallsgröße an. Dazu nehmen wir uns 100 Personen und die Zufallsgröße x soll die Anzahl der Personen beschreiben, die in diesem Jahr an einem Sonntag Geburtstag haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person an einem Sonntag Geburtstag hat, ist 1/7 und unsere Zufallsgröße ist binomial verteilt mit den  Parametern, n=100 und p=1/7. Sie hat somit den Erwartungswert 100 × 1/7, das ist ungefähr 14,3. Und wir möchten jetzt wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass von den 100 Personen 30 oder mehr an einem Sonntag Geburtstag haben. Dann ist also das c aus unserer Ungleichung gleich 15, denn eine Abweichung um 15 nach unten, würde bedeuten, -0,7 Personen. Das geht nicht, das kommt also gar nicht mit rein und eine Abweichung um mindestens 15 nach oben bedeutet 29,3 oder mehr, also 30 Personen oder mehr. D. h. also, die Wahrscheinlichkeit  |x-14,3|≥15 ist nach der Formel kleiner gleich Varianz von x/225 und die Varianz bei einer binomial verteilten Größe ist n mal p mal 1-p, und das ist hier ungefähr 0,05. Die Wahrscheinlichkeit, dass 30 oder mehr Personen an einem Sonntag Geburtstag haben von diesen 100 ist also kleiner als 5 %. Jetzt wollen wir noch wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwischen 10 und 19 Personen am Sonntag Geburtstag haben. Da brauchen wir also die obere Ungleichung, denn die Werte sollen sich nicht mehr als um 5 vom Erwartungswert unterscheiden. Zur 10 sind es 4,3 und zur 19 sind es 4,7, das passt also. Dann sagt uns die Formel: Die Wahrscheinlichkeit, das x um weniger als 5 von 14,3 abweicht ist größer gleich 1 - 100 × 1/7 × 6/7 / 25. Und das ist ungefähr 0,51. Man sieht hier, dass die Abschätzungen mit der Tschebyschew-Ungleichung manchmal etwas grob sind, in diesem Fall könnte man bestimmt noch einen genaueren Wert angeben. Aber auf jeden Fall gibt sie immer einen relativ nützlichen Wert. Und das war es von mir zur Tschebyschew-Ungleichung.

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4 Kommentare
  1. Default

    Hey Steve
    Gutes Vid, danke bestens. Mir fällt es teilweise noch schwer festzustellen, wo die Regeln der Ungleichung die Regeln der Verteilung (Hier Binomial) kreuzen. Da die Ungleichung ja mit allen Zufallsvariablen geht, könntest Du diese vielleicht mal noch auf eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung anwenden? Das wäre super!
    Gruss, AA

    Von Shff, vor fast 6 Jahren
  2. Default

    Hey Steve :)

    Wahrscheinlich dumme Frage, aber: wie bekommen wir denn c raus ?

    Danke im Voraus

    gruß Desa

    Von Desa, vor mehr als 6 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo,

    die Kenntnis der Varianz wird in diesem Video vorausgesetzt, deswegen steht sie auch bei Grundlagen. Wenn du wissen möchtest, wie es zu der Formel kommt, dann schau dir dieses Video an: ungefähr bei 5.30 Min kommt die Definition, aber schau dir auch das an, was vorher kommt.

    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/erwartungswert-varianz-und-standardabweichung-einer-zufallsgroesse

    Viele Grüße. Steve.

    Von Steve Taube, vor fast 7 Jahren
  4. Default

    Wo wird die Varianz als E(|X-m|^2) defniert? Ich verstehe nicht, wo das hier kommt.

    Von Deleted User 8316, vor fast 7 Jahren