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Transkript Die Regel von Hospital - ein Grenzwert vom Typ Eins hoch unendlich

Hallo, willkommen zu ein paar Minuten Analysis. Heute soll es um Grenzwerte gehen und zwar um einen Grenzwert, der sich mit einer nicht ganz alltäglichen Anwendung der Regel von l’Hospital berechnen lässt. Wer die Regel von l’Hospital kennt, der weiß, dass es normalerweise um Grenzwerte der Form Limes für x gegen a von f(x)/g(x) geht und zwar in dem speziellen Fall, dass der Grenzwert des Zählers, also Limes für x gegen a von f(x) und auch der Grenzwert des Nenners Limes für x gegen a von g(x) gleich Null. Wenn man dann die Grenzwertsätze versucht anzuwenden, dann erhält man hier den Ausdruck Null durch Null, über den man einfach nichts weiß, und deshalb nennt man diese Grenzwerte auch „vom Typ Null geteilt durch Null“. Hier gibt es eben den folgenden Satz oder die „Regel von l’Hospital“, die einem weiterhilft: Wenn die Funktionen f und g differenzierbar sind, dann kann ich den Grenzwert, den ich eigentlich suche, nämlich diesen hier, ersetzen durch den Grenzwert, der hier auf der rechten Seite steht, nämlich den Grenzwert f‘/g‘ ebenfalls für x gegen a und wenn der Grenzwert rechts existiert, dann ist auch der Grenzwert links genau dieselbe Zahl. Außer diesen Grenzwerten vom Typ „Null durch Null“ kann man aber auch mit etwas Tricksen die Regel von l’Hospital anwenden auf Grenzwerte der sogenannten Form „Eins hoch unendlich“, das heißt Grenzwerte der Form f(x) hoch g(x) wobei das f(x) gegen Eins konvergiert und das g(x) gegen unendlich, jeweils für x gegen a. Hierzu wollen wir uns eine spezielle Aufgabe ankucken, um zu illustrieren, wie das geht. Seien also a und b zwei beliebige Zahlen. Es geht darum, den Grenzwert, der hier steht, auszurechnen. Wir prüfen nochmal kurz nach, dass der tatsächlich vom Typ „Eins hoch unendlich“ ist. Also, was hier in der Klammer steht, konvergiert gegen Eins, denn ax konvergiert für x -> 0 gegen a hoch 0 und das ist Eins, und b hoch x konvergiert für x gegen 0 ebenfalls gegen b hoch 0 und das ist ebenfalls Eins. Das heißt, da steht in der Klammer, wenn man x gegen Null gegen lässt, 2/2, also Eins. Und der Exponent, klar, wenn x gegen Null konvergiert, dann konvergiert 1/x uneigentlich gegen unendlich. Das heißt, wir haben tatsächlich einen Grenzwert vom Typ „Eins hoch unendlich“. Bevor wir die Regel von l’Hospital richtig anwenden, machen wir noch eine kleine Vorüberlegung und überlegen uns die Ableitung der Funktion a hoch x, die hier vorkommt. Hier steht schon, was herauskommt, also f‘(x), die Ableitung von a hoch x ergibt den natürlichen Logarithmus von a mal a hoch x und um das rauszukriegen, benutzt man einen kleinen Trick. Man schreibt diese Funktion a hoch x um als e hoch ln(a) und dann hoch x und mit Hilfe der Potenzgesetze (an dieser Stelle gehen die Potenzgesetze ein) kann man das umschreiben als ln(a) mal x, und diese Funktion lässt sich mit Hilfe der Kettenregel differenzieren. Die Ableitung von e hoch ln(a) mal x betrachte ich als eine Verkettung (denn hier ist die äußere Funktion die Exponentialfunktion). Wenn ich die ableite, kriege ich wieder die Exponentialfunktion. Die innere Funktion ist ln(a) mal x und wenn ich die ableite, bekomme ich ln(a). Hier an der Stelle benutze ich die Kettenregel. So, und jetzt kann ich, wenn ich das möchte, das nochmal zurück umschreiben und statt e hoch ln(a) mal x wieder a hoch x schreiben. Genauso kann ich natürlich die Funktion b hoch x ableiten, da steht in der Rechnung jetzt überall ein b statt dem a, und als Ergebnis ergibt sich dann b hoch x mal ln(b), ganz analog. Damit können wir wieder zurück zu unserem Grenzwert kommen. Hier müssen wir irgendwie die Regel von l’Hospital ins Spiel bringen. Der erste Schritt besteht darin, wie gerade eben, diese Klammer (a hoch x + b hoch x)/2 zu schreiben als e hoch der Logarithmus von (a hoch x + b hoch x)/2 und dann eben dieses „hoch 1/x“, das hier steht, mit Hilfe der Potenzgesetze in den Exponenten hier reinzuziehen, das heißt, da steht e hoch der Logarithmus von (a hoch x + b hoch x)/2 mal 1/x . Und weil die Exponentialfunktion stetig ist, darf ich diesen Grenzwert „Limes x gegen Null“ in den Exponenten ziehen, das heißt, ich muss jetzt nur noch diesen Grenzwert, der im Exponenten steht, berechnen und das mache ich auf der nächsten Seite. Also, es bleibt noch dieser Grenzwert zu berechnen und der ist jetzt tatsächlich, wenn man ihn geschickt hinschreibt, vom Typ „Null durch Null“. Weil für x gegen Null, wie wir schon gesehen haben, alles was hier in der Klammer steht, gegen Eins konvergiert, das heißt, der Logarithmus davon konvergiert gegen Null, und x konvergiert eben gegen Null. Das heißt, um diesen Grenzwert auszurechnen, dürfen wir die Regel von l’Hospital verwenden (genau hier) und sowohl den Zähler als auch den Nenner einmal differenzieren. Den Nenner ableiten ist natürlich leicht, da kommt Eins raus, aber der Zähler hat doch einiges in sich, das heißt, wir müssen mal schauen, was da rauskommt mit der Kettenregel. Also auch hier wieder die Kettenregel, wenn man den Zähler ableitet. Die äußere Funktion ist der natürliche Logarithmus, da ist die Ableitung die Kehrwertfunktion, das heißt aus dem (a hoch x + b hoch x)/2 wird der Kehrwert 2/(a hoch x + b hoch x) und dann muss ich noch multiplizieren mit der inneren Ableitung, also der Ableitung von (a hoch x + b hoch x)/2 und die hatten wir gerade eben schon ausgerechnet. Von dem a hoch x die Ableitung ist ln(a) mal a hoch x, von dem b hoch x die Ableitung ist ln(b) mal b hoch x und die Halbe bleiben einfach stehen. Jetzt kann ich ein bisschen Kosmetik machen, kann die 2 hier rauskürzen, die Eins im Nenner kann ich sowieso weglassen. Das heißt, dann steht nur noch Limes x gegen Null von diesem Ausdruck hier und für x gegen Null strebt das a hoch x gegen Eins, b hoch x strebt gegen b0, also auch Eins, das heißt, was übrig bleibt, ist am Schluss nur noch (ln(a)+ln(b))/2. Und jetzt, wenn ich wieder zu meinem ursprünglichen Problem zurückkehre, und das hier einsetze, ich wollte ja diesen Grenzwert ausrechnen, den hatte ich umgeformt in e hoch den anderen Grenzwert, den ich gerade eben ausgerechnet hatte, und wenn ich das Ergebnis jetzt einsetze, dann steht hier e hoch (ln(a)+ln(b))/2 und das kann ich noch ein kleines bisschen schöner schreiben. Auch wieder mit Hilfe der Potenzgesetze kann ich das auseinanderziehen, e hoch ln(a), das Ganze hoch ½ mal e hoch ln(b) und das auch wieder hoch ½. Und wenn ich jetzt noch feststelle, dass in den Klammern jeweils a bzw. b steht und „hoch ½“ nichts anderes als die Wurzel ist, dann erhalte ich mein Ergebnis, dass dieser Grenzwert Wurzel aus ab ist. Fassen wir es noch einmal zusammen: Mit Hilfe der Regel von l’Hospital konnten wir den durchaus nicht ganz einfachen Grenzwert für x gegen Null von dem Ausdruck ((ax + bx)/2) hoch 1/x berechnen und es ergab sich als Resultat dann Wurzel aus a mal b, also das geometrische Mittel der Zahlen a und b. So, ich hoffe, dadurch ist etwas klar geworden, dass die Regel von l’Hospital über die Grenzwerte vom Typ Null durch Null hinaus, weitere interessante Anwendungen hat.

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4 Kommentare
  1. Dsc08559

    Habe ich eben fertig gemacht und eingefügt.

    Von Ruhrschwabe, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Hallo noch mal, wie sieht es denn der textversion aus? Gruss sk

    Von Steffen K., vor mehr als einem Jahr
  3. Dsc08559

    Sorry, im Moment schaffe ich das nicht, aber vielleicht finde ich in der nächsten Woche mal etwas Zeit dafür.

    Von Ruhrschwabe, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Hallo gibt es diese gelungene Vorstellung auch als Text?
    Würde dies gern noch einmal nachvollziehen, zusammen mit dem Video, da ich ehrlich gesagt einigen Herleitungen nicht folgen konnte.
    Viele Grüsse und Danke Steffen Kaiser

    Von Steffen K., vor mehr als einem Jahr