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Transkript Die Poissonverteilung

Eines der leichtesten Verteilungsmodelle der Statistik ist die Poissonverteilung. Trotzdem oder gerade deshalb ist sie so nützlich. Wir betrachten ein Ereignis und wir wissen, dass dieses Ereignis im Durchschnitt in einem bestimmtem Zeitintervall mit einer gewissen Häufigkeit passiert. Zum Beispiel 1-mal. Das heißt aber nur, dass es im Schnitt 1-mal passiert. Wie oft es dann wirklich in diesem Intervall passiert, ist poisson verteilt. Wir sagen also, x ist poissonverteilt mit Lambda. Zum Beispiel, x poissonverteilt Lambda = 1. Die Poissonverteilung wird also nur über einen Parameter bestimmt, das Lambda. In unserem Beispiel ist Lambda = 1. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung sagt uns dann, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei gegebenem Lambda das Ereignis x mal eintritt. Also klein f für die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist poisson verteilt, x die Anzahl, für die wir uns interessieren und der Parameter Lambda ist gleich Lambdax:Fakultät von x ^e^-Lambda. Das ist alles. Mehr brauchen wir nicht um die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Ein Beispiel: Ein Wirt. Er führt ein Wirtshaus. In diesem Wirtshaus sitzt eine betrunkene Meute und der Wirt weiß, der Bierverkauf ist poisson verteilt. In 10 Minuten verkauft er 1 Bier. Dieses eine Bier, das ist unser Lambda. Lambda = 1. In unserem Beispiel dauert 1 Zeitintervall eben 10 Minuten. Das ist aber beliebig gewählt. Man könnte auch jedes andere Zeitintervall wählen. Wir zeichnen uns ein Stabdiagramm. Es zeigt uns für jede Anzahl x, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist. Also x und klein f von x für die Wahrscheinlichkeit und wir sehen, für unser Beispiel Lambda=1, wird die Wahrscheinlichkeit immer kleiner, je größer x wird. Das ist ganz logisch, denn im Schnitt verkaufte er ja nur 1 Bier in diesem 10-Minuten-Intervall. Also wir wissen, der Bierverkauf ist poisson verteilt und in unserem Beispiel ist Lambda = 1. Das heißt 1 Bier im 10-Minuten-Intervall. Den Wirt interessiert nun, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er 2 Biere verkaufen wird. Auftritt, Frau des Wirts, hat ihren Doktor in Mathematik und erklärt dem Wirt, wie man das berechnet. Es ist wirklich ganz einfach. Hier ist noch mal das Stabdiagramm. Für die Werte 0, 1, 2, 3, 4, 5 und uns interessiert genau diese Wahrscheinlichkeit x = 2. Wir brauchen also die Formel von vorher. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Diesmal haben wir auch unsere Werte. Lambda = 1 und x = 2. Und jetzt machen wir nichts anderes, als in die Formeln einsetzen, und erhalten 12 ÷ 2 Vaguntät×e^-1. Und das rechnen wir aus  mit unserem Taschenrechner und erhalten 0,1839, das sind 18,39 %. Der Wirt hat natürlich  noch eine andere Frage, und zwar wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass er weniger oder gleich 2 Bier verkauft? Also x kleiner = 2. Seine Frau weiß Bescheid, gesucht sind diese Wahrscheinlichkeiten 0, 1, 2 und das ist nichts anderes, als klein f poisson verteilt 0 und 1 von 1 und 1 und von 2 und 1. Und dies wird, wie bei allen Verteilungen beschrieben, durch groß F, die Verteilungsfunktion. Also groß F von 2 ist gesucht. Wir könnten die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von 0, 1 und 2, wie vorher ausrechnen mit dem Taschenrechner, oder wir blicken einfach in eine Verteilungstabelle. Das ist eindeutig der leichtere Weg. Dort finden sich die Werte von groß F für alle möglichen Kombinationen, von Lambda und x. In unserem Fall 0,9197 entspricht ungefähr 92%. So, was passiert nun, wenn wir mehrere Zeitintervalle hintereinander betrachten? Also t ist ungleich 1. Wir nehmen einfach jedes Lambda unserer Wahrscheinlichkeitsfunktion mal t. Von vorher wissen wir noch, der Wirt hat alle 10 Minuten 1 Bier verkauft. Nun, jetzt betrachten wir die ganze Stunde. Also t =6. Und damit ist unser neues Lambda einfach 6×1 = 6. Eine weitere nette Eigenschaft der Poissonverteilung betrifft den Erwartungswert und die Varianz. Diese sind nämlich einfach gleich Lambda. Also in unserem Beispiel, wenn x poisson verteilt ist, mit Lambda=6, ist der Erwartungswert 6 und die Varianz ist 6. Die Wirtin fasst die wichtigsten Sachen nochmal zusammen. Wir wissen, eine Variable X ist poissoin verteilt. Damit wissen wir, der Erwartungswert ist Lambda, die Varianz ist Lambda und wenn wir t, die Zeitintervalle betrachten, ist x einfach poissonverteilt mit t×Lambda. Wir wissen, eine Variable x ist poissonverteilt. Damit wissen wir, der Erwartungswert ist Lambda, die Varianz ist Lambda und wenn wir t, die Zeitintervalle betrachten, ist x einfach poissonverteilt mit t×Lambda. Die Wahrscheinlichkeit p, dass x mit einer bestimmten Häufigkeit eintritt, ergibt sich einfach aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion, die ganz leicht zu berechnen ist. Und interessieren wir uns für die Verteilungsfunktion, groß F von x, dann gucken wir einfach in die Tabelle. Eine letzte Sache sei noch erwähnt. Die Reproduktionseigenschaft der Poissonverteilung. Das ist Folgendes: In unserem Beispiel bestellte der Stammtisch alle 10 Minuten im Durchschnitt 1 Bier. Die Bierbestellung ist poisson verteilt mit Lambda =1. Gleichzeitig findet aber in des Wirts Nichtraucherzimmer ein Frauenabend statt und diese Frauen bestellen gerne Martinis. Im Schnitt 2 alle 10 Minuten. Die Martinibestellungen sind als poisson verteilt mit Lambda =2. Bilden wir eine neue Variable. Die Anzahl der verkauften Getränke. Die neue Variable ist dann wiederum poisson verteilt. Nennen wir sie z und je Lambda ist Lambda 1 + Lambda 2. Wichtig dabei ist aber, dass Bier und Martiniverkauf unabhängig voneinander passieren. Damit ergibt sich das neue Lambda unserer poissonverteilten Variable z., aus 1 + 2 = 3. Damit ist unser kleiner Ausflug in das Wirts Schankstube auch schon wieder vorbei. Die Wirtin freut sich schon auf das nächste Mal.

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6 Kommentare
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    Von A Pithan Hochfeld, vor 14 Tagen
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    Chriwe macht definitiv mit Abstand die besten Statistik-Videos!!! Würde mir mehr Videos und Kurse in dem Stil wünschen! Erstklassig veranschaulicht und bessere Beispiele gibt es wohl nicht :)

    Von Cuibono, vor mehr als 3 Jahren
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    sehr gut erklärt und durch die Bilder nochmals verständlicher

    Von Stephanie R., vor mehr als 3 Jahren
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    Bei 4:43min wird für die werte lambda=1 und x = 2 der wert von 0,917 in der poisson tabelle besagt. Ich lese jedoch 0,1839 ab für μ = 1nund x= 2....
    bitte dringend um hilfe

    Von Bilal37, vor etwa 6 Jahren
  5. Default

    Sehr schön und einfach erkärt

    Von Maxidigital, vor mehr als 6 Jahren
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    Feines Video :)
    Kurz, prägnant und informativ!
    Vielen Dank.
    (Bitte mehr von diesen Videos!)

    Von Sebastian B., vor mehr als 7 Jahren
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