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Transkript Die Kettenregel – Aufgabe 3

Hier ist noch ein Beispiel zur Kettenregel. Das ist aber nicht bloß eine Rechnung mit Zahlen, hier ist eine Rechnung mit Funktionen und Ableitungen. Was haben wir denn? Vorgegeben ist eine Funktion von f(x,y). Es ist hier gar nicht geschrieben, was diese Funktion sein soll, keine konkrete Formel, darum geht es nicht in dieser Aufgabe. Und wir wollen die Funktion f auf die Polarkoordinaten transformieren, daraus entsteht die Funktion f-quer, wir wollen diskutieren, wie der f-quer zustande kommt. Nun gut, dann kann man f nach x,y partiell ableiten, man kann f-quer partiell nach r und φ ableiten und für alle diese partiellen Ableitungen sollen wir folgende Formel nachweisen. Dabei bin ich ja ein bisschen mit den Proportionen viel zu flexibel umgegangen, ich schreibe hier zum Quadrat etwas, es ist nicht so ganz klar, was diese Quadrat bedeutet. Also das ist so gemeint, dass nie Funktion f oder f-quer2 erhoben wird, es wird die ganze Ableitung zum Quadrat erhoben. Eigentlich könnte man es so schreiben, sieht aber ein bisschen so umständlich aus, deswegen habe ich das nicht von vornherein geschrieben. So ist das gemeint auf jeden Fall. Gut, nun wollen wir rechnen. Erstmal, wie entsteht die transformierte Funktion f-quer? Wir kennen die Formel, die Polarkoordinaten r und φ mit den kartetischen Koordinaten im Zyklon verwenden. Also das sollte ja bekannt sein aus Analysis 1, aber zur Erinnerung schreibe ich das hin. Polarkoordinaten sind gegeben durch folgende Formel: x=r cos φ bekanntlich und y=r sin φ. Und eine Funktion auf Polarkoordinaten zu transformieren, das ist abkürzend für folgenden Vorgang. Die Funktion f-quer, die von den Polarkoordinaten r, φ abhängig ist, wird folgendermaßen definiert. Man nimmt die alte Funktion f und statt x setzt man r cos φ ein, statt y setzt man r sin φ ein. Und auf diese Weise bekommt man eine neue Funktion, und die nenne ich f-quer. Manche Autoren schreiben dieses quer gar nicht, weil, wenn man schreibt f r φ, dann ist es ja gemeint, dass man r auf die Polarkoordinate transformiert hat. Aber vorsichtshalber schreibe ich hier f-quer und zwischen f und f-quer zu unterscheiden, das wird dann wichtig sein bei dieser Rechnung. Also wir wissen, wie die Funktion f-quer entstanden ist, nun sollen wir diese Gleichung nachweisen. Und wir berechnen die Ableitung von f-quer mithilfe der Kettenregel. Wir sehen ganz klar, dass die Funktion f-quer eine verkettete Funktion ist. Gut, und nun haben wir Rechenteile, sollen geduldig die Ableitungen auswerten. Also, nach der Rechenregel, die r-Ableitung der Funktion f-quer, sieht so aus. Ich empfehle euch, schaut noch einmal den theoretischen Beitrag zu diesem Thema, da habe gegen Ende des Beitrages diskutiert, wie man dann nach der Kettenregel solche Funktionen ableitet. Und nachdem was ich da dargestellt habe, dann ergibt sich folgende Ableitungsregel. Also, wenn ich nach r differenzieren möchte, eine verkettete Funktion, dann nehme ich die äußere Funktion und leite sie nach der ersten Variablen ab, die erste Variable von f war x. So und in den Klammern bleibt alles stehen. Nun kommt die Kettenregel ins Spiel, da nehme ich das, was an der Stelle x steht in f, das ist r cos φ und leite nach der Variablen ab, nach der ich die Ableitung von f-quer finden will. Also ich leite das nach r ab + und dasselbe passiert mit der y-Ableitung, analog. df nach dy, da in Klammern bleibt alles stehen und dann leite ich nach r, das, was an der Stelle von y steht, also zuerst nach y ableiten mal nach r ableiten, das, was an der Stelle von y steht. Das ist r sin φ, das ist gleich. Gut, wir sehen, dass diese abgeleitete Funktion f nach x und y, da in Klammern steht eine ganze Menge, ich will das demnächst einfach nur unterdrücken, damit die Formeln nicht so sehr überlastet sind. Und wenn ich diese Ableitungen gebildet habe, dann bekomme ich Folgendes: Also r cos φ nach r ableiten, das ist ein Scherz, das ist einfach nur cos φ. r sin φ nach r ableiten, entsprechend, das ist einfach nur sin φ. Ja und mit dem, was ich dann gesagt habe, wir bekommen folgende Ableitung. Also df nach dx×, sodass hier r cos φ nach r ableiten, dann bleibt cos φ stehen + df nach dy× nach r ableiten, das, was hier an der Stelle von y steht, also r sin φ nach r ableiten, das ist sin φ. Gut, das ist kurz hingeschrieben, was ich hier so lange ausgeschrieben habe. Und man sollte stets daran denken, dass df, halt die partiellen Ableitungen von f an dieser Stelle ausgewertet sind, r cos φ×r sin φ auch in der zu zeigenden Gleichung, da sind sie ausgewertet. Und so geht es weiter. Das war die die Ableitung nach r, dann brauche ich die Ableitung nach φ. Moment mal, das will ich jetzt wegwischen, dann brauchen wir die Ableitung nach φ. Und wir benutzen genau so die Kettenregel, bloß wir leiten jetzt nicht nach r, sondern nach φ ab. Ja, alles nach φ ableiten. Also die Ableitung von f-quer nach φ, an der Stelle rφ=df nach dx, ausgewertet an dieser umständlich aussehenden Stelle, × die φ-Ableitung davon, was an der x-Stelle steht. Steht nirgendswo mehr an der Tafel, aber ich weiß, ich habe es mir gemerkt, das ist r cos φ+ die y-Ableitung×φ-Ableitung von dem, was an der Stelle von y steht und an der Stelle von y steht r sin φ. Das sind die Standardformeln für die Polarkoordinaten, die soll man sich merken. df, das macht ihr auch bei Analysis 1 beim Thema komplexe Zahlen. Also df dx ja und das hier nach φ ableiten, Ableitung von cos ist -sin, da habe ich -r sin φ+df nach dy und, achja, ich habe mich da verschrieben, tut mir leid. Hier ist die φ-Ableitung, hier steht so eine ganze Menge von Ableitungen, da kommt man leicht durcheinander. Sin abgeleitet nach φ, das ist cos φ, r cos φ. Gut, also was habe ich da gemacht? Ich hab die Funktion f-quer nach r und nach φ abgeleitet und dabei intensiv von der Kettenregel Gebrauch gemacht. Nun wenden wir uns unserer Gleichung zu, die Gleichung wollen wir zeigen. Und das geht sehr einfach. Ich fange dann mit der rechten Seite an. Also die Ausdrücke für die partiellen Ableitungen von f-quer, setze ich hier ein und rechne den Ausdruck, der sich hier ergibt aus und dann bin ich guter Hoffnung, dass es genau das ergibt, was ich auf der linken Seite brauche. Also, los geht es. Es bleibt dann nicht viel zu tun, das ist eine Rechnung. Die Anwendung der Kettenregel ist erledigt. Also, dann fangen wir ruhig an mit der Rechnung. Also die partielle Ableitung von (f-quer nach r)2+1/r2, (die partielle Ableitung von f-quer nach φ)2= Klammer auf, ja und ich hab das zwar weggewischt, aber wir können uns gut erinnern, wie die partielle Ableitung nach r aussah, das war (df nach dx cos φ+df nach dy sin φ)2, das wollen wir quadrierten, +1/r2, Klammer auf, nun erinnern wir uns daran, wie die φ-Ableitung aussah, das war (-df dx r sinφ+df nach dy r cosφ)2. Nun an dieser Stelle benutzen wir die sogenannte binomische Formel, wir sollen dann diese Quadrate rausrechnen. Na gut, das ist ein leichtes Spiel. Das ist (df nach dx)2×cos2φ, jetzt kommt eine etwas langweilige Rechnung, aber rechnen muss man können, dann 2df dx cos φ×df dy sin φ+(df dy)2 sin2φ. Das war die erste Klammer. Also die erste Klammer habe ich quadriert, nun quadriere ich die zweite Klammer. +1/r2, Klammer auf, dann bekomme ich (df dx)2×r2×sin2φ, dann bekomme ich, äh vorsicht also ich habe ein - hier bei der x-Ableitung, -×+=-, dann habe ich -2df dx r, was war denn da, sin φ df dy r cos φ+(df dy)2+r2 cos2 φ). Soweit, so gut. Dann haben wir 2 Zeilen mit irgendwelchen Termen, jetzt setzt das Kürzungsorchester ein. So, was können wir so alles kürzen. Hier vor der großen Klammer haben wir 1/r2 und jeder Term in der Klammer enthält r2, hier haben wir 2mal r in der Mitte und r ist, ja r können wir überall kürzen, r geht weg, überall. Also r ist erledigt. Gut, dann was passiert mit den mittleren Termen? Also wir haben dann in der 1. Zeile, also 2 df dx, df dy sinφ, cosφ mit + und dann in der letzten Zeile haben wir in der Mitte -2 df dx, df dy, sinφ, cosφ. Diese Dinger fliegen auch raus. Das fliegt raus. Also, wir hatten 6 Terme stehen, also 2 Terme sind weg.  Es bleiben nur noch 4 Terme und diese 4 Terme können wir auch sehr einfach verarzten. Ich werde es hier wegwischen langsam, ich werde das hier wegwischen und die Rechnung weiter machen. Also was hatten wir da. Also ich werde einfach nur ruhig abschreiben, was da nach diesen Kürzungen geblieben ist. Also, (df dx)2×cos2φ, das bleibt stehen, der mittlere Term geht weg, +(df dy)2sin2φ, das bleibt stehen. Dann unten +(df dx)2sin2φ, das bleibt stehen und der letzte Term bleibt stehen, (df dy)2×cos2φ, das bleibt alles stehen nach diesen Kürzungen. Wir wollen dann mal schauen, was wir damit machen können. Ich würde vorschlagen, dass wir Koeffizienten bei den partiellen Ableitungen der Funktion f sammeln. Also ich will erstmal in diesen 2 Termen die partiellen x-Ableitungen, ich will sie gruppieren. Ich will die Quadrate der x-Ableitung ausklammern. (df dx)2cos2φ+ und im 2. Term habe ich sin2φ. Und das ist ein sehr bekannter Ausdruck, ich hoffe ihr erkennt, worauf das hinausläuft. Nun habe ich 2 verbliebene Terme, da ist der Quadrat der y-Ableitung gemeinsam, dann will ich die y-Ableitung ausklammern und es bleibt sin2φ+cos2φ und jeder weiß hoffentlich, dass das die beiden Klammern 1 ergeben. Das war der trigonometrische Pythagoras. Ja, das läuft immer wieder über den Weg. Und da die großen Klammern gleich 1 sind, reduziert sich alles auf einen kurzen und übersichtlichen Ausdruck, die Summe der Quadrate der partiellen Ableitung der Funktion f. Ja und das war zu zeigen.  Also wir haben rechts angefangen zu rechnen und wollten zeigen, dass da eben das rauskommt. Summe der Quadranten der partiellen Ableitung der Funktion f. Und das ist da, damit ist die Rechnung abgeschlossen. Das war es.

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