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Transkript Determinanten von 4x4-Matrizen mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz

Determinanten - Der Entwicklungssatz von Laplace bei 4x4-Matrizen Das Besondere bei 4x4 (gesprochen: vier kreuz vier)-Matrizen ist, dass man dort nicht mehr die sarrussche Regel im Allgemeinen anwenden kann, sondern den Entwicklungssatz von Laplace dazu nutzt, um Determinanten zu berechnen. An einem Beispiel: Wir haben einfach die Matrix A, die folgendermaßen aussieht: (5511, 1113, 2111 und 0002) und gesucht ist natürlich die Determinante. Das kann man nun nach 2 verschiedenen Möglichkeiten machen: Erstens, man entwickelt nach einer Spalte oder zweitens, man entwickelt nach einer Zeile. Ich werde jetzt beide Möglichkeiten vorführen. Wir beginnen mit der Entwicklung nach einer Spalte. Und zwar ist es so, dass man sich eine Spalte aussucht, nach der man entwickeln möchte. Am besten eignen sich dazu aber die Spalten, die eine oder mehrere Nullen enthalten. Hier würden sich also die Spalten 1 bis 3 anbieten, weil wir ganz unten in der vierten Zeile jeweils eine 0 stehen haben. Hier habe ich einfach mal nach der dritten Spalte entwickelt, d. h. wir streichen diese Spalte und die jeweiligen Zeilen nacheinander, d. h. erst die erste, dann die zweite, dann die dritte und dann die vierte, und somit haben wir dann kleine 3x3-Matrizen, bei denen wir dann die sarrussche Regel anwenden können und die Determinante dann bestimmen können von den kleinen Minoren. Und zwar sieht das wie folgt aus: Wir streichen die erste Zeile und die dritte Spalte. Die 1 vorne ergibt sich daraus, dass der Schnittpunkt zwischen den beiden, sprich die da oben, die in grün hinterlegt ist, mal -1 (das steht einfach immer da) und dann ^1+3, sprich: erste Zeile, dritte Spalte. Das multipliziert man dann mit der Determinante des Minors, die sich aus dem Streichen der Zeile und der Spalte ergibt, sprich: das, was übrig bleibt (120, 113 und 312). Dazu addiert man dann das, was passiert, wenn man die zweite Zeile und die dritte Spalte streicht. Die 1 vorne ergibt sich wieder daraus, was passiert, wenn man die dritte Spalte und die zweite Zeile streicht. Die -1 bleibt wieder stehen. 2+3 oben im Exponenten kommt wieder daher: zweite Zeile und dritte Spalte. Das multipliziert man auch hier mit der Determinante des Minors, also (520, 510, 112). Dazu erlebt man im nächsten Schritt, was passiert, wenn man die dritte Zeile und die dritte Spalte streicht. Also es ist dasselbe Schema wie vorhin. Die 1, weil es der Schnittpunkt zwischen den beiden ist, ×(-1)3+3, weil dritte Zeile und dritte Spalte, multipliziert wieder mit der Determinante (510, 510, 132). Zu guter Letzt müssen wir nur noch gucken, was passiert, wenn man die vierte Zeile streicht, dann hätten wir es eigentlich auch schon fast getan. Die 0 vorne ergibt sich wieder aus dem Schnittpunkt der dritten Spalte und der vierten Zeile, die -1 steht ja immer da und 4 und 3 oben im Exponenten ergeben sich wieder aus der Tatsache, dass es die vierte Zeile und die dritte Spalte ist, und der Minor ist der (512, 511 und 131). Das können wir jetzt alles ausrechnen mit der sarrusschen Regel und kommen am Ende unten auf diese ganze Zeile, die wir noch ausrechnen müssen, und kommen auf ein Ergebnis von 8. Das sieht natürlich hier sehr umfangreich aus, deshalb auch der Tipp, dass man auch nach einer Zeile entwickeln kann. Da ist es so, dass wir uns einfach eine Zeile aussuchen, nach der entwickelt werden kann und am besten eignen sich auch hier natürlich die mit den meisten Nullen. Hier bietet sich natürlich die vierte Zeile an, weil 3 Nullen drin sind. Danach streicht man wieder jede Spalte, d. h. erst die erste Spalte, dann die zweite Spalte, dann die dritte Spalte, dann die vierte Spalte und erhalten danach auch wieder kleine 3x3 Matrizen, bei denen wir dann auch wieder die sarrussche Regel anwenden können. Jetzt schreiben wir auf: Die Determinante von A ist gleich 0×, 0 ergibt sich aus dem Schnittpunkt von der ersten Spalte und vierten Zeile, deshalb auch oben im Exponenten 1+4, × der Determinante von dem, was übrig bleibt (511, 111, 131), addieren dazu 0 (Schnittpunkt zwischen zweiter Spalte und vierter Zeile ist 0) × (-1)2+4 (zweite Spalte, vierte Zeile), multiplizieren dann wieder die Determinante des Minors, also das, was übrig bleibt, (512, 111, 131), addieren dazu das, was passiert, wenn man die dritte Spalte und die vierte Zeile streicht, also 0× (das ist ja der Schnittpunkt) (-1)3+4× der Determinante des Minors, was übrig bleibt, (512, 511, 131). Und zu guter Letzt den Schnittpunkt der vierten Zeile und der vierten Spalte, da ergibt sich dann die 2, die vorne steht, (-1) steht ja immer da, und oben im Exponenten 4+4, weil wir die vierte Zeile und die vierte Spalte streichen. Das multiplizieren wir dann nur noch mit der Unterdeterminante (512, 511, 111). So, die größte Arbeit ist jetzt auch hier getan. Wir müssen jetzt nur noch die Determinanten ausrechnen, was natürlich jetzt hier sehr einfach fällt, da wir 3 Mal vor dem ganzen Term eine 0 stehen haben, dort also nichts ausrechnen müssen. D. h. wir müssen nur noch beim letzten Term 2×(-1)4+4 die Determinante dort ausrechnen. Das ergibt unten den letzten Term 2×(-1)8×(16-12) und auch hier kommen wir auf das Ergebnis von 8. Und so soll das natürlich auch sein, dass man bei einer Entwicklung nach einer Zeile und einer Spalte auf dasselbe Ergebnis kommt. Aber wie ihr gesehen habt, ist es natürlich einfacher, sich von Anfang an die Matrizen, bei denen man die Determinanten bestimmen muss, anzugucken und dann zu schauen, wo es die meisten Nullen gibt, dann nach der Zeile oder Spalte zu entwickeln, weil das einfach nicht so zeitaufwendig ist wie sonst. Und das war die Berechnung von Determinanten bei 4x4-Matrizen mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz.

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7 Kommentare
  1. Default

    Hallo, das System habe ich soweit verstanden! Was mir nicht klar ist, wie man auf die (2-4) bzw. (10-20)bzw.(10-10) kommt!

    Von Schibodibo, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Super Video und tolle Erklärung! Dankeschön!

    Von Chrispichler, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    Vielen Dank für dieses Video!
    Tage der verzweifelten Selbstlektüre fanden nach diesen knapp sieben Minuten ihr Ende!

    Nochmals vielen Dank!

    Von Horscht87, vor etwa 5 Jahren
  4. Default

    wirklich super!

    Von Deleted User 19778, vor mehr als 5 Jahren
  5. Default

    was für einen aufwand man da betreiben muss ^^, aber danke, video is top

    Von Segelmacher, vor etwa 6 Jahren
  1. Default

    Hi, Super, ich schaue es mir noch 20 mal an und dann kann ich das- ich schreibe darüber Klausur. Danke für die tolle Erklärung. Gruß Lufthansa

    Von Lufthansa, vor mehr als 6 Jahren
  2. Ich

    Man wird zwar irgendwann verrückt bei den ganzen Zahlen ^^ aber an sich ein simples Prinzip, dank dir für die anschauliche Erklärung!
    Gruß vom Dude

    Von Der Dude, vor fast 7 Jahren
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