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Transkript Das totale Differential

In diesem Video erklären wir euch das totale Differential. Bisher können wir den partiellen Ableitungen vorhersagen, was geschieht, wenn wir uns in zwei ausgewählten Richtungen geringfügig in Bewegung setzen würden. Also entweder parallel zur x-Achse oder parallel zur y-Achse. Was aber hat es für Auswirkungen, wenn man von einer lokalen Stelle gleichzeitig geringfügig in x-Richtung und geringfügig in y-Richtung wandert? Diese Informationslücke soll das totale  Differential auffüllen. Voraussetzung dieses zu berechnen ist eine Funktion zweier Veränderlicher. z=f(x,y) an der lokalen Stelle (x0|y0). Wobei eine geringfügige Änderung in x Richtung, also Delta x und eine geringfügige Änderung in y-Richtung, also Delta y, erfolgen soll. Wenn wir d als Maß für die Veränderung der jeweiligen Variablen nehmen, gilt für die Berechnung der Änderung der Funktion z folgende Gleichung: dz=(z/x)dx+(z/y)dy oder man schreibt einfach dz=zx×dx+zy×dy, was der gebräuchlichen Indexschreibweise entspricht. Dies ist der Kern des totalen Differentials. Was aber bedeuten nun diese Terme im Einzelnen? dz steht für die Versänderung in z-Richtung, diese suchen wir. x steht für die partielle Ableitung der Funktion z nach x. Diesen können wir auch zx in der Indexschreibweise abbilden. dx steht für Delta x, entspricht also für die Veränderung in x-Richtung. Dazu wird addiert die partielle Ableitung der Funktion z nach y, die wir hier ebenfalls als Indexschreibweise angeben können. Mal dy, was der Änderung in y-Richtung entspricht. Folgendes Rechenbeispiel soll dies verdeutlichen: Die Ausgangsfunktion ist z= (3/2)xy+3x-y-2. Im ersten Schritt werden die partiellen Ableitungen gebildet. zx=(3/2)y+3 und zy=(3/2)x-1. Eingesetzt in die Rechenvorschrift: dz=zx×dx+zy×dy, dann ergibt dies dz=((3/2)y+3)×dx+((3/2)x-1)×dy. Um eine konkrete Aussage über dz treffen zu können, fehlt nun noch ein vorgegebener Ausgangspunkt, an der lokalen Stelle (x0|y0) sowie ein konkreter Wert der beabsichtigten Veränderung in x- und y-Richtung. Als konkreten Ausgangspunkt nehmen wir hier zum Beispiel (-1|0) und die beabsichtigte Veränderung sowohl in x, als auch in y-Richtung wird im Beispiel als 0,1 gewählt. Durch Eingeben der gegebenen Werte ergibt sich dann folgendes Bild. Wir rechnen also 0,3+(-0,25)=0,05. Eine Interpretation könnte hier wie folgt lauten: Werden sowohl die unabhängige Variable x, als auch die unabhängige Variable y der Funktion z an der lokalen Stelle (-1|0) gleichzeitig geringfügig um 0,1 verändert, dann ist in diesem Beispiel nur eine geringe Veränderung in Höhe von 0,05 des Funktionswertes z festzustellen. Das war es von uns vom totalem Differential und viel Erfolg beim Lernen.

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2 Kommentare
  1. Default

    du hast eine sehr schöne schrift, doch ich finde es schwer dir zuzuhören, weil du nicht so frei sprichst. aber alles auf jeden fall sehr übersichtlich!

    Von Wiemke Heitkötter, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    Hallo, müsste da nicht wenn man nach x ableitet 3/2y+3-y stehen? Das ist doch bei Minute 2:40 nicht richtig

    Von Schmi Mue, vor mehr als 4 Jahren