Textversion des Videos

Transkript Das Kreuzprodukt zweier Vektoren im IR³

In diesem Beitrag geht es um Kreuzprodukte. Das Kreuzprodukt kann man für 2 Vektoren in R³ berechnen. Ich möchte an dieser Stelle betonen, dass das Kreuzprodukt nur für dreidimensionale Vektoren gemacht ist. Also, für Rn oder R4 oder R10 geht das nicht. Die Vektoren a^-> und b^->, deren Kreuzprodukt wir berechnen wollen, sollen nur dreidimensional sein. Ich habe schon vorab die Definitionsformel angeschrieben. Die Formel steht da. Hier gibt es erst mal nicht viel dazu zu sagen. Die Komponenten des Vektors a sind mit (a1, a2, a3) bezeichnet, beim Vektor b entsprechend. Und das Kreuzprodukt a^->[Kreuz]b^-> ist ein 3. Vektor in R³. Und die Komponenten des Kreuzproduktes werden nach diesen Formeln berechnet. Das ist erst mal die Definition. Unnötig zu sagen, die ist unüberschaubar. Die ist nicht bequem. Also, man fühlt sich nicht wohl, wenn man das das erste Mal sieht. Und die schlechte Nachricht ist, dass man das auswendig lernen soll. Als Nächstes will ich euch eine Merkhilfe präsentieren. Es wäre falsch, einfach nur Buchstaben und Indizes auswendig zu büffeln. Das wäre ein bisschen falsch. Wir wollen es besser machen, nicht einfach nur büffeln. Ich will das in Zusammenhang mit Determinanten bringen. Gut, also das Nächste, was ich mache, ist eine Merkhilfe für diese Formel. Diese Merkhilfe nennt man auch manchmal Determinantenregel. Man kann dieses Kreuzprodukt symbolisch als Determinante hinschreiben, und zwar folgendermaßen: a^->[Kreuz]b^-> schreibt man als Determinante von folgender Matrix: [e1^->, e2^->, e3^-> … (Ich werde gleich erläutern, was ich mit diesen e’s meine.) … Das ist die 1. Spalte. In der 2. Spalte stehen die Komponenten des Vektors a^->, (a1, a2, a3). In der 3. Spalte stehen die Komponenten des Vektors b^->, (b1, b2, b3).] Das ist erst mal hingeschrieben. Ich werde gleich erläutern, was das alles bedeutet. e1^->, e2^->, e3^-> sind die kanonischen Einheitsvektoren, wie wir es gewohnt sind, mit einem Eintrag 1 und sonstigen Einträgen 0. Also sind e1^->, e2^-> die kanonischen Einheitsvektoren, Ich schreibe sie explizit aus, damit keine Missverständnisse aufkommen, e1^->, e2^->, e3^-> die kanonischen Einheitsvektoren. So schreibt man symbolisch das Kreuzprodukt als eine Determinante auf. Das ist erst mal hingeschrieben. Und ich betone, dass diese Determinante symbolisch gemeint ist, aus dem Grund, dass in der 1. Spalte keine Zahlen, sondern Vektoren stehen. Also, formal gesehen ist diese Determinante gar nicht korrekt. Determinanten kann man von Matrizen berechnen, die quadratisch sind und deren Einträge Zahlen sind. Ich habe hier zwar eine quadratische Matrix hinter der Determinante, aber in der 1. Spalte, da stehen keine Zahlen, sondern Vektoren. Und deswegen ist es symbolisch gemeint. Wie hilft es denn weiter? Wir machen die Laplace-Entwicklung dieser Determinante nach der 1. Spalte. Also, das ist e1^-> × Determinante. Und ich erinnere euch, in der linearen Algebra hat jeder von euch diese Laplace-Entwicklung gesehen. Also, e1^-> × Determinante der kleineren Matrix, die ich gerade im Block markiert habe; Determinante der Matrix (a2, b2 ; a3, b3), dann - e2^-> × Determinante. Nun markiere ich andere Elemente in rot. Also, dann berechne ich - Determinante der Matrix, die aus rot markierten Elementen besteht (a1, b1 ; a3, b3), + e3^->, und dann kommt wieder die Determinante einer 2[Kreuz]2-Matrix. Wie die kleinere 2[Kreuz]2-Matrix zustande kommt, das ist hoffentlich klar. Sicherheitshalber markiere ich die Matrix noch einmal, hier: (a1, b1 ; a2, b2). Ich habe jetzt die Laplace-Entwicklung dieser Determinante gemacht. Wenn wir die 1. Determinante berechnen, dann sehen wir sofort, dass es genau die 1. Komponente des Kreuzproduktes ist. Wenn wir die 2. Determinante berechnen und mit Minus nehmen, dann ist das genau die 2. Komponente des Kreuzproduktes. Wenn wir die 3. Determinante berechnen, dann ist das die 3. Komponente des Kreuzproduktes. Und das ist der Sinn der Sache, dass wir nicht einfach nur diese Formel lernen – das ist einfach nur ein Salat aus Buchstaben und Indizes – sondern wir schreiben das alles als Determinante auf, und über Determinanten wissen wir Bescheid. Wir können die Determinanten nach Laplace entwickeln und dann kommt diese komplizierte, unübersichtliche Formel einfach nur von alleine zustande. Und das ist der Sinn. Darin besteht eben die Merkhilfe. Man schreibt das Kreuzprodukt mithilfe der Determinante auf, und über Determinanten weiß man halt viel Bescheid. Okay, das ist die Determinantenregel.   Als Nächstes möchte ich euch ein paar Eigenschaften präsentieren. Jetzt haben wir die Formel, erstens. Zweitens haben wir gelernt, wie man sich diese Formel besser merken kann. Aber wir verstehen immer noch nicht, was das alles sein soll. Nun reden wir ein wenig darüber, was bedeutet das anschaulich, geometrisch. Hier ist der Vorteil, dass wir schöne Bilder zeichnen können, und das auch anschaulich interpretieren können. Das alles soll man gesehen haben. Und nicht nur gesehen haben, das muss man auswendig gelernt haben. Nun machen wir das. Als Nächstes behandeln wir die Eigenschaften des Kreuzproduktes. 1., was man sich merken soll: Das Kreuzprodukt ist natürlich ein Vektor. Seine Lage und seine Länge werden mit den beiden Vektoren a^-> und b^-> in einer Beziehung stehen; und diese Beziehung ist die Folgende: Stellt euch vor, hier sind 2 Vektoren, a^-> und b^->. Hier ist der Vektor a^->; hier ist der Vektor b^->. Und ihr sollt euch denken, dass diese Vektoren a^-> und b^-> nicht in der Tafel-Ebene liegen, sondern sie sind irgendwo im Raum. Also, Vektor a^-> ragt meinetwegen aus der Tafel. Ihr sollt es euch so vorstellen. Und über das Kreuzprodukt weiß man erstens, dass der Vektor des Kreuzproduktes senkrecht sowohl auf a^-> als auch auf b^-> steht. Das muss man sich auf jeden Fall merken. Und das zeichnen wir hier auf dem Bild. Das ist das Kreuzprodukt a^->[Kreuz]b^->. Und das Kreuzprodukt steht senkrecht sowohl auf dem Vektor a^-> als auch auf dem Vektor b^->. Das ist die 1. Eigenschaft. In anderen Worten, das Kreuzprodukt ist normal zu der Ebene, die von den beiden Vektoren a^-> und b^-> aufgespannt wird. So, und das notiere ich: 1. Eigenschaft: Der Vektor a^-> ist senkrecht zum Kreuzprodukt a^->[Kreuz]b^->, der Vektor b^-> ist ebenfalls senkrecht zum Kreuzprodukt a^->[Kreuz]b^->. 2.: Nun, wenn ich gesagt habe, dass das Kreuzprodukt senkrecht auf beiden Vektoren stehen soll, damit ist das Kreuzprodukt noch nicht eindeutig beschrieben, weil meinetwegen dieser Vektor, den ich hier andeute, der umgeklappt ist zu dem Vektor, der auf dem Bild steht; dieser Vektor steht auch senkrecht, sowohl auf a^-> als auch auf b^->. Und wenn man das Kreuzprodukt veranschaulichen möchte, dann fragt man sich, welchen von den beiden Vektoren sollen wir nehmen? Diese Frage entscheidet sich nach der Regel der rechten Hand. Korrekt mathematisch heißt das, dass das Vektoren-Tripel a^->, b^->, a^->[Kreuz]b^-> eine orientierte Basis in R³ bildet. Das hört sich ein bisschen zu gelehrsam an, also zu wissenschaftlich an, sie bilden eine orientierte Basis. Also, ganz einfach erklärt bedeutet das, dass wenn der Vektor a^-> der Daumen ist, und der Vektor b^-> der Zeigefinger ist, dann wird der mittlere Finger das Kreuzprodukt sein. Den mittleren Finger kann man sehr schlecht nach unten biegen, also der zeigt schon sehr natürlich nach oben. Wenn das hier a^-> ist, der Daumen, der Zeigefinger der Vektor b^->, dann wird der mittlere Finger das Kreuzprodukt sein. Also, ich fasse zusammen: Die Vektoren a^->, b^-> und a^->[Kreuz]b^-> sind zueinander nach der Regel der rechten Hand orientiert. Und das ist klar, wenn ich auf der Tafel die Buchstaben a und b vertausche, dann wird das Kreuzprodukt nach unten zeigen, nach der Regel der rechten Hand, wenn man die Buchstaben a und b an der Tafel vertauscht. Wenn die Buchstaben so stehen, wie ich sie an der Tafel angeschrieben habe, dann wird das Kreuzprodukt nach oben zeigen. Okay, und dann notiere ich das: Also, a^->, b^-> und das Kreuzprodukt a^->[Kreuz]b^-> sind positiv orientiert. Korrekt heißt das: Das Vektoren-Tripel a^->, b^-> und a^->[Kreuz]b^-> ist positiv orientiert. Ich habe das so abgekürzt. Das heißt, für diese 3 Vektoren gilt die Regel der rechten Hand. Und wie soll ich das abgekürzt schreiben? Also, praktisch heißt das Folgendes: Nutze die Regel der rechten Hand. Ich habe schon gesagt, worin die Regel der rechten Hand besteht, aber damit es schwarz auf weiß an der Tafel steht,  mache ich das noch einmal schriftlich: a^-> ist der Daumen, b^-> ist der Zeigefinger – wenn das so ist, dann muss das Kreuzprodukt der mittlere Finger sein. Und das soll man sich merken, auf alle Fälle. Nun die 3. Eigenschaft: Wenn wir Informationen über die Richtung des Kreuzproduktes haben, dann ist es immer noch nicht ausreichend. Der Vektor wird nicht nur durch seine Richtung, sondern auch durch seine Länge charakterisiert. Und die Länge des Kreuzproduktes ist gleich des Flächeninhalts des Parallelogramms, das auf den Vektoren a^-> und b^-> aufgespannt ist. Und zeichnerisch sieht es so aus: Also, vom Endpunkt des Vektors b^-> ausgehend zeichne ich eine Strecke, die parallel zum Vektor a^-> verläuft. Das sieht nicht wirklich parallel aus. Jetzt mache ich das besser. So, das ist parallel. Von der Spitze des Vektors a^-> ausgehend, zeichne ich wieder eine Strecke, die parallel zum Vektor b^-> ist. Und so bekomme ich ein Parallelogramm, das auf den beiden Vektoren aufgespannt ist. Jetzt ist der Buchstabe b in Mitleidenschaft gezogen worden. Die Fläche von diesem Parallelogramm ist gleich der Länge des Kreuzproduktes. Nun haben wir alle geometrischen Informationen, die Eigenschaften des Kreuzproduktes beschreiben. Jetzt möchte ich gerne wissen, wie viel Zeit ich noch habe. Also, ich habe ausreichend Zeit. Also, die 3. Eigenschaft, die Fläche: Die Länge des Kreuzproduktes ist der Flächeninhalt des auf den Vektoren a^-> und b^-> aufgespannten Parallelogramms. Gut, das sind die anschaulichen Eigenschaften. Ich betone, man soll sich alle 3 Eigenschaften merken. Das sind die geometrischen, inhaltlichen Eigenschaften. Dazu gibt es noch ein paar formale Eigenschaften des Kreuzproduktes. Und die will ich auch erwähnen. Also, „formale“, das heißt die, die mit formalen Umformungen, mit Rechnereien, zu tun haben. Vielleicht lasse ich das Bild so stehen. Das ist gar nicht so verkehrt, wenn das da ist. Nun die formalen Eigenschaften. Das wird dann die 4. Eigenschaft. Wenn man das Skalarprodukt als eine Abbildung auffasst, die dann 2 Argumente a^-> und b^-> nimmt, dann ist diese Abbildung bilinear, wie man so sagt. Konkret heißt das Folgendes: Wenn ich die Summe der beiden Vektoren a^-> und b^-> betrachte und mit der Summe das Kreuzprodukt bilde, also dann Vektor c^-> daran multipliziere mit dem Kreuzprodukt, dann kann man das Ganze auseinandernehmen. Das ist gleich a^->[Kreuz]c^->+b^->[Kreuz]c^->. Also, solche Summen kann man auseinanderziehen. Man sagt, das ist die Additivität des Kreuzproduktes. Und dasselbe gilt im 2. Eintrag. Wenn statt des Vektors c^-> dann eine Summe stehen würde, dann könnte man die Summen wieder auseinanderziehen. Das schreibe ich nicht an. Gut, was ich noch nicht anschreibe: Also, es gibt natürlich für alle Vektoren a^->, b^-> und c^->. Dann, 5.: Das Kreuzprodukt ist homogen bezüglich der Multiplikation mit Skalaren. Das hört sich furchtbar gelehrt an, es sieht aber sehr einfach aus. Wenn ich den Vektor a^-> mit einer Zahl λ multipliziere, dann alles zusammen mit dem Vektor b^-> ausmultipliziere, mit dem Kreuzprodukt, dann darf ich λ herausziehen. Und diese Eigenschaft nennt sich Homogenität. Dasselbe gilt natürlich, wenn λ an den Vektor b^-> multipliziert wäre. Das schreibe ich auch gerne hin. Das ist dasselbe wir a^->Kreuz. Und das gilt ja für alle, jetzt schreibe ich das abwechslungshalber hin: Das gilt für alle Zahlen λ – ich betone, λ ist in dieser Rechnung ein Skalar – und Vektoren a^->, b^->. Das sind dreidimensionale Vektoren. Und die letzte formale Eigenschaft: Leider ist das Kreuzprodukt nicht kommutativ. Das heißt, a^->[Kreuz]b^-> ist nicht gleich b^->[Kreuz]a^->. Das haben wir schon anschaulich gesehen: b^->[Kreuz]a^-> wird dann nach unten schauen, auf dem Bild. Formal kann man das so aufschreiben - was heißt, kann man, muss man! Es schreibt sich so auf: a^->[Kreuz]b^->=-b^->[Kreuz]a^->. Also, es kommt auf die Reihenfolge der Faktoren an. Aber diese Abhängigkeit ist sehr übersichtlich. Das Umdrehen der Reihenfolge bewirkt ein Umdrehen des Vorzeichens. Das ist auch sehr einfach. Gut, nun haben wir alles, was ich euch präsentieren wollte. Und nun, damit wir Routine im Umgang mit Kreuzprodukten bekommen, da rechne ich euch ein kleines Beispiel vor. Und damit beschließe ich diesen Beitrag. Beispiel: Berechne das Kreuzprodukt a^->[Kreuz]b^-> für gewisse gegebene Vektoren a^-> und b^->! Und die Vektoren a^-> und b^-> habe ich wie folgt gewählt: a^-> hat die Koordinaten (2, 2, 0) und b^-> hat die Koordinaten (-1, 1, 0). Als Erstes wollen wir diese Vektoren veranschaulichen. Also, das ist ja ganz einfach. Erstens merken wir, die 3. Koordinaten der beiden Vektoren sind 0, das heißt die Vektoren a^-> und b^-> liegen in der xy-Ebene. Sehr gut, also ich brauche nicht 3 Dimensionen, um die Bilder zu zeichnen. Der Vektor a^-> hat die Koordinaten (2, 2), also Vektor a^-> liegt entlang der Winkelhalbierenden. So. Das sind die Koordinaten (2, 2). Und Vektor b^-> hat die Koordinaten (-1, 1). Hier liegt der Vektor b^->, -1, 1, 0 nicht vergessen, das ist der Vektor b^-> und das ist der Vektor a^->.) Von den Eigenschaften, die wir theoretisch kennen, wissen wir, was wir für das Kreuzprodukt zu erwarten haben – wo es liegen soll und welche Länge es haben soll. Jetzt berechnen wir erst mal formal das Vektorprodukt a^->[Kreuz]b^->. Ich habe mich nicht versprochen. Ich habe das „Vektorprodukt“ genannt. Das war kein Fehler. Das Kreuzprodukt nennt man auch manchmal Vektorprodukt. Das ist gut zu wissen. Und natürlich soll ich nicht auf diese unübersichtliche Formeln schauen. Ich mache es alles nach der Determinantenregel. Ich schreibe erst einmal die Koordinaten hin, noch einmal, übernommen aus der Aufgabenstellung. Das Kreuzprodukt besteht aus 3 Komponenten und jede Komponente kann man als Determinante schreiben. Ich markiere diese unteren 4 Zahlen. Und die Determinante der Matrix, die aus diesen Zahlen besteht, das ist genau die 1. Komponente. Die Determinante der Matrix (2, 1 ; 0, 0), das ist der 1. Eintrag. Und analog, wie ich es in dieser Merkhilfe erläutert habe: Die 2. Komponente ist - , „-„ nicht vergessen, der Determinante der Zahlen (2, -1 ; 0, 0). Und die 3. Komponente des Kreuzproduktes ist entsprechend die Determinante aus den Zahlen (2, -1 ; 2, 1). Ich habe das als Zeilenvektor geschrieben, weil ich da immer Spalten schreibe, als Vektoren. Um konsequent zu sein, schreibe ich hier noch „Transposition“ hin. So. Wir sehen, bei den ersten 2 Determinanten haben wir jeweils eine Zeile, die aus Nullen besteht, das heißt, diese beiden Determinanten sind 0. Wir berechnen dir 3. Determinante: Das ist 2×1-2×(-1); 2+2, das gibt 4. Ja, und das ist unser Kreuzprodukt, hier. Hier ist dieser Vektor. Und wir sehen, die Zeilen sind hier sehr einfach. Wir können diesen Vektor interpretieren. x und y, der 1. und der 2. Eintrag ist hier 0, das heißt, dieser Vektor verläuft parallel zur z-Achse. Und das war auch zu erwarten. Das Kreuzprodukt ist so wie dieser Stift. Das steht senkrecht auf der xy-Ebene, weil seine xy-Koordinaten 0 sind. Das heißt, das Kreuzprodukt steht senkrecht sowohl zum Vektor a^-> als auch zum Vektor b^->. Also, diese Eigenschaft, die ich ja erläutert habe, die ist hier bestätigt. Dann: Die 3. Koordinate des Kreuzproduktes ist 4, also > 0, ist positiv. Das heißt, das Kreuzprodukt zeigt aus der Tafel heraus. Nicht in die Tafel hinein, sondern aus der Tafel heraus, weil die positive Richtung der z-Achse aus der Tafel heraus geht. Das heißt, das Kreuzprodukt gehorcht in der Tat der Regel der rechten Hand. Also, hier noch mal: Der Daumen ist mein Vektor a^->, der Zeigefinger ist der Vektor b^-> und der mittlere Finger zeigt tatsächlich aus der Tafel heraus. Die Regel der rechten Hand ist auch bestätigt in diesem Beispiel. Die Länge des Kreuzproduktes ist nicht schwer zu sehen, das ist 4. Weil die ersten 2 Komponenten 0 sind, sehen wir sofort, dass die Länge von diesem Vektor 4 ist. Gut, das soll die Fläche des Parallelogramms sein, das auf den Vektoren a^-> und b^-> aufgespannt ist. Und diese Fläche wollen wir jetzt berechnen. Das ist gar nicht so schwer. Also, der Vektor b^-> hat nach Pythagoras die Länge \sqrt2. Das hat alles mit dem rechtwinkligen Dreieck zu tun: Wenn man die Katheten 1 und 1 hat, muss also die Hypotenuse \sqrt2 sein. Es ist offensichtlich, dass der Vektor a^-> zweimal so lang wie der Vektor b^-> ist, also ist seine Länge 2\sqrt2. Es ist offensichtlich, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren der rechte Winkel ist, und das aufgespannte Parallelogramm wird dann ein Rechteck sein. Und der Flächeninhalt von diesem Rechteck ist das Produkt von beiden Kantenlängen. Und das Produkt von beiden Kantenlängen ist 4. Die Fläche des auf a^-> und b^-> aufgespannten Parallelogramms beträgt 4. Und das ist genau die Länge des Kreuzproduktes: 4. Soweit zum Kreuzprodukt.   Dankeschön!

Informationen zum Video
7 Kommentare
  1. Default

    Danke, es war sehr ausführlich und gut bildlich dargestellt!!

    Von Olgaandreewna07, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    ohhh mann zu lang :(

    Von Edhemgencer, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    leicht verständlich, didaktisch gut, erfrischend

    Von Sperling Ploen, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Immer tolle Videos, aber ich finde folgendes Vorgehen viel einfacher zu merken.
    (Klar, mathematisch ist es das Gleiche, aber man kann sich das Aufschreiben vom Determinantenquatsch sparen)

    http://www.youtube.com/watch?v=FHRL8AirN8w

    (zu ende gucken!)

    Von Ebayviper, vor fast 5 Jahren
  5. Default

    Super Video, vielen Dank.

    Von Gerry Berry1, vor mehr als 6 Jahren
  1. Default

    top video!

    @danger: das ist kein Zufall. Wurde im Video aber auch gesagt.

    Von Muffel.Peter, vor etwa 7 Jahren
  2. Schlechtgewaehlter augenblick 01

    *auf seinen Schreibtisch klopft* Super Vortrag wenn auch zum ende hin etwas hektisch. ^^

    Ist den die Länge immer gleich der Fläche des Vektorprodukts oder ist das Zufall ?

    Von Danger Jens, vor etwa 7 Jahren
Mehr Kommentare