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Transkript Beispiele zu diskreten Funktionen

Willkommen zu diesem Video! Es geht um reelle Funktionen. Wir schauen uns mal ein interessantes Beispiel an. Schauen wir uns mal diese beiden Punkte im R2 an, diese beiden Punkte, wie sind die charakterisiert. Durch die Angabe der beiden Koordinaten. Das ist die x-Koordinate 2, dieses Punktes, also 2. Und das soll 1/2 sein. Das ist der eine Punkt und der andere Punkt hat die Koordinaten 1 und 3/2. Die Frage ist jetzt, stellen diese beiden Punkte den Graphen einer Funktion dar. Gibt es eine Funktion, die diese beiden Punkte als Graphen hat. Das ist natürlich ein sehr bizarres Beispiel, aber tatsächlich, es ist der Fall, wir können die beiden Punkte als den Graphen einer Funktion betrachten. Und wie würde diese Funktion dann aussehen? Also, die Funktion f, nennen wir sie f, die würde definiert sein nur an den Stellen 1 und 2. Das ist also die 2-elementige Menge 1 und 2 und würde die reellen Zahlen abbilden. Also das wäre das A, der Definitionsbereich. Was wäre jetzt also der Wertebereich, was sind die möglichen Funktionswerte? Naja, hier sehen wir das, 1/2 und 3/2. 1/2 und 3/2, das sind die Funktionswerte. Das ist die Menge aller Funktionswerte und das ist damit der Wertebereich. Und der Graph wäre also die Teilmenge des R2, der nur aus diesen beiden Punkten besteht, die wir hier sehen. Und in der Tat, wäre das was wir hier sehen, diese beiden Punkte, der Graph einer sehr einfachen Funktion. Wie würde man diese Funktion jetzt definieren? Man würde festlegen, welche Funktionswerte die Funktion annimmt, bei 1 und bei 2. Bei 1 würden wir sagen f(1):=3/2 und bei f(2):=1/2. Und damit hätten wir also eine Funktion gefunden, wenn auch eine sehr einfache und vielleicht auch langweilige Funktion, aber es ist, eine Funktion. Und der Graph dieser Funktion, also die Menge aller Zahlenpaare, die also die Funktion beschreibt, wäre hiermit gegeben. Und das wäre also ein Beispiel für eine Funktion. Ist natürlich keine Funktion, die auf einem Zusammenhängendem ? definiert wäre. Nur auf dieser 2-elementigen Menge. Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an. Nehmen wir uns also wieder die Zahlenebene und nehmen uns folgende 3 Punkte. Die 3 Punkte, wie sieht das aus, das sind also, das 1. Punktepaar (1/1), das 2. Paar (-1/3) und das 3. Paar (-2/1). Wenn wir uns diese Menge mal anschauen, dann können wir uns ja die Frage stellen, ob diese 3 Punkte, den Graphen einer Funktion beschreiben. Also, die Frage lautet: Beschreiben diese 3 Punkte den Graphen einer Funktion? Die Antwort ist ja, das tun sie. Wir müssen die Funktion nur vernünftig definieren. Und als Definitionsbereich legen wir diese 3 Zahlen fest. Nämlich die -2, die -1 und die 1. Das wäre der Definitionsbereich der Funktion. Und die Funktion würde also auf den Definitionsbereich definiert sein und die reellen Zahlen abbilden. Und wie würde man jetzt die einzelnen Funktionswerte bei -2 festlegen? f(-2):=1, f(-1):=3 und f(1):=1, also wieder 1. So, das wäre jetzt eine Funktion, deren Graph aus diesen 3 Punkten besteht. Dann können wir also behaupten, diese Menge besteht aus Paaren, aus 3 Zahlenpaaren, die diese Punkte beschreiben. Stellt tatsächlich den Graphen der Funktion f, den wir so definiert haben, dar. Und jetzt können uns weiter fragen, ob diese Funktion symmetrisch ist. Und dann muss es also so sein, dass zu jedem Punkt im Definitionsbereich auf der einen Seite, auch ein Gegenpunkt im Definitionsbereich existiert. Und dann müssen die Funktionswerte gleich sein. Also hätten wir diese -2 hier nicht, dann könnten wir uns die Frage stellen, dann würde man feststellen, zu der 1 gibt es auch die Gegenzahl, aber leider hat die Funktion dort nicht denselben Funktionswert. Und da wir die -2 noch dazu haben und dazu keine 2 im Definitionsbereich, stellt sich die Frage sowieso. Also, die Funktion hat keine Symmetrien. Und wir können uns noch weiterhin fragen, ob sie denn 0 Stellen hat, hat die Funktion 0 Stellen, ist sie irgendwo 0. Und die Antwort ist nein, also auch keine 0 Stellen. Ja, dann bedanke ich mich für das Zuhören.

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4 Kommentare
  1. Default

    Hallo Lutz, vielen Dank und beste Grüss Steffen (muss leider manchmal die einfachsten Dinge auffrischen. Mach ein Fernstudium an der TU Dresden (Maschinenbau), bin aber schon älteres Semester und die Basics sind tief im Hirn vergraben. Beste Grüsse Steffen

    Von Steffen K., vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Eine Nullstelle ist ein Punkt im Definitionsbereich, also der x-Wert, bei dem die Funktion den Wert Null annimmt (also der y-Wert Null ist). Hier sind die ganzen Zahlen der Definitionsbereich, auf der x-Achse zu sehen. Wenn die Funktion nirgendwo den Wert Null annimmt, dann hat sie eben keine Nullstelle.

    Von Lutz Klaczynski, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Aber wie so keine Nullstelle? Wird nicht der Ausgangspunkt der Achsen als Nullstelle definiert?

    Steffen

    Von Steffen K., vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    gut

    Von Marcel Karmann, vor fast 2 Jahren