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Transkript Beispiele für Funktionen: Heaviside-Funktion u.a.

Willkommen zu diesem Video! Wir betrachten eine sehr einfache Funktion, die sogar einen Namen hat - und hier ist der Graph der Funktion. Die Funktion soll hier 0 sein, auf dem Intervall von - unendlich bis 0. Nennen wir sie g. g von x und wir definieren g von x wie folgt: Für x die < 0 sind, soll die Funktion den Wert 0 haben und für x ? 0, also ab hier, für den Wert x=0 soll die Funktion den Wert 1 haben. Das ist eine ganz einfache Funktion, die Heaviside-Funktion heißt, benannt nach dem Mathematiker Heaviside. Und die macht also nichts Besonderes, die ist vorher 0 und dann springt sie auf die 1. Sie heißt auch Sprungfunktion. Was können wir zu dieser Funktion sagen, wo ist sie definiert? Definiert ist sie auf ganz R, für alle reellen Zahlen, und bildet ab in die reellen Zahlen wieder. Also der Definitionsbereich ist die ganzen reellen Zahlen. Hat denn diese Funktion Nullstellen? Ja, sie hat Nullstellen. (unklar) ist 0. Überall hier sind Nullstellen, unendlich viele. Also für alle x < 0 sind, gilt, dass die Funktion dort 0 ist. Also hat sie unendlich viele Nullstellen. Hat sie eine Symmetrie? Also wir sehen, sie hat keine Symmetrie. Warum hat sie keine Symmetrie? Nehmen wir uns hier mal einen Punkt und fragen uns, ob der Gegenpunkt in dem Definitionsbereich ist. Das ist der Fall. Das ist klar, wir haben die ganze reelle Achse. Aber hat die Funktion dort irgendwie den gleichen Funktionswert oder bis auf das Vorzeichen den gleichen Funktionswert? Die Antwort ist: nein. Hier hat sie den Wert 1 und dort den Wert 0 und da gibt es also keine Symmetrie. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade. Was können wir noch zu dieser einfachen Funktion sagen? Was ist ihr Wertebereich? Sie nimmt zwei Werte nur an, die 0, der eine Funktionswert, und die 1. Also der Wertebereich ist eine ganz einfache zweielementige Menge 0 und 1. Das ist die Menge aller denkbaren Funktionswerte. So, das ist also ein ganz einfaches Beispiel. Nehmen wir uns ein weiteres. Nehmen wir uns mal folgende Funktion, die einen schon etwas interessanteren Graphen hat. In diesem Bereich soll sie den Wert 1 haben. Also wie nennen wir sie? Wir nennen sie h von x und definieren sie wie folgt: Auf für x, die < als -1 sind, weil die Funktion die Werte konstant 1 haben. Fürs Intervall von -1=1. Für den Fall, dass x aus dem Intervall von -1 bis 1 stammt, soll sich die Funktion verhalten, wie die Funktion x² und dann über die 1 hinaus soll die Funktion wieder den Wert 1 haben. So, wir fragen uns jetzt, so wie die hier definiert ist, die Funktion: Was hat sie für Eigenschaften? Ist sie symmetrisch? Und die Antwort ist die: Ja, sie ist symmetrisch. Sie ist gerade, denn wenn wir hier eine negative Zahl hier irgendwo einsetzen. Also entweder das x ist jenseits der 1 oder davor. Nehmen wir mal den Fall, dass es hier irgendwo steht, dann hat es den Wert 1 hier, dann ist die Gegenzahl dort und der Funktionswert ist auch wieder 1. Also da passiert nichts Interessantes. Interessant ist hier dieser Bereich, wenn wir da also einen negativen Wert einsetzen. Wenn das x aus diesem Bereich stammt, dann gilt hier diese Funktionsvorschrift und dann können wir also ausrechnen, was da raus kommt. Und wie wir wissen, ist die Funktion x² symmetrisch, also zu jedem Argument hier können wir das Gegenargument nehmen und stellen fest, dass die Funktionswerte an beiden Stellen übereinstimmen. Deswegen ist die Funktion h also eine gerade Funktion. Sie hat also hat also gerade Symmetrie. Hat sie denn Nullstellen? Und die Antwort ist: Na klar hat sie Nullstellen, aber nur eine. Genau dort, nur bei 0 hat sie eine Nullstelle. Was ist der Wertebereich dieser Funktion von h? Wie wir sehen, nimmt die Funktion hier Funktionswerte zwischen 0 und 1 an, und zwar alle Zahlen zwischen 0 und 1. Und deswegen ist der Wertebereich Intervall von 0 bis 1. Der Definitionsbereich, also das A, was wir immer A genannt haben, sind die ganzen reellen Zahlen, denn hier in dieser Funktionsvorschrift ist für jede reelle Zahl festgelegt, was der Funktionswert sein soll. Und wohin bildet h ab? h bildet von R nach R ab. Und genauer in das Intervall 0, 1 hinein. Was passiert denn, wenn man jetzt die Funktion etwas modifiziert und Folgendes festlegt für den Fall, dass das x aus dem Intervall von -1 bis 0 soll diese Funktionsvorschrift gelten und sonst soll für den Bereich zwischen 0 und 1 die Funktionsvorschrift x gelten. Wollen wir das mal zeichnen. Wie sieht dann der Graph aus? Wir müssen ihn verändern. Der Graph sieht dann so aus. Das, was hier passiert, ist, die Funktion verhält sich außerhalb des Intervalls -1 bis 1 wie die konstante Funktion 1. Und in diesem Intervall soll jetzt für das Intervall -1 bis 0, das Teilintervall von -1 bis 0 offen, also die 0 ist jetzt hier nicht mit drin. Soll diese Funktionsvorschrift gelten, x² und ab der 0 soll diese Vorschrift gelten. Dann hatten wir hier also den Graph gezeichnet. Was  hat sich jetzt verändert? Also nach wie vor ist der Definitionsbereich A, also die ganzen reellen Zahlen, und die Nullstelle hat sich nicht verändert, die ist immer noch bei 0. Was sich aber verändert hat, ist die Symmetrie. Man hat jetzt zwar hier für diesen Bereich zu jeder Zahl auch die Gegenzahl mit gleichem Funktionswert, aber hier in diesem Intervall ist das nicht mehr der Fall. Insofern ist diese Funktion nicht mehr symmetrisch und hat keine Symmetrie. Warum hat diese Funktion keine Symmetrie? Weil wir nicht für alle x aus dem Definitionsbereich, also nicht für alle reellen Zahlen, gilt die Eigenschaft, dass das gleich ist. Das gilt nicht, diese Ungleichung hier. Die gilt nämlich hier auf diesem Intervall nur für x=0 wäre das falsch, weil für alle x aus dem Intervall von -1 bis 1 offen. Für alle Zahlen, die zwischen -1 und 1 lagen, aber nicht -1 und 1 sind, für all diese Zahlen sind die Funktionswerte ungleich. Insofern liegt hier keine Symmetrie vor. Und das war's auch schon zu diesem Video. Ich bedanke mich fürs Zuhören.

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