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Transkript Aufgabe 8: Injektivität, Surjektivität und Dimension

Hallo, ich bin Sergej.   In diesem Video beschäftigen wir uns mit dem folgenden Problem: Wir haben eine lineare Abbildung L zwischen den endlich-dimensionalen Vektorräumen V und W. Wie werden Bedingungen an die Dimensionen V und W formulieren, unter denen sich Aussagen über die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität machen lassen. Wozu kann das gut sein? Hier sind 2 Anwendungen: Stellt euch vor, ihr habt in der Klausur eine lineare Abbildung F bekommen, zwischen dem Vektorraum der 2×3-Matrizen und dem Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 4. Gefragt ist, ob diese Abbildung injektiv ist. Mit der Information aus diesem Video werden wir diese Frage beantworten können, allein aus der Analyse der Dimensionen der beteiligten Vektorräume. Es ist also völlig egal, durch welche Formel die Abbildung F gegeben ist, oder durch welche Abbildungsvorschrift. Wir müssen nicht mit der Abbildung F rechnen; wir müssen einfach nur die Dimensionen vergleichen. Und dann noch eine Anwendung: Angenommen wir haben eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten. In Abhängigkeit davon, ob die Anzahl der Spalten größer als die Anzahl der Zeilen ist oder umgekehrt, lassen sich Aussagen über den Kern und über das Bild der Matrix A machen. Das alles besprechen wir am Ende des Videos als Anwendung. Zuerst klären wir aber das Grundsätzliche.   Im Folgenden betrachten wir 3 Fälle: Im 1. Fall ist die Abbildung L injektiv. Im 2. Fall ist die Abbildung L surjektiv. Im 3. Fall ist sie bijektiv. In jedem dieser 3 Fälle werden wir uns überlegen, was sich über die Dimensionen der Vektorräume V und W aussagen lässt. Wir fangen also mit dem 1. Fall an: Die Abbildung L sei injektiv. Hier an der Tafel sind Tatsachen zusammengetragen, die wir aus dem Theorievideo "Kern, Bild, Rang und die Dimensionsformel" kennen. Also, die Abbildung L ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern trivial ist. Das Bild der Abbildung L ist ein Unterraum des Wertebereichs W. Und es gilt die Dimensionsformel. Dimension des Kerns + Dimension des Bilds ist die Dimension des Definitionsbereichs. Nun wollen wir diese Tatsachen miteinander kombinieren und daraus die Konsequenzen ziehen. Der Kern einer linearen Abbildung ist genau dann trivial, wenn seine Dimension gleich 0 ist. Also: Dimension des Kerns ist 0. Und das ist gleichbedeutend mit der Injektivität. Wir setzen also in diesem Fall die Injektivität voraus. Also ist die Dimension des Kerns gleich 0. Und das setzen wir in die Dimensionsformel ein. Unter diesen Bedingungen schreiben wir auf, was von der Dimensionsformel übrig geblieben ist. Dimension des Vektorraumes V (Ich fange hier hinten an.) ist gleich der Dimension des Bilds der Abbildung L - und plus der Dimension des Kerns, aber das brauchen wir hier nicht zu schreiben, weil in diesem Fall die Dimension des Kerns gleich 0 ist. Nun nutzen wir die Tatsache, dass das Bild der linearen Abbildung L ein Unterraum im Wertebereich ist. Daraus folgt, dass die Dimension des Bilds kleiner gleich der Dimension des Wertebereichs ist. Also sie ist höchstens gleich der Dimension von W. Und wir übertragen diese Folgerung in unsere aktuelle Rechnung, sozusagen. Also: dimBild(L)≤dimW. Also, unter der Voraussetzung, dass die Abbildung L injektiv ist, haben wir gezeigt, dass die Dimension des Definitionsbereichs notwendigerweise kleiner gleich der Dimension des Wertebereichs ist. Das ist die Konsequenz in diesem Fall.   Nun betrachten wir den 2. Fall: Den Fall, in dem die Abbildung L surjektiv ist. Bekanntlich ist eine Abbildung surjektiv genau dann, wenn das Bild von L mit dem Wertebereich übereinstimmt. Und es gilt nach wie vor die Dimensionsformel, hier aufgeschrieben. Wir werden daraus die Konsequenzen ziehen. Zunächst nehmen wir die Dimensionsformel und werfen den Term "Dimension des Bilds" auf die rechte Seite, und bekommen die folgende Gleichung: dimKern(L)=dimV-dimBild(L). Nun nutzen wir die Voraussetzung, dass die Abbildung L surjektiv ist. Das heißt aber, dass das Bild von L mit dem Vektorraum W übereinstimmt. Und das fügen wir in diese Formel ein: "Bild von L" ist dasselbe wie "W". Von der Dimension ist bekannt, dass das eine nicht-negative, ganze Zahl ist. Also, auf jeden Fall ist die Dimension größer gleich 0. Es ist aber vorteilhafter, diese Ungleichung auf der rechten Seite zu schreiben. Also: dimKern(L)=dimV-dimW, und das ist ≥0. Nun, in dieser Ungleichung werfen wir dimW auf die rechte Seite und bekommen das Folgende: dimV≥dimW. Und das ist das Verhältnis der Dimensionen in dem Fall, wo die Abbildung L surjektiv ist.   Nun betrachten wir den Fall, wo die Abbildung L bijektiv ist. Bijektivität bedeutet die Injektivität und Surjektivität zugleich. Im Fall der Injektivität haben wir gezeigt, dass dimV≤dimW ist. Im Fall der Surjektivität haben wir gezeigt, dass das Umgekehrte gilt; dimV≥dimW. Nun, wenn beides zugleich gelten soll - Injektivität und Surjektivität - dann ist hier nur die Gleichheit möglich. Und das ist die Konsequenz. Wenn die beiden Aussagen zugleich gelten - das sind ja 2 Ungleichungen - ist also nur die Gleichheit möglich. Ja, und das ist die Konsequenz für die Dimensionen im Fall der Bijektivität.   Wir fassen die Ergebnisse unserer Überlegungen in einem Theorem zusammen: Ist eine lineare Abbildung L zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen V und W gegeben, so gilt Folgendes: Ist L injektiv, dann ist dimV≤dimW. ... Und so weiter und so fort, es steht ja alles an der Tafel. Wir haben hier also 3 Implikationen, und dabei müssen wir beachten, dass es nur die Implikationen gelten. Das heißt, die Umkehrung ist falsch, in jeder von diesen 3 Aussagen. Man darf von links nach rechts gehen; zurück darf man aber nicht gehen. Und diesen bedauerlichen Umstand illustrieren wir jetzt an einem Beispiel, im Bezug auf die 3. Aussage.   Wir betrachten eine Abbildung ... sage ich mal ... φ, die geht von R2 nach R2 (das sind endlich-dimensionale Vektorräume) und operiert nach der Vorschrift [x; y] wird abgebildet auf den Vektor ... sage ich mal ... [x+y; 0]. Diese Abbildung ist hervorragend linear. Warum? x+y ist ein linearer Ausdruck. Und außerdem, wem das zu wenig ist als Begründung, da kann man sagen, dass diese Abbildung sich als eine Matrixvektor-Multiplikation schreiben lässt. Die Matrix [1 1; 0 0] wird mit dem Vektor [x; y] ausmultipliziert, und da bekommt man diesen Ausdruck. Also, diese Abbildung ist linear. Nun überlegen wir uns, ob diese Abbildung bijektiv ist. Zunächst merken wir, dass wir hier unten in der Formel 0 haben. Das heißt, mit dieser Abbildung werden wir die Vektoren der Gestalt ... sage ich mal ... [0; 1] nicht erreichen. Also, was meine ich hier? Also φ von [x; y] ist ungleich dem Vektor [0; 1], und zwar für alle [x; y]. So, das bedeutet, dass die Abbildung φ nicht surjektiv ist, und insbesondere ist sie nicht bijektiv. Nun schauen wir uns die Dimensionen an von Definitionsbereich und Wertebereich. Die Dimensionen sind jeweils 2. Die Dimensionen sind gleich. Also, wenn wir in der 3. Aussage versuchen, aus der Gleichheit der Dimensionen auf die Bijektivität der dazugehörigen Abbildung zu schließen, dann liegen wir falsch. Es gibt Abbildungen, wo die Dimensionen von Definitionsbereich und Wertebereich gleich sind, die aber trotzdem nicht bijektiv sind. Also, die Umkehrung ist falsch. Und genauso kann man Beispiele für den 1. und 2. Fall konstruieren. Gegenbeispiele.Darauf verzichte ich jetzt.   Wir wollen diese 3 Aussagen vervollständigen. Und zwar mithilfe der folgenden logischen Regeln: Jetzt abgesehen von der linearen Algebra, wenn wir 2 Aussagen A und B haben, sodass aus der Aussage A die Aussage B folgt, dann ist es äquivalent zu dem folgenden Konstrukt: "Aus A folgt B" ist äquivalent damit, dass aus Nicht-B Nicht-A folgt. Das kann man logisch beweisen. Ich gebe nur ein Beispiel: Hat es stark geregnet, so ist die Straße nass. Ist die Straße nicht nass, so hat es nicht stark geregnet. Eiserne Logik. Und das übertragen wir auf unsere 3 Aussagen. Wir haben zum Beispiel: Aus der Surjektivität folgt, dass dimV≥dimW. Wenn wir das hier anwenden, dann läuft es darauf hinaus, dass wenn dimV   Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine lineare Abbildung F zwischen dem Vektorraum der reellen 2×3-Matrizen und dem Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 4. Die Frage ist: Kann eine solche Abbildung injektiv sein? Um die Frage zu beantworten, müssen wir nach dem oben vorgegebenen Schema die Dimensionen der beteiligten Vektorräume berechnen. Dimension des Vektorraums der 2×3-Matrizen ist gleich 2×3, also 6. Dimension des Vektorraums der Polynome vom Grad höchstens 4 ist 4+1, also insgesamt 5. (Wenn jemandem nicht klar ist, wieso die Dimensionen nach diesen Formeln berechnet werden, der schaue sich die entsprechenden Videos auf dieser Seite an. Es gibt ein Video "Dimension des Vektorraums der Polynome", dort wird das klar, woher diese 1 kommt. Und es gibt auch ein Video "Dimension des Vektorraums der Matrizen", dort wird auch diese Multiplikationsformel hergeleitet.) Auf jeden Fall haben wir festgestellt, dass die Dimension des Definitionsbereichs unserer Abbildung F (6) größer als die Dimension des Wertebereichs ist. (Die Dimension des Wertebereichs ist 5.) Und nach dem Theorem, das auf der vorangegangenen Tafel stand, folgt daraus, dass die Abbildung F nicht injektiv sein kann. Also, die Abbildung F ist niemals injektiv. Also es ist so, dass keine injektiven Abbildungen zwischen diesen Vektorräumen existieren. Und zwar aus den Dimensions-Gründen.   Wir besprechen nun Konsequenzen des obigen Theorems für Kern und Bild von Matrizen. Wir betrachten jetzt eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten und die zugehörige Abbildung L, die die entsprechende Matrixvektor-Multiplikation ausführt. Hat die Matrix A n Spalten, so ist die Abbildung L auf Rn definiert. Nun nehmen wir an, dass die Anzahl der Spalten größer als die Anzahl der Zeilen ist. In diesem Fall liegt die Matrix sozusagen flach. Das habe ich hier symbolisch mit diesem Bild dargestellt. Welche Konsequenzen hat das für den Kern oder das Bild der Matrix A? Lasst uns überlegen: In diesem Fall ist die Dimension des Definitionsbereichs der Abbildung L größer als die Dimension des Wertebereichs. Nach dem obigen Theorem kann die Abbildung L nicht injektiv sein, in diesem Fall. Wenn die lineare Abbildung L nicht injektiv ist, so hat sie einen nicht-trivialen Kern. Also muss auch die Matrix A einen nicht-trivialen Kern haben. Und das ist die Konsequenz: Der Kern der Matrix A ist vom trivialen Unterraum verschieden. Ungleich 0, sozusagen. Nun nehmen wir umgekehrt an, dass die Anzahl der Spalten kleiner als die Anzahl der Zeilen ist. In diesem Fall wird die Matrix sozusagen aufrecht stehen, symbolisch hier dargestellt mit dem Bild. Und nun wenden wir wieder unser Theorem an. Hier ist die Dimension des Definitionsbereichs kleiner als die Dimension des Wertebereichs und nach dem Theorem kann die Abbildung L nicht surjektiv sein. Also, nicht jeder Vektor aus Rn wird unter L erreicht; und also hat die Matrix A kein volles Bild. Und das ist die Konsequenz: Das Bild der Matrix A ist nicht voll - das heißt, ein echter Unterraum von Rm. Das sind also die Konsequenzen für den Kern und das Bild. Ab und zu ist das nützlich bei den Übungsaufgaben. Man muss eventuell weniger rechnen.   Ich danke euch fürs Zuschauen!  

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