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Transkript Aufgabe 8: Berechnung der linearen Abbildung aus der darstellenden Matrix

Hallo, ich bin Sergej. In dieser Aufgabe ist eine darstellende Matrix gegeben, hier ist sie. Sie bezieht sich auf eine lineare Abbildung L, die den Raum der Polynome vom Grad höchstens 2 in den Raum der (2 Kreuz 2)-Matrizen abbildet. Bekannt sind auch die Basen, bezüglich welchen die darstellende Matrix berechnet ist. Das ist die Basis Q im Raum der Polynome und die Basis R im Raum der (2 Kreuz 2)-Matrizen. Das sind die Gegebenheiten. Aus dieser Information werden wir in der Aufgabe die Abbildung L explizit bestimmen. Wir werden die Formel für diese Abbildung L ausrechnen. Was heißt das genau? Wir nehmen ein beliebiges Polynom ax2+bx+c aus dem Definitionsbereich der Abbildung L und setzen dieses in die Abbildung L ein. Aufgrund der Beschaffenheit der Abbildung L muss da eine (2 Kreuz 2)-Matrix herauskommen. Wir werden berechnen, wie sieht denn diese (2 Kreuz 2)-Matrix aus in der Abhängigkeit von den Polynomen a, b und c. Gut, das ist unsere Aufgabe. Bevor wir losrechnen, müssen wir uns sinnvollerweise klar machen, wie wir zu rechnen haben. Wir brauchen für diesen Ausdruck L(ax2+bx+c) eine effiziente Formel. Woher nehmen wir diese Formel? Wir schauen uns an, was wir als Gegebenheiten in dieser Aufgabe haben. Die Abbildung L bildet den Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 in den Raum der (2 Kreuz 2)-Matrizen. Außerdem ist die darstellende Matrix dieser Abbildung bekannt. Hier ist die darstellende Matrix explizit. Man weiß außerdem, dass jede Matrix sich als eine lineare Abbildung von Rn nach Rm interpretieren lässt, wobei man noch die Parameter n und m geeignet wählen soll.
Gut, wir schauen uns diese Matrix an. Sie hat 3 Spalten. Deswegen ist der Definitionsbereich der entsprechenden linearen Abbildung R3. Die Matrix hat 4 Zeilen. Deswegen ist der Wertebereich der zugehörigen linearen Abbildung R4. Gut, die Abbildung L oben ist unbekannt. Die Abbildung LQR, die Matrix aufgefasst als Abbildung, ist bekannt. Wir sollen das Unbekannte durch das Bekannte irgendwie ausdrücken. Das heißt, wir sollen die beiden Pfeile irgendwie miteinander in Verbindung bringen. Und wie tut man das? Wir denken daran, dass wir auch Basen hier im Spiel haben, eine Basis im Raum der Polynome und eine Basis im Raum der Matrizen. Und zu Basen gehören Koordinatenabbildungen. Lasst uns nun die Koordinatenabbildungen hier einzeichnen. Die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q im Raum der Polynome bildet den Raum der Polynome nach R3 ab. Hier ist die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q. Die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis R bildet den Raum der (2 Kreuz 2)-Matrizen nach R4 ab. Das ist die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis R. Außerdem ist bekannt, dass die Koordinatenabbildungen bijektiv sind. Deswegen ist insbesondere KR bijektiv. Das deutet man so mit so einer Welle an. Und es existiert die inverse Abbildung. Wenn KR den Pfeil nach unten hat, wird KR-1 (KR invers) den Pfeil nach oben haben. Hier ist die Abbildung KR-1. Also wir haben jetzt Verbindungsglieder zwischen der oberen Etage und der unteren Etage.
Gut, aus der Theorie weiß man, dass dieses Diagramm von linearen Abbildungen in Vektorräumen kommutativ ist. Was bedeutet das? Wenn wir von der Station hier links oben zur Station rechts oben laufen wollen, gibt es offenbar 2 Wege, einmal direkt mit der Abbildung L und einmal einen Umweg über 3 Abbildungen. Lasst uns diese Wege verfolgen. Wir fangen mal mit dem Umweg an. Also wir sollen zuerst hier runter gehen, ja mit der Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q, also KQ anwenden. Dann sollen wir hier unten von links nach rechts gehen mit der darstellenden Matrix LQR. Also dann wenden wir diese darstellende Matrix an, LQR. Und dann gehen wir hoch mit der inversen Abbildung bezüglich der Koordinatenabbildung KR: Kringel KR-1. Das war der Umweg. Es gibt auch den direkten Weg. Der direkte Weg heißt L. Weil dieses Diagramm kommutativ ist, das weiß man aus der Theorie, müssen die beiden Abbildungen übereinstimmen, einmal die Abbildung L und diese verkettete Abbildung, die sollen gleich sein. Ja, und daraus ergibt sich schon die erwünschte Formel. Wenn wir in diese Gleichung hier, die aus dem kommutativen Diagramm stammt, links und rechts das Polynom ax2+bx+c einsetzen, dann haben wir schon die Formel. Diese Formel schreibe ich nun ab. Wir haben hier ganz außen KR-1, dann in der Mitte soll man mit der darstellenden Matrix wirken, LQR, und ganz am Anfang soll die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q stehen, also KQ. Und sie wird dann logischerweise auf unser Polynom angewandt: KQ(ax2+bx+c). (Eine Klammer zu und eine ganz große Klammer zu.) Ja, und hier ist die Rechenformel. Sie sieht vielleicht ein bisschen länglich aus, ist aber nicht weiter schwierig. Um die lineare Abbildung L explizit zu berechnen, brauchen wir die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q. Das wenden wir zuerst an. Dann multiplizieren wir das Ergebnis, den Spaltenvektor, mit der Matrix LQR. Die Matrix LQR haben wir, die steht hier explizit. Und dann brauchen wir die Inverse bezüglich der Koordinatenabbildung KR. Und das alles können wir uns hinbasteln. Jetzt rechnen wir nach dieser Formel. Für unsere tolle Formel brauchen wir als Erstes die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q. Ich schlage euch an dieser Stelle vor, drückt die Pausentaste und berechnet die Koordinatenabbildung selbst. Wenn ihr richtig gerechnet habt, so wird die Koordinatenabbildung so aussehen. Hier ist die Basis Q und hier ist Formel für die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q. Das ist eine routinierte Rechnung, die sollte man können. Wenn ihr dennoch Schwierigkeiten dabei habt, eventuell, dann gibt es auf dieser Seite ein Video, die Aufgabe "Koordinatenabbildung im Raum der Polynome". Dort wird für diese Basis die Koordinatenabbildung ausführlich nachgerechnet mit viel, viel, viel Erklärungen. Ja, auf jeden Fall, hier ist die Formel für die Koordinatenabbildung. Und wir rechnen mit dieser Formel weiter. Nun haben wir alles parat, um unsere tolle Formel so richtig auszurechnen. Die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q brauchen wir. Hier steht sie. Die darstellende Matrix der Abbildung L, die haben wir von der Aufgabenstellung her. Die Inverse zur Koordinatenabbildung KR, die steht hier auch an der Tafel. Das ist eine Standardformel. Bemerkt bitte, um die Koordinatenabbildung, die direkte Koordinatenabbildung zu bestimmen, muss man ein bisschen arbeiten. Vielleicht habt ihr das getan, vielleicht auch nicht, wie auch immer. Um die Inverse einer Koordinatenabbildung zu bestimmen, muss man gar nicht arbeiten, es gibt einen Standardansatz. Hier ist dieser Ansatz. Und warum dieser Ansatz funktioniert und woher er kommt, das ist im Theorievideo zum Thema Koordinatenabbildungen erklärt. Wie auch immer, wir übernehmen diesen Standardansatz. Die Basismatrizen R1 bis R4 brauchen wir auch, hier stehen sie an der Tafel. Nun haben wir wirklich alles. Jetzt stopfen wir alles, was wir haben, in diese tolle Formel hinein und rechnen es aus. Gut, ganz außen steht die Inverse der Koordinatenabbildung KR. In großen Klammern steht die darstellende Matrix, die setze ich hier ein. Die hat die Spalten (0;0;2;0), dann (1;0;1;0) und (0;1;1;-1). Diese Matrix wird mit dem Koordinatenvektor bezüglich der Basis Q ausmultipliziert. Hier steht dieser Koordinatenvektor. Er hat die Einträge (-a+b+c), (a-c) und (a-b). (Klammer zu.)
Gut, nun müssen wir die Matrix-Vektormultiplikation ausführen. Das tun wir im nächsten Schritt. Die KR-1, diese Abbildung, bleibt erst mal außen stehen. Wir sind jetzt mit Matrix-Vektormultiplikation beschäftigt. Die 1. Zeile ist sehr bequem: (0,1,0) × dieser Spaltenvektor, das gibt (a-c) offenbar. Die 2. Zeile ist auch hübsch: (0,0,1), also kommt nur dieser letzte Eintrag zum Tragen, (a-b) haben wir. Die 3. Zeile ist nicht schön: (2,1,1), da muss man ein bisschen mehr rechnen. Also 2×(-a+b+c)+1×(a-c)+1×(a-b). Das müssen wir ausrechnen: -2a+a+a, das gibt 0, a fliegt raus. Dann haben wir 2b-b, das gibt einfach nur b. Dann haben wir 2c-c, das gibt einfach nur c. Und der 3. Eintrag lautet (b+c). Der 4. Eintrag ist auch einfach zu berechnen. Hier haben wir (0,0,-1). Der letzte Eintrag ist (a-b), also insgesamt haben wir (b-a). Das war die Matrix-Vektormultiplikation. Nun benutzen wir den Standardansatz für die Inverse der Koordinatenabbildung bezüglich der Basis R.  Zuerst schreibe ich vorsichtshalber dieses Summenzeichen aus, ich schreibe diese Summe aus. Das ist folgendermaßen gedacht. Also wir haben hier λ1×R1 + λ2×R2 und so weiter; λ2×R2+λ3×R3+λ4×R4. So, hier hören wir auf, wir haben nur 4 Matrizen in der Basis R. So ist die Formel gemeint. Was sind die λ's? λ1 ist hier (a-c), und das setze ich hier an dieser Stelle ein: (a-c). λ2 ist (a-b), eingesetzt. λ3 ist (b+c). λ4 ist (b-a). Jetzt müssen wir die Matrizen R1 bis R4 einsetzen. Das übernehmen wir einfach nur. Also die Matrix R1 hat die Einträge zahlenweise (1,0,0,1). Die Matrix R2 hat die Einträge (0,1,1,0). Die Matrix R3 hat die Einträge (1,1,0,0). Und die Matrix R4 sieht so aus: (0,1,0,1). Jetzt müssen wir diese Summe berechnen. Zuerst ist es sinnvoll, die rot markierten Koeffizienten in die Matrizen hineinzumultiplizieren. Und das tun wir auch, langsam aber sicher: (a-c), (a-c); (a-b), (a-b). Macht euch keine Sorgen, das wird gleich sinnvoller, bisschen Geduld. (b+c), (b+c) und (b-a), (b-a). Jetzt bringen wir Sinn in das Geschriebene. Also die 1. Matrix lautet ((a-c),0,0,(a-c)) + die 2. Matrix entsprechend (0,(a-b),(a-b),0) + ((b+c),(b+c),0,0) und dann (0,(b-a),0,(b-a)). Ja, das macht schon Sinn.
Gut, es bleibt nur noch, die Matrizen zu addieren. Das tun wir auch hier. Es wird langsam ein bisschen unübersichtlich, aber gleich sind wir fertig mit der Rechnung. Was haben wir links oben in der Ecke? (a-c)+0+(b+c)+0, also (a-c)+(b+c). Ja, und so weiter. Ihr seht, das ist eine ziemlich routinierte Rechnung. Dann haben wir links unten in der Ecke 0, (a-b), 0, 0; da ist es schön, (a-b). Dann rechts oben in der Ecke haben wir 0, (a-b), (b+c) und (b-a). Und schließlich rechts unten in der Ecke haben wir (a-c), 0, 0 - 0 ist immer gut - und dann (b-a). Jetzt kürzen wir die Terme. Hier haben wir a-c+b+c, c fliegt raus, und wir haben hier (a+b). Darunter steht (a-b). Dann rechts oben in der Ecke: -b+b, das fliegt raus, und dann a-a, das fliegt auch raus. Es bleibt nur noch (c+b) stehen. Und der letzte Eintrag: a-a, das fliegt raus, (b-c) bleibt stehen, oder (-c+b). Ja, und wir sind fertig. Hier haben wir angefangen. Die Formel dafür haben wir gesucht. Und langsam aber sicher haben wir die Formel ausgerechnet. So, das sieht ein wenig unübersichtlich aus das Ganze, was wir an der Tafel haben. Wir fassen nur noch kurz zusammen. Ja, wir haben es geschafft. Die lineare Abbildung, die bezüglich der Basen Q und R diese darstellende Matrix hat, hat die folgende explizite Form, hier zusammengefasst im Kasten unten. Und damit ist die Aufgabe vollständig bearbeitet. Daraus ergibt sich eine zusätzliche Übungsaufgabe, wenn ihr wollt. Nehmt diese lineare Abbildung, nehmt diese beiden Basen, Q und R, und berechnet die darstellende Matrix für diese lineare Abbildung. Das ist eine schöne Übungsaufgabe. Prüft nach, stellt sicher, dass sich tatsächlich diese darstellende Matrix ergibt. Wenn ihr wirklich vorhabt, diese Übungsaufgabe, die ich gerade vorschlage, zu bearbeiten, dann beachtet bitte, dass der Aufwand dabei hauptsächlich bei der Berechnung der Koordinatenabbildung bezüglich der Basis R liegen wird. Ansonsten ist alles ziemlich routinierte Rechnung. Falls ihr euch nicht ganz sicher seid, wie man die darstellende Matrix berechnet, dann gibt es auf dieser Seite ein Video, das heißt "Berechnen der darstellenden Matrix einer linearen Abbildung". Dort wird es ausführlich erklärt, wie man das tut. Wie auch immer, ich wünsche euch viel Spaß und viel Erfolg bei der Übung mit der linearen Algebra. Und wir sehen uns in einem der nächsten Videos. Vielen Dank fürs Zuschauen, tschüss!        

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