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Transkript Aufgabe 5: Vektorraum der Matrizen

Hallo. Ich bin Sergej. In diesem Video gehen wir der Frage nach, warum die Menge der Matrizen einen Vektorraum bildet und wir beweisen auch diese Aussage, dass die Menge der Matrizen ein Vektorraum ist. Wir fangen damit an, dass wir 2 natürliche Zahlen m und n fixieren, und betrachten Matrizen, die aus m Zeilen und n Spalten bestehen und dabei die reellen Einträge haben. Alle solche Matrizen der festgeschriebenen Dimension werfen wir in einen Topf und diesen einen Topf bezeichnen wir so, wie hier im Rahmen angegeben: entweder R oben m,n oder auch Mat (m×n, R). Das ist die Menge, die unserem Vektorraum zugrunde liegt. Damit aus dieser Menge tatsächlich ein Vektorraum entsteht, müssen 2 Operationen definiert werden: 1. die Addition von Elementen und dann Multiplikation von Elementen mit Zahlen. Da wir hier Matrizen haben, müssen wir nichts Neues erfinden. Die Addition von Matrizen erklären wir wie üblich komponentenweise und Produkt einer Zahl und einer Matrix erklären wir ebenso komponentenweise. Was das heißt, habe ich noch einmal in den Formeln hier zusammengefasst. Wenn eine Matrix A die Einträge aij hat, die Matrix B die Einträge bij, dann ist die Matrix A+B definiert als die Matrix mit den Einträgen aij+bij. Das heißt, die Einträge werden an den entsprechenden Stellen miteinander addiert, und zwar an jeder Stelle. Entsprechend bei dem Produkt der Matrix A mit der Zahl Lambda (λ) hat die Matrix A die Einträge aij, dann wird die Matrix λa per Definition die Einträge λaij haben. Also jeder Eintrag der Matrix A wird mit λ multipliziert. Ich mache euch darauf aufmerksam, dass das Produkt von Matrizen an dieser Stelle nicht relevant ist. In einem Vektorraum muss man Elemente nicht miteinander multiplizieren können. Man muss nur die Elemente mit Zahlen multiplizieren können und das haben wir hier erklärt. Nun machen wir uns klar, warum die Menge der Matrizen zusammen mit diesen 2 Operationen 1 Vektorraum bildet. Um nachzuprüfen, dass die Menge der Matrizen zusammen mit diesen 2 Operationen, die wir gerade erklärt haben, 1 Vektorraum ist, müssen wir die 8 Vektorraum Eigenschaften nachprüfen. Hier sind sie, die 4 Eigenschaften für die Addition und die 4 Eigenschaften für die Multiplikation. Bevor wir das tun, ist es wichtig, uns klar zu machen, wie das neutrale Element und die inversen Elemente bezüglich der Addition in diesem Raum aussehen. Das neutrale Element definieren wir naheliegenderweise folgendermaßen: Das neutrale Element ist die Matrix E0, die aus lauter Nullen besteht. Wenn wir das neutrale Element so definieren, dann sehen wir sofort, dass die Eigenschaft 3 erfüllt ist. Nehmen wir eine Matrix A und addieren dazu eine beliebige Matrix A, die aus lauter Nullen besteht, dann bleibt die Matrix A unverändert nach dieser Operation und die 3. Eigenschaft ist offensichtlicherweise erfüllt. Als inverses Element zu einer Matrix A mit den Einträgen aij nehmen wir die Matrix, die aus den Einträgen -aij besteht, also aus Einträgen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen. Wenn wir das inverse Element so definiert haben, dann ist es auch klar, dass die 4. Eigenschaft erfüllt ist. A+(-A) wird dann die Matrix ergeben, die aus lauter Nullen besteht, und das ist unser neutrales Element. Um den Beweis abzuschießen, müssen wir alle diese Eigenschaften nachrechnen. Das ist aber sehr einfach, diese Eigenschaften ergeben sich sofort aus unseren Definitionen und den entsprechenden Eigenschaften für reelle Zahlen, deswegen rechne ich exemplarisch nur die 8. Eigenschaft nach. Um die 8. Vektorraumeigenschaft zu zeigen, müssen wir die Definitionen für die Addition und Multiplikation in unserem Vektorraum benutzen und deswegen habe ich diese Formel, diese Definitionen noch einmal ausgeschrieben. Und die bezeichne ich dann mit speziellen Zeichen, mit (+) die Addition und mit (Punkt) die Multiplikation. Indem ich die üblichen Rechenregeln für die reellen Zahlen anwende und dann diese 2 Definitionen, kann ich diese Formel beweisen. Das ist eine einfache Rechnung, deswegen mache ich sie sehr schnell. In dieser kurzen Rechnung haben wir hier angefangen und hier aufgehört. Die beiden Teile sind also gleich. Das haben wir eben gezeigt: (λ+μ)×A=λ×A+μ×A. Das war zu zeigen. Genau so und sogar noch einfacher kann man die restlichen 7 Vektorraumeigenschaften nachrechnen. Wenn wir das alles getan haben, dann haben wir nachgewiesen, dass die Menge der Matrizen die Vektorraumstruktur trägt und die Aufgabe ist erledigt. Die nächsten Fragen, die sich in diesem Zusammenhang stellen, sind die folgenden: Was ist die Dimension von diesem Vektorraum? Wie sehen die Basen dort aus? Und was kann man da über Unterräume aussagen? Zu allen diesen Fragen findet ihr Videos auf dieser Seite. Ich hoffe, ich habe euch neugierig gemacht und an dieser Stelle danke ich euch für eure Aufmerksamkeit. Wir sehen uns hoffentlich im nächsten Video. Tschüss!  

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