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Transkript Aufgabe 13: Komplexe Zahlen als Vektorraum und seine Dimension

Hallo, ich bin Sergei. In dieser Aufgabe diskutieren wir die Menge der komplexen Zahlen auf die Vektorraumeigenschaften. Wir werden also feststellen, dass die Menge der komplexen Zahlen C ein Vektorraum ist. Interessant wird diese Aufgabe aber ab der Stelle, wo wir uns fragen, was ist denn die Dimension von diesem Vektorraum. Und das ist die eigentliche Aufgabe. Also, wir berechnen die Dimension des Vektorraumes C. Lass uns nun mit den Einzelheiten anfangen, und die Einzelheiten sind die üblichen. Wenn wir eine Menge zu einem Vektorraum machen wollen, so müssen wir auf dieser Menge Addition von Elementen erklären, wir müssen erklären, wie man Elemente dieser Menge mit reellen Zahlen multipliziert oder auch mit komplexen Zahlen multipliziert, und diese 2 Operationen, Addition und Multiplikation mit Zahlen, müssen die üblichen 8 Vektorraumeigenschaften haben. Im Fall der komplexen Zahlen ist das alles unproblematisch. Das Allererste, was man bei dem Thema komplexe Zahlen lernt, ist die Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen. Also wenn wir 2 komplexe Zahlen z und w haben, ist das völlig unproblematisch, die Summe zu bilden. Das können wir, vom Thema komplexe Zahlen her. Wir können auch die beiden Zahlen miteinander multiplizieren, ja? Insbesondere, wenn eine der beiden Zahlen nicht komplex, sondern reell ist, dann haben wir auch keine Probleme. Weil reelle Zahlen ein Spezialfall von komplexen Zahlen sind. Also, die Addition und Multiplikation sind erklärt, die üblichen Vektorraumeigenschaften gelten. Na, keine Frage, z+w für beide komplexen Zahlen ist dasselbe wie w+z. Oder meinetwegen λ×(z+w)=λz+λw. Alle übrigen Vektorraumeigenschaften gelten völlig unproblematisch. Und insofern ist die Menge der komplexen Zahlen ein Vektorraum über R. Das ist unsere 1. Feststellung. Und wie sieht es auf dem Bild aus? Na, ebenso hübsch und unproblematisch. Wenn wir 2 komplexe Zahlen z und w addieren wollen, da können wir es so veranschaulichen. Jede komplexe Zahl entspricht einem Punkt auf der komplexen Ebene. Jedem Punkt auf der komplexen Ebene können wir seinen Radiusvektor zuordnen. Hier habe ich 2 Radiusvektoren. Wenn wir die beiden Zahlen z und w addieren wollen, dann hat das die folgende graphische Interpretation. Wir addieren die entsprechenden Radiusvektoren nach der Parallelographregel. Und hier habe ich ja die Addition eingezeichnet, hier landet also die Summe, z+w. Wenn wir eine komplexe Zahl mit einer reellen Zahl multiplizieren können, dann hat das auch ziemlich klare graphische Interpretationen. Also wenn ich eine Zahl, meinetwegen λ, nehme, reelle Zahl, die > 1 ist, dann landet das Produkt λz ungefähr hier. Also wenn λ kleiner 1 ist aber positiv dann landet das Produkt hier, irgendwo auf dem Pfeil, wenn λ negativ ist, dann landet das Produkt hinter dem Pfeil. Ja, auf der entsprechenden Linie. Und insofern verhalten sich die komplexen Zahlen genauso wie Vektoren auf der Ebene. Also in diesem Sinne lässt sich der Vektorraum der komplexen Zahlen mit dem Vektorraum R2 identifizieren. Und insofern ist es ja kein Wunder, wenn wir feststellen, dass die Dimension von diesem Vektorraum C=2 ist, in diesem Sinne. Nun können wir in dieser Diskussion einen anderen Standpunkt einnehmen. Lass uns noch mal diese Vektorraumeigenschaften anschauen. Wenn ich hier z. B. in der Eigenschaft 7 die Lambdazahl nicht reell, wie hier angekündigt, sondern komplex nehme, dann ist die Eigenschaft 7 weiterhin erfüllt. Dasselbe kann ich auch mit komplexen Zahlen machen, dasselbe gilt für die Eigenschaft 5 und 8. Ich kann diese λμ komplex nehmen. Wenn ich das einfach nur fordere, λ und μ sind komplex, dann sind die 8 Vektorraumeigenschaften weiterhin erfüllt. Und insofern lässt sich die Menge der komplexen Zahlen als ein Vektorraum über dem Körper C interpretieren. Das geht ja auch, das ist unsere 2. Feststellung. Was passiert mit unseren Bildern? Die Vektorenaddition hat dieselbe Interpretation, aber Vektorenmultiplikation ist anders. Wenn λ hier eine komplexe Zahl ist, die nicht reell ist, dann lässt sich die Multiplikation nicht mehr so interpretieren. Und insofern, wenn wir die Menge der komplexen Zahlen als ein C-Vektorraum auffassen, dann ist es anders als R2. Und die spannende Frage an dieser Stelle lautet: Was ist denn die Dimension von dem Vektorraum C als Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen? Und dieser Frage wollen wir systematisch nachgehen. Zuerst interpretieren wir die Menge der komplexen Zahlen als einen reellen Vektorraum und fragen nach seiner Dimension. Wir erinnern uns kurz an die Definition. Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Elemente in einer Basis dieses Vektorraumes. Also wenn wir die Dimension berechnen wollen, dann ist die Vorgehensweise klar. Wir machen uns irgendwo hier eine Basis des Vektorraumes ausfindig und zählen dort die Elemente ab. Deswegen schlage ich Folgendes vor. Die imaginäre Einheit I zusammen mit der reellen Einheit 1 bilden zusammen eine Basis des Vektorraumes C. Lasst uns jetzt davon überzeugen, indem wir die üblichen 2 Eigenschaften der Basis nachrechnen. Erstens müssen wir zeigen, dass die beiden Elemente ein Erzeugendensystem des Vektorraumes C bilden. Ja dazu berechnen wir die lineare Hülle dieser beiden Elemente. Also spam{1,i} ist gleich, und jetzt kommt die übliche Definition der linearen Hülle, das ist die Menge der Linearkombinationen (x×1)+(y×i). Wobei x und y beliebige reelle Zahlen sind. Also die Koeffizienten der Linearkombinationen nehme ich aus dem Körper der reellen Zahlen, weil ich die Menge der komplexen Zahlen an dieser Stelle als einen R-Vektorraum interpretiere. Ja, und dieser Ausdruck lässt sich etwas geschickter schreiben, nämlich x+iy. Und das ist die übliche Schreibweise für eine komplexe Zahl. Wenn x und y beliebige reelle Zahlen sein dürfen, dann erreichen wir auf diese Weise beliebige komplexe Zahlen und deswegen ist die lineare Hülle tatsächlich gleich C. Und 1 und i erzeugen in diesem Sinne den Vektorraum C. Nun kommen wir zur linearen Unabhängigkeit. Wir stellen die übliche Gleichung auf. (x×1)+(y×i)=0 und fragen, für welche Werte von x und y ist diese Gleichung erfüllt? Und hier oben kann man das auch geschickter aufschreiben. x+iy=0. Und aus dem Thema komplexe Zahlen ist es bekannt, dass eine komplexe Zahl genau dann 0 ist, wenn sowohl sein Realteil als auch sein Imaginärteil verschwinden. Also wir schreiben, das ist genau dann, wenn x=0 und y=0. Das ist aber die lineare Unabhängigkeit, ja. Also wir haben beide Eigenschaften der Basis nachgerechnet, also ist das tatsächlich eine Basis, und die hat 2 Elemente. Deswegen hat der Vektorraum C als reeller Vektorraum die Dimension 2.  Was passiert nun, wenn wir die Menge der komplexen Zahlen als einen Vektorraum über C auffassen? Wir interessieren uns nach seiner Dimension in diesem Fall und deswegen fragen wir nach einer Basis. Und ich behaupte, dass, wenn ich eine beliebige Zahl z nehme, die von 0 verschieden ist, dann ist dadurch, durch diese einzige Zahl, eine Basis dieses Vektorraumes gegeben. Lass uns davon überzeugen, dass es stimmt. Wir prüfen noch die üblichen Basiseigenschaften. Erzeugendensystem. Wir bilden wie immer die lineare Hülle von diesem System, bestehend aus einem einzigen Element und schauen mal, was sich darüber aussagen lässt. Ja, nach der Definition, das ist die Menge der Linearkombinationen, also Koeffizient λ×z. Und weil wir die Menge C als einen komplexen Vektorraum interpretieren, dann sollen wir den Koeffizienten λ als eine komplexe Zahl voraussetzen. Und natürlich, das, was hier rauskommt, ist eine Teilmenge von C. Ich behaupte, dass hier sogar ganz C rauskommt. Ich behaupte hier die Gleichung und damit die Gleichheit gilt, muss ich noch diese Inklusion hier beweisen. Also ich nehme eine beliebige komplexe Zahl, sage ich mal w, und ich muss zeigen, dass sie in diesem Konstrukt enthalten ist. Also dann für beliebige Zahl w, komplexe Zahl, gilt Folgendes: Ich kann diese Zahl meinetwegen durch z teilen und mit z multiplizieren und dadurch ändert sich nicht die Zahl. Ich habe hier die gleiche. Und dieses w÷z, ja das mache ich zu meinem λ. Mit λ=w÷z. So jetzt w÷z ersetze ich durch λ und der Beweis ist fertig. Also jede komplexe Zahl lässt sich in der Form λ×z darstellen, mit einer gewissen komplexen Zahl λ. Und ich habe ja gezeigt, wie sich die Zahl λ konstruieren lässt. Und das ist alles unproblematisch, durch z darf ich teilen, weil z nach Voraussetzung von 0 verschieden ist. Weil jede komplexe Zahl w sich so schreiben lässt, gilt diese Inklusion hier. So, und weil die andere Richtung schon sowieso von vorneherein klar war, gelten die beiden Richtungen und insgesamt gilt die Gleichheit. Also wir haben gezeigt, dass die lineare Hülle gleich C ist und insofern ist dieses System, bestehend aus einem einzigen Element, ein erzeugendes System. Nun kommt die lineare Unabhängigkeit und wir machen das Übliche.  Wir stellen die lineare Kombination auf, also bestehend aus einem einzigen Term: λ×z=0 und müssen zeigen, dass λ zwangsläufig 0 sein muss. Und weil wir ja wiederum vorausgesetzt haben, dass z von 0 verschieden ist, folgt daraus, dass λ gleich 0 sein muss. Wenn das Produkt gleich 0 ist, dann muss mindestens einer der beiden Faktoren gleich 0 sein. Also z ist nach Voraussetzung von 0 verschieden, also muss λ gleich 0 sein. Gut, und diese Simplifikation zeigt die lineare Unabhängigkeit. Also ist dieses System von Elementen, bestehend aus einem einzigen Element, eine Basis und wenn wir den Vektorraum C als einen C-Vektorraum auffassen. Ja und insofern ist seine Dimension in diesem Fall gleich 1. Wir fassen zusammen. Wenn man die Menge der komplexen Zahlen als einen reellen Vektorraum auffasst, so ist seine Dimension gleich 2. Wenn man sie als einen komplexen Vektorraum auffasst, so ist die Dimension dieses Vektorraumes gleich 1. Es ist also nicht unerheblich, woher wir die Koeffizienten nehmen, aus dem Körper der komplexen Zahlen oder aus dem Körper der reellen Zahlen. Das beeinflusst die algebraischen Eigenschaften des Vektorraumes, z. B. seine Dimension, wie wir an diesem Beispiel klar gesehen haben. Vielen Dank für das Zuschauen.

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