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Transkript Algorithmus zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen

Wie löst man Gleichungssysteme? In der Schule hat man gelernt, dass man durch einzelnes Multiplizieren der Elemente und danach durch Addition und Subtraktion der verschiedenen Gleichungen die Variablen eliminieren kann und somit das Gleichungssystem lösen kann nach x1, x2 und x3. Zum Beispiel hier würde man wahrscheinlich machen, die 1. Gleichung mit 3 multiplizieren und von der 2. abziehen, sodass x1 rausfällt, und man nur noch x2 und x3 hätte und man kann dann x2 in Abhängigkeit von x3 schreiben und das dann alles einsetzen. Oder in einfacher Variante, man wendet einen Algorithmus an. Der 1. Schritt ist dabei, dass wir eine erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen, die wie folgt aussieht, dass man die einzelnen Werte von x1 untereinanderschreibt, in der Vektorschreibweise, von x2 untereinanderschreibt, von x3, und ganz rechts die rechte Seite des Gleichungssystems. Noch mal zur Erinnerung seht ihr links unten, wie die einzelnen Gleichungen aussahen. Und noch mal farbig hinterlegt, natürlich, wo welche Elemente dann später hinkommen. Jetzt fragt ihr euch bestimmt, warum man das jetzt so macht und nicht so, wie man es in der Schule gelernt hat. Es liegt daran, dass man am Ende wirklich die Elemente dann einfach ablesen kann, und der Arbeitsaufwand geringer ist als der, wenn man das Verfahren nimmt, was man wirklich sonst gelernt hat. Fangen wir aber erst mal mit dem 1. Schritt an. Sinn war, dass wir eine Einheitsmatrix in diese erweiterte Koeffizientenmatrix reinkriegen, das heißt, wenn ich mir ein Pivotelement aussuche am Anfang, ist es natürlich einfacher, 1 zu nehmen, was 1 ist. Hier hab ich das 1. Element x1=1 genommen. Ich hätte genauso gut 3 nehmen können, aber 1 ist ein Schritt weniger, den man machen muss. Die Zeile, wo das Pivotelement steht, heißt Pivotzeile und die Spalte dann natürlich äquivalent Pivotspalte. Danach folgt der Schritt 2. Und zwar schreibt ihr euch einfach die erweiterte Koeffizientenmatrix noch mal auf, und darunter folgt, dass ihr aus der 1. Spalte, also das ist die Pivotspalte, die 1 hinschreibt, euer Pivotelement, und alle anderen Werte in der Spalte werden zu 0. Die Zeile, in der das Pivotelement steht, wird einfach übertragen. Sprich, die 1, die 2, die 1, die 2, bleiben stehen. Normalerweise müsste man die Pivotzeile durch das Pivotelement teilen, was uns hier aber erspart geblieben ist, weil unser Pivotelement 1 ist. Natürlich hätten wir jetzt alles durch 1 teilen müssen. Die -4, die 2, die beiden 1, die -3 und die 5 ergeben sich wie folgt. Die -4=1×2-2×3/1. Die -3 auf der rechten Seite ergibt sich 1×3-2×3/1. Die 1: 1×4-1×3/1. Die 2: 1×2-2×0/1. Das heißt, das ich kleine Determinanten errechne. Die anderen Zahlen ergeben sich dann analog dazu. Müssen wir uns wieder ein neues Pivotelement aussuchen. Entweder die -4, die 1, die 2 oder die 1 und es geht alles wieder von vorne los. Ich habe hier die -4 gewählt, also, das heißt, wir schreiben die Pivotspalte wieder hin mit 0, 1, 0, und auf die 1 kommen wir natürlich, weil wir die ganze Zeile durch diese -4 geteilt haben, deshalb kommt auch bei x3 hin -(1/4) weil 1/-4, und auf der rechten Seite dann ¾. Die 1. Spalte, die wir vorhin erzeugt haben, überträgt sich auch einfach. Wie sich die anderen Werte ergeben, seht ihr wieder in der nächsten Folie. Die 3/2 ergeben sich jeweils mit -4×1-1×2/das Pivotelement -4, die ½ rechts oben ergeben sich aus -4×2-(-3)×2 und auch das alles wieder durch das Pivotelement. Und die 7/2 durch -4×5-(-3)×2/8-4). Nun müssen wir uns zum letzten Mal ein Pivotelement aussuchen. Übrig bleiben eigentlich nur noch die 3/2, denn in jeder anderen Zeile und Spalte haben wir und schon je ein Element ausgesucht. Die 1. Spalte aus dem Schritt davor und die 2. Spalte aus dem Schritt davor übertragen sich einfach wieder in unser neues System. Das Pivotelement wird durch sich selbst geteilt, damit die 1 entsteht, und die 7/2 werden durch 3/2 geteilt damit die 7/3 entstehen. Die Rechnung der anderen Elemente seht ihr wieder links. Und zwar, um auf die 4/3 zu kommen, ist das dann 3/2×3/4-7/2×(-1/4) und das alles geteilt durch das Pivotelement. Die -3 ergibt sich aus 3/2×½-7/2×3/2/3/2. Nun haben wir endlich das, was wir haben wollten. Das unten die Einheitsmatrix steht, und rechts nur noch Zahlen, sodass wir das einfach ablesen können. Man kann diese Einheitsmatrix jetzt wieder in eine Vektorschreibweise umstellen und daraus dann wieder das Gleichungssystem wählen, das am Ende rauskommt, das x1=-3 ist, x2=4/3 und x3=7/3. Und das Gleichungssystem ist gelöst. Zum Schluss habe ich noch nen kurzen Tipp bzw. eine Anmerkung. Mit diesem Verfahren kann man auch einen Rang bestimmen, und zwar würde sich nur eines verändern, dass die rechte Seite wegfällt und man im Endeffekt aber alle anderen Schritte genauso macht, das heißt, hätten wir diese Matrix gegeben, ohne den rechten Teil, also, A wäre dann 1 3 0 2 2 2 1 4 1, würde man auch diese Matrix aufschreiben, aber ohne dieses B, weil das ist ja keine Gleichung, wir haben bloß eine Matrix und überführen es dann in diese Staffelform, dass ganz unten links eine 0 steht, und daneben eine 0, und darüber eine 0, und dadurch kann man dann sagen, okay, der Rang ist dann 3, es ist dann nämlich die Anzahl der von 0 verschiedenen Zeilen. Es ist also auch ganz einfach. Ja, und das war der Algorithmus zum Lösen von Gleichungssystemen.

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5 Kommentare
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    Ungeschickt und deshalb schlecht erklärt. Warum diese statischen Tabellen? Dafür gibt es doch gerade Videos auf sufatutor. Ein Bleistift, der auf die jeweilige Zahl zeigt, die gemeint ist, hätte alle viel verstänbdlicher gemacht. Aber dazu hätte die Autorin einen Film drehen müssen. So mal schnell husch-husch am PC ist es einfacher, ABER für mich völlig wertlos.

    Von Stefanwfs, vor etwa 2 Jahren
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    Das scheint mit die Cramersche Regel zu sein?!

    Von Hug Login, vor mehr als 2 Jahren
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    ich find es spitze ! kompliziert hin oder her es gibt zumindest auf sofatutor kein besseres video =) 1a

    Von Indiv Co, vor mehr als 3 Jahren
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    leider wirklich kompliziert erklär!

    Von Kaffeefee83, vor mehr als 3 Jahren
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    Super kompliziert erklärt !
    G1 mit -3 multiplizieren und mit G2 addieren.
    Dann G2´ durch 2 dividieren und mit G3 addieren.
    Dann haben wir da stehen:
    1 2 1 = 2
    0-4 1 = -3
    0 0 3/2= 7/2
    dann ist X3 =(7/2)*(2/3) = 7/3
    -4X2+7/3 = -3
    -4X2 =(-16/3)
    X2 = (-16/3) *(-1/4)
    X2 = 4/3
    X1+2*(4/3) +7/3=2
    X1+8/3+7/3=2
    X1+15/3=2
    X1=2-5
    X1=(-3) L ((-3);4/3 ;7/3)

    Von Gerrit I., vor fast 4 Jahren