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Dezimalbrüche

Dezimalbrüche, auch Zehnerbrüche genannt, sind besondere Brüche. Sie haben im Nenner eine Zehnerpotenz wie 10, 100 (also 10²), 1000 (also 10³) und so weiter. Der Dezimalbruch kann entweder als Bruch oder direkt als Dezimalzahl geschrieben werden. Auch wenn Dezimalzahlen oft auch Kommazahlen genannt werden, sind Dezimalzahlen in Wirklichkeit alle Zahlen im Zehnersystem, dem System, das du seit der Grundschule kennst, also ist auch $3$ eine Dezimalzahl.

Umwandlung von Brüchen in Dezimalbrüche

Du kannst jeden Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln.

Es gibt zwei Fälle:

  • Entweder lässt sich ein Bruch als endlicher Dezimalbruch oder abbrechender Dezimalbruch schreiben,
  • oder als periodischer Dezimalbruch.

Endliche oder abbrechende Dezimalbrüche

Bruch.jpeg

Bei Brüchen wird die Zahl oberhalb des Bruchstriches, der Zähler, durch die Zahl unterhalb des Bruchstriches, den Nenner, dividiert (geteilt). Du könntest diesen Bruch auch so schreiben $4:10$. Mit Hilfe zum Beispiel der schriftlichen Division oder durch Kommaverschiebung kannst du den Bruch als Dezimalzahl darstellen, nämlich als $0,4$.

Nach dem gleichen Prinzip verhält es sich mit allen Brüchen, bei denen der Nenner entweder ohnehin eine Zehnerpotenz, also zum Beispiel $10, 100, 1000, 10000$ und so weiter enthält, oder auf eine Zehnerpotenz erweitert werden kann, zum Beispiel $2$ im Nenner kann mit $5$ auf $10$ erweitert werden, oder $125$ im Nenner kann mit $8$ auf $1000$ erweitert werden. Das trifft übrigens auf eine große Anzahl an Zahlen zu.

Natürlich kannst du auch einfach schriftlich dividieren, statt zu erweitern, und schauen, was passiert. Schau dir das folgende Beispiel an:

928_endender_Dezimalbruch.jpg

Wie du siehst, kannst du hier ohne Rest teilen. Der Dezimalbruch hat nur endlich viele Dezimalstellen. Alle Brüche, für die das zutrifft, gehören zur Gruppe der endlichen Dezimalbrüche. Weitere Beispiele wären:

  • $1:2=0,5$
  • $3:5=0,6$
  • $12:25=0,48$
  • $359:500=0,718$

Periodische Dezimalbrüche

920_Bruch_1.jpg

Wie zuvor kannst du diesen Bruch durch schriftliches Dividieren als Dezimalzahl darstellen. Wie du $5:12$ rechnest, siehst du hier:

928_periodischer_Dezimalbruch_2.jpg

Doch im Gegensatz zu den abbrechenden, endlichen Dezimalbrüchen passiert hier etwas Besonderes: Die Pfeile zeigen an, dass der Rest $8$ wieder auftaucht, wie in der Zeile zuvor. Das bedeutet, dass beim Dividieren wieder $6$ heraus kommt und dann wieder und dann wieder. Du kannst unendlich dividieren und es wird nie der Rest $0$ herauskommen. Dies kannst du an den Punkten erkennen:

$5:12=0,416666...$

Das Ergebnis dieser Division ist also ein Dezimalbruch mit unendlich vielen Dezimalstellen. Aber: du erhältst nicht nur eine unendlich lange Dezimalzahl, sondern auch eine, bei der sich eine oder mehrere Ziffern für immer wiederholen. Diesen Dezimalbruch nennt man einen periodischen Dezimalbruch. „Periodisch“ bedeutet „regelmäßig auftretend“ oder „wiederkehrend“. Anstatt ganz viele $6$-en zu schreiben, wird die Periode mit einem Strich über der $6$ angezeigt. Du sprichst die so erhaltene Zahl, $5:12=0,41\bar6$, „Null Komma vier eins Periode sechs“.

  • Bei $0,41\bar6$ steht die Periode nicht direkt hinter dem Komma. Ein solcher periodischer Dezimalbruch wird als gemischt periodischer Dezimalbruch bezeichnet.
  • Folgt die Periode direkt auf das Komma, wie zum Beispiel bei der Umwandlung von $1:3$ zu $0,\bar3$, so sprichst du von einem rein periodischen Dezimalbruch.

Übrigens: Eine Periode kann auch mehr als eine Ziffer umfassen, wie du an dem folgenden Beispiel sehen kannst.

928_periodischer_Dezimalbruch_3.jpg

Umwandeln von Dezimalbrüchen in Brüche

Wie du bereits weißt, sind Brüche und Dezimalbrüche nur zwei unterschiedliche Darstellungen der gleichen Zahl. Und so kannst du natürlich auch einen Dezimalbruch in einen Bruch umwandeln.

Umwandeln von endlichen Dezimalbrüchen in Brüche

Die Dezimalzahlen eines Dezimalbruches sind

  • an der ersten Stelle hinter dem Komma die Zehntel,
  • dann die Hundertstel,
  • dann die Tausendstel...

Das bedeutet, du kannst jeden endlichen Dezimalbruch als Bruch schreiben, indem du

  • die Dezimalzahlen zählst und
  • die Ziffern ohne Komma durch $10...0$ mit ebenso vielen Nullen wie Dezimalstellen dividierst.
  • Die resultierenden Brüche kannst du gegebenenfalls noch kürzen.

$0,75=\frac{75}{100}=\frac{75:25}{100:25}=\frac34$

oder

$0,234=\frac{234}{1000}=\frac{234:2}{1000:2}=\frac{117}{500}$

Umwandeln von periodischen Dezimalbrüchen in Brüche

Du kannst auch die periodischen Dezimalbrüche in Brüche umwandeln.

Bei rein periodischen Dezimalbrüchen dividierst du die Ziffern der Periode durch $9...9$ mit so vielen $9$-en wie die Anzahl der Ziffern der Periode. Um das besser zu verstehen, kannst du das mit den obigen beiden Zahlen üben:

$0,\overline{37}=\frac{37}{99}$

und

$0,\bar6=\frac69=\frac23$

Der Vorteil ist, dass du die Brüche addieren kannst, was du mit periodischen Dezimalzahlen ohne runden nicht machen kannst, weil sie ja unendlich viele Dezimalstellen besitzen:

$0,\overline{37}+0,\bar6=\frac{37}{99}+\frac23=\frac{37}{99}+\frac{66}{99}=\frac{103}{99}$

Natürlich kannst du auch gemischt periodische Dezimalbrüche in Brüche umwandeln.

$0,1\bar{6}=\frac1{10}+\frac{6}{90}=\frac3{30}+\frac2{30}=\frac{5}{30}=\frac16$