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Transkript Zweistufige Zufallsexperimente

In diesem Video geht's um mehrstufige Zufallsexperimente, und wir wollen uns dabei auf Urnenmodelle konzentrieren und zeigen, wie man solche Experimente mit einem Baumdiagramm darstellen kann. Ein Zufallsexperiment ist dadurch charakterisiert, dass es mindestens zwei Ausgänge hat, beliebig oft wiederholt werden kann und nicht vorhersagbar ist. Nehmen wir zum Beispiel eine Urne. Dort sollen drei blaue und eine rote Kugeln drin sein. Und wir ziehen zweimal nacheinander, ohne die Kugel zurückzulegen. Wie kann man jetzt die Versuchsausgänge in einem Baumdiagramm darstellen? Beim ersten Mal Ziehen gibt es zwei Möglichkeiten, Blau und Rot. Die Wahrscheinlichkeiten schreiben wir über die Striche, die zu den Ergebnissen führen. Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel ist 1/4, die Wahrscheinlichkeit für eine blaue 3/4. Nun zum zweiten Zug. Haben wir beim ersten Mal Rot gezogen, können wir jetzt nur noch Blau ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist also 1. Haben wir allerdings beim ersten Mal Blau gezogen, sind noch zwei blaue und eine rote Kugel übrig. Die Wahrscheinlichkeit für Rot ist dann also 1/3 und für Blau 2/3. Immer wenn eine neue Stufe des Experiments beginnt, verzweigen sich die Pfade. Jeder Pfad entspricht genau einem möglichen Ergebnis des Experiments. Das Ereignis "Rot, Blau" setzt sich zusammen aus den Einzelereignissen erst Rot und dann Blau. Da wir die Ereignisse mit "und" verknüpfen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Also ist die Wahrscheinlichkeit für "Rot, Blau" 1/4 × 1, also 1/4. Entsprechend geht das für die anderen Ereignisse. Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten muss immer 1 ergeben. Entlang der Pfade werden die Aussagen durch "und" verknüpft, und betrachten wir verschiedene Pfade, so werden die jeweiligen Aussagen durch "oder" verknüpft. Wie bereits gesagt, entspricht jedes Ergebnis genau einem Pfad im Diagramm. Entlang der Pfade wird multipliziert und die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade werden addiert. So berechnet sich zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass wir einmal Rot und einmal Blau ziehen, aus der Summe der beiden oberen Pfade im Diagramm. Jetzt starten wir den gleichen Versuch noch mal, aber mit Zurücklegen der Kugel. Beim ersten Zug verhält sich noch alles wie vorhin. Diesmal haben wir beim zweiten Zug die gleichen Wahrscheinlichkeiten wie beim ersten. Denn die Ausgangssituation ist ja die gleiche. Wir berechnen die Einzelwahrscheinlichkeiten der Ergebnisse wieder aus den Produkten entlang der Pfade. Die Wahrscheinlichkeit, dass einmal Rot und einmal Blau gezogen wird, setzt sich aus den beiden mittleren Pfaden zusammen und ist diesmal 6/16, also nicht 1/2 wie eben. Nun noch ein anderes Urnenmodell. Aus dieser Urne ziehen wir zweimal ohne Zurücklegen. Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind recht einfach zu bestimmen. Man muss nur daran denken, dass im zweiten Zug nur noch 5 Kugeln übrig sind, und man muss sich dran erinnern, welche man im ersten Zug gezogen hat. Das sind die möglichen Ergebnisse, und wir wollen die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass keine rote Kugel gezogen wird. Diese 3 Ergebnisse erfüllen diese Bedingung. Und wir multiplizieren wieder entlang der Pfade und addieren dann die entsprechenden Pfade. Die Wahrscheinlichkeit ist 2/5. Das Ereignis "Es wird mehr Blau als Rot gezogen" wird von diesen 3 Pfaden erfüllt. Als Wahrscheinlichkeit ergibt sich wieder 2/5. So, das war's zu den mehrstufigen Zufallsexperimenten, und ihr könnt euch ja mal überlegen, was man da noch so für Experimente machen könnte.      

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2 Kommentare
  1. Default

    Echt cooles video. Hat mir sehr geholfen.

    Von Mayer M., vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Super erklärt!
    Sehr hilfreich :)

    Von Luchini, vor mehr als 3 Jahren