Zinsrechnung: Jahres-, Monats- und Tageszins

Hi und willkommen zu meinem nächsten Video über die Zinsrechnung,
bisher sind wir immer nur von Jahreszinsen ausgegangen. Doch im täglichen Leben sind Tages- und Monatszinsen auch von großer Bedeutung. Ein Jahr hat ja bekanntermaßen 12 Monate, also betragen die Monatszinsen 1/12 der Jahreszinsen oder Monatszins = Jahreszins : 12. Banken rechnen Jahre nicht mit 365, sondern mit 360 Tagen. Das passt dann auch zu den Monaten der Banken, die je 30 Tage haben, denn 12 Monate zu je 30 Tagen ergeben 360 Tage. Falls ihr in der Klausur mal vergesst, wie viele Tage ein Bankjahr hat, dann einfach 30 × 12 rechnen. Aber hier bitte vorsichtig sein, also in der Regel, wenn man von einem Bankjahr spricht, spricht man von 360 Tagen, aber es kann sein, dass in der Klausur die Aufgabenstellung anders lautet. Und der Tageszins ist damit 1/360 vom Jahreszins oder 1/30 vom Monatszins. Und falls ihr da mal durcheinander kommt, dann dreht das einfach um überlegt, dass das Geld, das ihr in einem Jahr erhaltet, dem Geld, das ihr in 12 Monaten erhaltet, entspricht und auch dem Geld, das ihr in 360 Tagen erhaltet.
OK. Soviel erstmal vorweg und jetzt machen wir das Ganze einmal praktisch:
 
Wir legen 1.600 EUR auf ein Sparkonto bei einer Verzinsung von 3 % an. Wir groß werden dann unser Jahres-, Monats- und Tageszins.
Beginnen wir mit dem Jahreszins. Den berechnen wir, wie wir Zinsen immer berechnet haben, mit der Formen Z = K×p/100. Dann setzen wir für K 1.600 und für für p 3 ein, wobei ich das Euro-Zeichen gleich einmal mitnehme. Ein bisschen kürzen und 16 × 3 = 48. Unser Monatszins beträgt 1/12 von unserem Jahreszins. Und 12 passt genau viermal in die 48. So, beim Tageszins entscheiden wir uns jetzt für die einfachere Variante. Also wir teilen einfach 4 durch 30. Wir könnten auch 48 durch 360 teilen. Und 4 : 30 = 0,1333... Und das war es dann schon zu dieser Aufgabe. Wir erhalten also 48 EUR im Jahr, 4 EUR im Monat und 0,1333... EUR, als knapp über 13 Cent am Tag.
 
Und weiter geht es mit der nächsten Aufgabe:
Ein Guthaben von 2400 EUR wächst monatlich um 6 EUR. Um wie viel Prozent wächst das Guthaben dann pro Jahr?
OK. Gucken wir mal nach: Wir erhalten monatlich 6 EUR und das heißt, unser Monatszins beträgt 6 EUR. In einem Jahr erhalten wir logischerweise das 12-Fache, also 72 EUR. Aber gefragt ist ja, um wie viel Prozent unser Guthaben wächst. Unser Guthabenkapital oder auch Grundwert entspricht ja 100 % und durch den Dreisatz wollen wir herausbekommen, wie viel Prozent 72 EUR entsprechen. Wir machen unterwegs noch einen Zwischenschritt bei 1 EUR, d. h. wir teilen zuerst durch 2400 und nehmen das dann mal 72. Und dieselbe Rechnung auch auf der linken Seite: 100 : 2400 = 100/2400 × 72. Das lösen wir am besten hier in der Nebenrechnung: So noch einmal den Bruch abschreiben und das Ganze mal 72. Zwei Nullen können wir hier wegkürzen und 24 passt genau dreimal in die 72. Also wächst unser Guthaben jedes Jahr um drei Prozent. Wenn wir uns die Nebenrechnung einmal genauer ansehen, dann erinnert sie schon stark an die Formel. Z/K × 100 = p und das ist ja dasselbe, außer dass Z und p vertauscht sind, aber das macht ja nichts.
 
Na das läuft doch ganz gut so weit. Kommen wir jetzt zur nächsten Aufgabe: Wie viele Tage müssen 14000 EUR auf der Bank liegen, um 245 EUR einzubringen? Pro Jahr wächst das Guthaben um 3 %. So, diese Aufgabe müssen wir erst einmal ein bisschen analysieren, damit wir überhaupt wissen, was wir zu tun haben. Also es wird gefragt, wie viele Tage es dauert. Das könnte ja irgendetwas mit dem Tageszins zu tun haben. Wir haben hier 3 % und pro Jahr, also unser Guthaben wächst pro Jahr um 3 %. Es kann ja irgendetwas mit dem Jahreszins zu tun haben. Aber dafür brauchen wir ja noch unser Guthaben und das sind ja die 14000 EUR. OK, damit könnte es klappen. Wenn wir den Jahreszins haben, kommen wir dadurch auf den Tageszins und dann müssen wir gucken, wie oft wir den Tageszins brauchen, um 245 EUR zu kassieren. Für den Jahreszins verwenden wir jetzt den Dreisatz und unser Guthaben von 14000 EUR entspricht ja 100 %. Wir wollen ja jetzt auf 3 % kommen und machen über 1 % noch einmal einen Zwischenschritt, dafür müssen wir erst durch 100 teilen und dann mal 3 rechnen. Und dieselbe Rechnung natürlich auch auf der linken Seite. Um durch 100 zu teilen, nehmen wir einfach zwei Nullen weg. Und 140 × 3 = 420. Und das ist auch das Geld, dass wir im Jahr erhalten. Wir erhalten die 420 EUR also nach 360 Tagen und so können wir ja auch herauskriegen nach wie vielen Tagen wir 245 EUR erhalten. Dafür teilen wir zuerst durch 420 und dann multiplizieren wir mit 245 und das Ergebnis lautet dann 210. Wir erhalten das Geld also nach 210 Tagen. Ach, jetzt haben wir den Tageszins ja ganz weggelassen. Das zeige ich euch einmal in einer alternativen Lösung:
Der Tageszins ist ja gleich der Jahreszins geteilt durch 360. Jetzt kürzen wir die Null erst einmal weg und das Ganze können wir ja noch mit 6 kürzen, d. h. also, wir erhalten pro Tag 7/6 EUR und wir müssen jetzt so oft 7/6 EUR bekommen, bis wir insgesamt 245 EUR. Dann teilen wir als durch 7/6 und man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert mal nimmt. Und wenn wir das alles ausrechnen, bekommen wir raus, dass wir 210 x 7/6 EUR haben müssen, um auf 245 zu kommen. In so einer Rechnung empfehle ich übrigens, die Einheiten wie EUR oder Tage wegzulassen. Aber ihr müsst natürlich wissen, was was ist und das Ergebnis dann auch am Ende richtig hinschreiben.
 
OK, das war es dann auch schon wieder von meiner Seite aus. Bis zum nächsten Mal. Ciao.