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Transkript Ziehen ohne Reihenfolge – 6 aus 49

Guten Tag und herzlich willkommen zum Video "6 aus 49", Ziel: mit einem Griff. In diesem Video wollen wir verstehen, wie man verschiedene Erfolge beim Spiel "6 aus 49" mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ausrechnet. Wir haben zunächst eine Barriere zu überwinden. So seltsam es klingt, es ist die Hingabe zu den Zahlen, denn es kommt letztendlich nicht darauf an, welche der Zahlen gewinnt, sondern wir müssen die Zahlen unterscheiden in Gewinnzahlen und solche, die nicht gewinnen. Die 6 Gewinnzahlen werden symbolisiert durch gelbe Kreise. Durch blaue Kreise werden alle jene Zahlen symbolisiert, die nicht gewinnen. Also Gelb - Gewinnzahl und Blau - die übrigen Zahlen. Es gibt 6 Gewinnzahlen und damit 43 übrige Zahlen. Im Ganzen haben wir, wie das Spiel erwarten lässt, 49 Zahlen. Wir fangen ganz unspektakulär an. P(A) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A. Es ergibt sich als Quotient aus m/n, wobei m die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist und n gibt die Anzahl der möglichen Ergebnisse an. Betrachten wir nun die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses einen Dreier zu erzielen, das heißt P(X=3). Betrachten wir die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Wir erhalten sie im entsprechenden Ergebnistöpfchen, im Nenner. Wir wissen, dass wir im Ganzen 49 Zahlen zur Verfügung haben und darunter befinden sich 6 Gewinnzahlen. Im Gewinntöpfchen befinden sich auf alle Fälle immer 6 Zahlen. In unserem Fall sind es 3 Gewinnzahlen gelb und entsprechend 3 Zahlen, die nicht gewinnen, das sind die Blauen. Das Gewinntöpfchen befindet sich folglich im Zähler bei der Anzahl der günstigen Ergebnisse. Wir müssen nun die Möglichkeiten, die wir durch das Gewinntöpfchen erhalten mit den Möglichkeiten im Verlusttöpfchen kombinieren. Im Verlusttöpfchen befinden sich 43 Zahlen, nämlich die 49-6, die im Gewinntöpfchen sind. 3 Zahlen im Verlusttöpfchen sind Gewinnzahlen, hier gelb dargestellt. Es sind nämlich die 3, die sich nicht im Gewinntöpfchen befinden. Somit haben wir verstanden, wie man die Anzahl der günstigen Ergebnisse berechnet. Man ermittelt zunächst alle Möglichkeiten des Gewinntöpfchens, dann alle Möglichkeiten des Verlusttöpfchens und multipliziert beide Ergebnisse miteinander. Beginnen wir mit den Gewinnen. Wir haben hier 3 Gewinne von 6 Möglichen, das heißt die Auswahl einer 3-elementigen Teilmenge aus einer 6-elementigen Menge. Kommen wir zu den Verlusten. Sie spielen sich innerhalb der übrigen 43 Zahlen ab. Darunter sind die 3 nicht gezogenen Gewinnzahlen, also berechnen wir: 43ü3 (43 über 3). Im Nenner können wir schreiben: 49ü6, denn wir haben die Auswahl einer 6-elementigen Teilmenge aus einer 49-elementigen Menge. Die Wahrscheinlichkeit einen Dreier zubekommen, beträgt daher etwa 0,01765. Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit einen Vierer zu bekommen. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse im Nenner bleibt gleich: 49ü6. Denken wir wieder an unser Gewinntöpfchen. Dort gibt es im Ganzen 6 mögliche Gewinnzahlen. Wir haben davon 4, das heißt, wir schreiben 6ü4. Im Verlusttöpfchen befinden sich 43 Zahlen. Davon sind 2 Zahlen Gewinnzahlen, nämlich der Rest, der sich nicht im Gewinntöpfchen befindet. Daher schreiben wir im Verlusttöpfchen: 43ü2. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit im Spiel "6 aus 49" einen Vierer zu bekommen. Sie beträgt etwa 0,00097. Gehen wir nun aufs Ganze und berechnen die Wahrscheinlichkeit im Spiel "6 aus 49" einen Sechser zu bekommen. Im Gewinntöpfchen sind aus 6 möglichen Gewinnzahlen alle Zahlen Gewinnzahlen, das heißt wir schreiben: 6ü6. Im Verlusttöpfchen sind im Ganzen 43 Zahlen. Die Gewinnzahlen ergeben sich aus den möglichen 6 Gewinnzahlen und den 6 Gewinnzahlen, die im Gewinntöpfchen vorhanden sind, also 6-6. Wir schreiben somit für das Verlusttöpfchen: 43ü0. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser und erhalten ernüchternde 0,000000072. Nun ist es natürlich auch interessant die Wahrscheinlichkeit für keinen Richtigen zu berechnen, das heißt: X=0. Im Gewinntöpfchen befindet sich daher kein Richtiger. Demzufolge schreiben wir: 6ü0. Und welcher ein Ärger: Alle Gewinne befinden sich im Verlusttöpfchen. Also 6-0=6. Wir schreiben für das Verlusttöpfchen: 43ü6. Wir berechnen nun die Wahrscheinlichkeit beim Spiel "6 aus 49" keinen Richtigen zu bekommen und wir erhalten stattliche 0,43596. Nun ist natürlich die Frage gestattet, ob wir richtig gerechnet haben oder sich vielleicht Fehler eingeschlichen haben. Ganz sicher sein kann man nie, aber eine Probemöglichkeit besteht. Und zwar können wir die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Richtigen, angefangen von keinem Richtigen, X=0, bis 6 Richtige, X=6, addieren. Und das Ergebnis muss sein, richtig, 1. Zum Abschluss könnt ihr überprüfen, ob ihr schon in der Lage seid die Wahrscheinlichkeit für einen Richtigen beim Spiel "6 aus 49" zu berechnen. Wir schreiben zunächst P(X=1), das heißt also die Wahrscheinlichkeit für einen Richtigen. Und wir überlegen uns, was wir für das Gewinntöpfchen schreiben müssen. Wir haben dort 6 mögliche Gewinne und es befindet sich darin ein Einziger. Also schreiben wir 6ü1. Im Verlusttöpfchen sind im Ganzen 43 Zahlen und die übrigen Gewinne, die nicht im Gewinntöpfchen sind, also 5. Wir schreiben für das Verlusttöpfchen: 43ü5. Und im Nenner steht die Anzahl der möglichen Ergebnisse, die ist immer gleich. Wir haben 49 Zahlen und davon sind 6 Gewinnzahlen, also 49ü6. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit und erhalten etwa: 0,41302. Das wäre es zum Thema "6 aus 49". Ich wünsche euch viel Erfolg und alles Gute. Tschüss!

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2 Kommentare
  1. 001

    Liebe Ninasophie,

    zwei graue und vier schwarze Socken sind da. Das macht 6. Vier mal wird gezogen. Die Bedingung lautet, dass darunter ein Paar schwarzer Socken, also zwei, sein soll. Betrachten wir das alles als Minilotto, so haben wir einen Zweier.
    Ich habe noch einmal nachgerechnet. Das als "RICHTIG" markierte Ergebnis ist richtig.
    Die Frage wurde völlig korrekt gestellt.
    Vielen Dank für deinen Kommentar und alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    " von 4 Socken ein Paar grauer Socken und ein Paar schwarzer Socken zu entnehmen" impliziert bei mir, dass man 4 richtige haben soll - Frage schlecht gestellt

    Von Ninasophie Rose, vor mehr als 2 Jahren