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Transkript Zentrische Streckung – Anwendung

Hallo! Es gibt eine offen gestellte Aufgabe. Sie lautet: Alle Seiten eines Dreiecks werden um eine bestimmte Strecke x verlängert. Die Frage ist: Bleiben die Winkel gleich? Und dann steht da meistens noch "Erkläre dein Vorgehen", man könnte auch sagen, "Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?"   So, ich wollte gar nichts malen, sondern man kann ja zunächst mal versuchen, sich das vorzustellen. Ich habe hier ein paar Steine mitgebracht. Die verwendet man häufig zum Rechnen in der Grundschule, aber ich finde, damit kann man alles Mögliche machen. Vektorrechnung auch ganz gut zum Beispiel. Das sind jetzt zwei Dreiecke, die kongruent sind. Ich hoffe sie sind gut zu sehen. Und ich kann jetzt die Seiten dieses Dreiecks hier alle um ein bestimmtes Stück verlängern, also alle um vier Steine verlängern, und dann mal gucken, wie die Winkel aussehen. Ich lege das ziemlich genau auf die Kanten hier, damit da keine Missverständnisse auftreten, und ich würde mal sagen, wenn man sich jetzt hier die Winkel anguckt, sind die nicht gleich. Der Winkel ist eindeutig größer als 90°, der ist eindeutig kleiner als 90°. Und hier dieser Winkel ist größer geworden im Vergleich zu dem hier. Das ist jetzt kein Beweis, aber eine anschaulich ziemlich klare Sache, dass im Allgemeinen auf jeden Fall die Winkel nicht gleich bleiben, wenn man jede Seite eines Dreiecks um eine bestimmte Strecke verlängert. Man könnte sich ja überlegen: Gibt es vielleicht mehrere Möglichkeiten, das Dreieck auch irgendwie zu verschieben? Wir haben das ja öfter gemacht, dass beispielsweise die Höhe gleich bleibt, aber das ist hier nicht möglich, denn du erinnerst dich vielleicht an den Kongruenzsatz S S S, das heißt, Seite Seite Seite. Wenn also drei Seiten gegeben sind in einem Dreieck, dann ist das Dreieck komplett vollständig definiert, dann gibt es nur ein einziges Dreieck, das diese drei Seiten hat, und deshalb kann man hier nichts schieben oder irgendetwas drehen und ändern. Du kannst dir bitte selber Gedanken darüber machen, wie du beweisen kannst - vielleicht für bestimmte Dreiecke - dass diese Winkel nicht nur verschieden aussehen, sondern tatsächlich verschieden sind. Vielleicht nimmst du spezielle Verlängerungen, das kannst du machen, wie du willst. Ich glaube diese Aufgabe ist relativ anspruchsvoll, und wenn du da nicht sofort eine Idee hast, ist es nicht schlimm. Es gehört auf jeden Fall sicher nicht zu den Standardaufgaben, die du so zu lösen hast in der Schule.   Was man auch machen kann; man kann sich jetzt Folgendes überlegen. Wenn wir mal davon ausgehen, dass die Winkel nicht gleich bleiben, zumindest nicht in der Regel, wäre die Frage: gibt es denn eine Möglichkeit, dass sie doch gleich bleiben? Gibt es ein spezielles Dreieck, wo die doch gleich bleiben? Bestimmte Größenverhältnisse, was auch immer. Du kannst dir gern selber überlegen, wie man da jetzt weitermachen könnte, von mir ein Vorschlag ist Folgender. Wir kennen das mit den gleichbleibenden Winkeln. Das hat etwas mit ähnlichen Dreiecken zu tun - wenn die Winkel in Dreiecken gleich sind, dann sind es ähnliche Dreiecke. D weißt auch, ähnliche Dreiecke, Strahlensätze und zentrische Streckungen sind alles das Gleiche, alles folgt auseinander.   Das bedeutet: Wenn die Winkel gleich bleiben, wenn man also die Seiten alle um ein bestimmtes Stück verlängert, dann muss das eine Dreieck aus dem anderen durch zentrische Streckung hervorgegangen sein. Zumindest muss man die so hinlegen können, dass eine zentrische Streckung möglich ist. Wenn ein Dreieck zentrisch gestreckt wird, zum Beispiel um den Streckfaktor k, dann hat die gestreckte Seite die Länge k×a. Das bedeutet bei uns, unsere neue Seite hier ist ja sowieso a+x, und das muss also a+x=k×a sein. Außerdem muss das für die andere Seite auch gelten, zum Beispiel für die Seite b. Die Seite b hat, wenn sie zentrisch gestreckt wird, die Länge k×b, und das muss dann auch k×b=b+x sein. Hier haben wir b+x. Für c gilt das gleiche, ich lege es gleich so hin, schön plakativ. k×c muss=c×x sein. Wenn man jetzt diese Gleichungen umformt, erhält man: a×(k-1)=x. Ja, was habe ich gemacht? Also das a auf die andere Seite gebracht und dann das a ausgeklammert. B ist dann auch: b×(k-1)=x , und ebenso c×(k-1)=x. Wir können jetzt hier nach a auflösen und haben dann: a=x÷k-1. Wir können hier nach b auflösen, das ist dann b=x÷k-1. Und hier können wir auch nach c auflösen, das ist dann auch c=x÷k-1. Das bedeutet jetzt: a und b und c müssen gleich groß sein. Im gleichseitigen Dreieck bleiben die Winkel gleich, wenn man ein neues Dreieck erzeugt, indem man jede Seite um eine bestimmte Strecke verlängert. Das ist das, was hier steht, das muss man hier nur rauslesen.   Das ist eine Möglichkeit wie man sich das überlegen kann, es gibt noch viele andere, ich würde sagen, mache dir deine eigenen Gedanken dazu. Viel Spaß, tschüss!

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