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Zahlenfolgen 22:24 min

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Transkript Zahlenfolgen

Hallo und willkommen, es geht um sogenannte Zahlenfolgen. Zahlenfolgen, was ist das, wollen wir das mal definieren? Das sind Objekte, die man wie folgt schreibt, das sind einfach nur Folgen von Zahlen, das sind also die verschiedenen, üblichen Schreibweisen. Und diese Elemente, das sind alles reelle Zahlen, diese Zahlen hier unten, das sind die Indizes, also ai, das sind alles reelle Zahlen und i, das ist einfach eine natürliche Zahl, also diese untere Zahl, der Index, der also die Elemente hier durchnummeriert. Das ist also, ganz abstrakt eben, die Form einer Zahlenfolge. Wollen wir uns das mal angucken, wie sieht das aus? An einem Beispiel, ganz simpel, eine sehr langweilige Zahlenfolge, die nichts weiter macht, als immer nur 1 zu sein. Nehmen wir uns mal eine etwas interessantere, 1,2,3,4, hier wissen wir schon, wie es weitergeht, das ist also 2. Beispiel. Nehmen wir noch ein weiteres, was ein bisschen schwieriger ist. Was können wir hier sehen? Hier können wir schon das Bildungsgesetz für diese Zahlenfolge erkennen, es wird zu einer Zahl immer wieder eine 2 dazuaddiert und so kommen wir von der 3 auf die 5 und von 5 auf die 7 und von der 7 auf die 9 und so geht das immer weiter, man kennt so was vielleicht schon aus Intelligenztests, wo es darum geht, dann zu raten, oder klug zu raten, wie die Zahlenfolge dann weitergeht und das ist hier in allen 3 Fällen leicht möglich. Zahlenfolgen können einige interessante Eigenschaften haben, die wir uns gleich mal angucken. Zunächst erst mal aber 2 wichtige Klassen. 2 wichtige Klassen von Zahlenfolgen wollen wir uns mal anschauen, es sind die sogenannten arithmetischen und die geometrischen Zahlenfolgen, das ist das, was man auch in der Schule immer gleich lernt. Ich kürze jetzt mal Zahlenfolge ab mit ZF und diese beiden wichtigen Klassen schauen wir uns jetzt mal an, arithmetische und geometrische Zahlenfolgen. Also, zunächst erst mal zu den arithmetischen Zahlenfolgen, eine davon haben wir schon gesehen, einen Vertreter. Die haben das allgemeine Bildungsgesetz, das wie folgt aussieht: a0 soll irgendwie eine reelle Zahl sein, d auch und arithmetische Zahlenfolgen haben ein Bildungsgesetz von dieser Form. Was bedeutet das hier? Ja, das sieht so aus, also diese Zahlenfolge a, lassen wir den Index mal bei 0 beginnen, berechnet sich nach dieser Formel, also a0 für n=0, wäre dieser Summand hier 0 und dann bliebe nur a0, diese irgendwie festgelegte reelle Zahl. a1, das wäre a0+1×d. Was ist a2? a2 wäre a0+2×d, n wäre dann 2, a0+2×d. Ja, und so geht das immer weiter, immer die Vielfachen von d. Und das Besondere ist jetzt das Charakteristikum von arithmetischen Zahlenfolgen ist, dass die Differenz zwischen 2 Nachbarn immer konstant ist. Das schauen wir uns mal an, ist die Differenz hier konstant? Ja, die Differenz ist konstant, also der Abstand zwischen diesen beiden immer, zwischen diesem und diesem Nachbarn und dem und dem Nachfolgenden. Das können wir ausrechnen, an+1, was ist das? Da müssen wir für n n+1 setzen, n+1×d-(a0+n×d), das ist das Element an und wenn wir das ausrechnen, was passiert? a0-a0, das ist weg, das wird 0, n×d, das ist auch hier schon zu finden, mit einem Minuszeichen allerdings, fällt weg, übrig bleibt nur das d, wie wir das schon gesehen haben, hier an diesem Beispiel, in dieser Schreibweise, dass der Abstand zwischen 2 Nachbarn immer d ist, der ist konstant, das ist eine Eigenschaft von arithmetischen Zahlenfolgen. Nehmen wir uns mal ein Beispiel, wir hatten ja schon eins, das ist also diese simple Folge, die einfach nur immer größer wird. Ein weiteres Beispiel, nehmen wir noch ein weiteres Beispiel, was wäre hier, also in diesem Falle, was wäre hier das d? Das d wäre ganz einfach 1. Und jetzt nehmen wir uns mal, ja, und a0 wäre also das Erste, ist die 1. Und bei b nehmen wir mal eine neue Folge, die auch eine arithmetische Zahlenfolge ist, was haben wir hier? Die 3 zwischen beiden, dann kommt als Nächstes die 7, dann die 10, dann die 13 und dann die 16, das hatten wir schon mal. Hier wäre also a0=1 und das d wäre also die Differenz, d steht natürlich für die Differenz, die 3. Das sind also 2 Beispiele für arithmetische Zahlenfolgen. Als Nächstes schauen wir uns sogenannte geometrische Zahlenfolgen an, was sind geometrische Zahlenfolgen? Die sehen allgemein so aus, a0 und q sind irgendwelche reellen Zahlen, was hier also steht, ist, dass sich das n-te Element der Zahlenfolge so berechnet, dass man a0 mit der n-ten Potenz einer Zahl q multipliziert. Und nehmen wir uns mal ein Beispiel, dann wird das klar. Also sagen wir das q ist irgendwie 2 und a0 nehmen wir mal, was nehmen wir da? Am besten 1, dann sieht die Folge ganz einfach aus, das sind alle Potenzen von 2 und wie sieht das genau aus, alle Potenzen von 2? Da müssen wir sie einfach mal ausrechnen, was ist die 0-te Potenz, 20, das ist 1, was ist die 1. Potenz? Das ist 2, die 2-te Potenz 4, 2²=4, das wäre also a0, das ist das Element a1 und das ist a2 und was kommt als Nächstes? a3, was müssen wir da rechnen? a0, das ist 1, ×2, ×q, also q ist hier in diesem Falle 2. q3, was ist q3? Das ist 23, das ist 8 und so geht es immer weiter, alle Potenzen von 2, das ist also ein Beispiel für eine geometrische Zahlenfolge. Nehmen wir noch ein weiteres Beispiel, was nehmen wir da? Was haben wir hier, das hat welches Bildungsgesetz? Naja, ½ ist das q bei dieser Zahlenfolge und a0 ist die 1. Und dann kann man das auch so schreiben, für alle natürlichen Zahlen inklusive der 0. Beginnend bei 1 für ½0, ½1, ½2 und so weiter und das ist ein weiteres Beispiel für eine geometrische Zahlenfolge. Jetzt schauen wir uns mal 2 wichtige Eigenschaften an, nämlich die Monotonie und Beschränktheit, Zahlenfolgen können monoton und beschränkt sein. Monotonie bedeutet Folgendes: Die Zahlenfolge (an), die ich jetzt mal so schreibe, mit Klammern, das als Zahlenfolge heißt monoton fallend, falls gilt, dass das nachfolgende Element immer kleiner oder gleich dem Vorhergehenden ist, und dass für alle n gilt. Wenn das der Fall ist in der Zahlenfolge, wenn man das beobachtet, dass das Nachfolgende immer kleiner als das Vorhergehenden ist oder gleich, dann nennt man diese Folge monoton fallend. Man nennt sie monoton steigend falls, kann man sich jetzt vielleicht schon denken, falls das Nachfolgende immer größer oder gleich dem vorhergehenden Element ist und das also für alle Nachbarn gilt. So, nehmen wir uns mal ein Beispiel, gucken wir uns mal die Folge a an, die wir schon einmal gesehen haben. Was ist mit dieser Folge, ist die monoton, ist die monoton steigend, monoton fallend oder gar nichts von beidem? Doch, sie ist monoton steigend, wenn man beobachtet, dass das nachfolgende Element immer größer ist, also gilt diese Ungleichung hier, als das Vorhergehende. Was ist mit der Folge b? Wenn wir uns mal diesen Teil hier angucken, wie geht die jetzt weiter? Jetzt soll die ganz normal weitergehen. Was ist mit dieser Zahlenfolge? Ist die monoton steigend, fallend, oder was ist sie? Und die ist, wie wir sehen, für die gilt diese Ungleichung hier, also hier ist zu beobachten, dass die Elemente immer größer werden oder vielleicht auch streckenweise gleich bleiben, das ist auch erlaubt, insofern wäre diese Folge monoton steigend. Man würde sie jetzt, wenn diese konstanten Abschnitte hier nicht auftauchen würden, streng monoton steigend nennen. Also streng monoton steigend, oder streng monoton, falls also diese Ungleichung gilt, entweder die ≥ oder ≤ Relation, und dann aber für alle n jeweils, also man würde diese Folge also streng monoton fallend nennen, wenn diese strikte Ungleichung gilt, also ohne das Gleichheitszeichen und für alle n und streng monoton steigend, falls eben diese Ungleichung auch hier strikt ist, also das Gleichheitszeichen nicht da wäre, dann würde man die streng monoton steigend nennen. So, es gibt auch Folgen, die nicht monoton sind, also man nennt jetzt die Folge monoton, falls sie entweder monoton fallend oder monoton steigend ist. Wenn sie beides ist, was ist das für eine Folge? Also die sowohl monoton fallend als auch monoton steigend ist? Überlegen wir uns das mal, gibt es so was? Antwort ist: Überlegen wir uns das mal, gibt es so was?Schauen wir uns doch mal die hier an. Diese ganz simple Folge, die immer nur 1 ist. Die ist sowohl monoton fallend als auch monoton steigend und damit ist sie, sie ist konstant, wir sehen also, konstante Folgen sind sowohl monoton fallend als auch monoton steigend, denn für die gilt dann immer die Gleichheit. Also, konstante Zahlenfolgen sind monoton fallend als auch monoton steigend und damit sind sie also monoton. Das ist die Eigenschaft der Monotonie. Nehmen wir mal noch ein letztes Beispiel für eine nicht monotone Folge. Hier sehen wir schon, die kann schon nicht mehr monoton sein, sowohl diese als auch diese Bedingung sind hier schon verletzt, also hier wird offenbar das Element kleiner und jetzt wird es noch kleiner, ok, das könnte man bis hierhin noch als monoton fallende Folge betrachten, aber hier sehen wir, es wird wieder größer und dann fällt sie wieder, also sie ist weder monoton fallend noch monoton steigend, also nicht monoton. Eine weitere wichtige Eigenschaft ist die sogenannte Beschränktheit, Zahlenfolgen können beschränkt sein. Beschränkt nennt man eine Folge dann, falls, wir machen es erst mal abstrakt, zeige erst mal abstrakt, wie das Ganze definiert ist, falls es eine Zahl K gibt >0, sodass Folgendes erfüllt ist, sodass für alle n, alle Indizes, alle Elemente, betraglich kleiner als dieses K sind. Falls das der Fall ist, falls es so ein K gibt, sodass dieses hier also gilt, diese Ungleichung, dann nennt man die Folge beschränkt. Also noch mal ein Beispiel. Ist diese Folge mit immer größer werdenden Elementen, diese streng monoton steigende Folge, ist die beschränkt? Antwort ist nein. Es gibt keine Zahl K, für die gilt, dass die Zahlen hier alle betraglich kleiner sind, also diese Ungleichung gilt, dieses K gibt es nicht, also diese Folge wäre nicht beschränkt. So, gucken wir uns mal ein beschränktes Beispiel an. Diese Folge, die sich so entwickelt, die ist beschränkt. Warum ist die beschränkt? Naja, weil das K ist zum Beispiel die 1 und hier gilt, dass für alle an betraglich, oder Betrag weglassen, die sind alle positiv, dass die Elemente alle ≤1 sind, das gilt für alle n. Also diese Folge ist eine beschränkte Folge. Wie ist es denn jetzt mit der monoton fallenden Folge, ist diese Folge beschränkt? Antwort ist nein, die ist nicht beschränkt, denn betraglich werden die ja hier immer größer, hier die Elemente, die wäre also nicht beschränkt. Ja, ein Letztes noch, nehmen wir noch mal eine Beschränkte, ein letztes Beispiel, endlich mal ne Beschränkte. Diese Folge, die ist richtig beschränkt, und was ist hier wieder das K? K wieder 1. Jedes Element dieser Folge, ah, jetzt habe ich hier a geschrieben, wobei es um die Folge b ging, wir machen daraus ein b, die Elemente heißen dann natürlich dann alle bn üblicherweise. Und für das d, können wir eigentlich ein Bildungsgesetz für das d schreiben? Das können wir wohl, wir lassen das n mal bei 1 laufen, dann haben wir hiermit schon unser Bildungsgesetz, die 1, also wo der Index beginnt, das ist egal, das muss man schon festlegen und hier haben wir also diesen Wechsel. Und das ist jetzt natürlich ne beschränkte Folge, weil betraglich kommen die über die 1 nie hinaus. So, jetzt nehmen wir mal die Folge 1,½,1/3,¼. Wie ist das Bildungsgesetz? Das Bildungsgesetz ist ganz einfach 1/n, wobei n also bei 1 beginnt. Das wäre also das Bildungsgesetz für diese Zahlenfolge und man kann sich diese Zahlenfolge auch auf einem Zahlenstrahl anschauen. 1, nehmen wir eine andere Farbe, beginnt hier bei 1, dann das 2. Element ist bei ½, das Nächste bei 1/3, danach bei ¼ und so geht es dann weiter, was passiert also? Die Zahlenfolge läuft langsam gegen die 0, wird aber immer langsamer. Wir sehen, zu Anfang waren die Sprünge etwas größer, werden immer kleiner und werden dann also bis n richtig, richtig groß wird und wir sind ganz, ganz nah an der 0 dran und man sagt jetzt von dieser Folge, dass sie nach oben beschränkt ist durch die 1 und nach unten durch die 0. So, das soll es schon fast gewesen sein zu Zahlenfolgen, zusammenfassend, was können wir sagen, was haben wir gelernt? Wir haben gelernt, was Zahlenfolgen überhaupt erst mal sind, das sind solche Objekte, die also aus unendlich vielen Elementen bestehen, die jeweils reelle Zahlen sind, die können beschränkt sein oder auch nicht beschränkt, sie können monoton sein und dabei unterscheidet man zwischen steigenden und monoton fallenden, streng monoton steigend oder eben nicht streng. Und was können wir noch sagen? Oder sie sind eben überhaupt nicht monoton. Und dann haben wir 2 wichtige Klassen kennengelernt, das sind die arithmetischen Zahlenfolgen und die geometrischen. Und wie sahen die Bildungsgesetze allgemein aus? So sahen die Bildungsgesetze aus. Das Besondere bei arithmetischen Zahlenfolgen war eben, dass der Abstand zwischen 2 Nachbarn immer d ist, eine konstante Zahl und das für alle Nachbarn. Und bei den geometrischen Zahlen war das Besondere, was ist hier das Besondere? Dass der Quotient aus 2 Nachbarn immer konstant ist, nicht die Differenz, sondern der Quotient. Eben ausrechnen, dann sehen wir das. Übrig bleibt das q. qn kürzt sich weg, a0 kürzt sich auch weg, bleibt übrig q. Hier ist es so, dass die Differenz bei arithmetischen Zahlenfolgen immer konstant ist und hier ist es der Quotient, der zwischen 2 Nachbarn immer konstant ist, für alle Nachbarn. Ja, das war es auch schon, bedanke mich fürs Zuhören.

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12 Kommentare
  1. Default

    Eine natuerliche Zahl, "i Element N" steht da, und im Transskript steht "...und i, das ist einfach eine natürliche Zahl, also diese untere Zahl, der Index, der also die Elemente hier durchnummeriert. "

    Von Lutz Klaczynski, vor 11 Monaten
  2. Default

    Was ist diese i?

    Von Ed163com, vor 11 Monaten
  3. Default

    Vielen vielen Dank

    Von Cardenas 100, vor etwa 2 Jahren
  4. Default

    Danke, Giuliano. Stimme zu. Entscheidend ist: 'betraglich nicht
    grösser als'.

    Von Lutz Klaczynski, vor etwa 2 Jahren
  5. Giuliano test

    @Cardenas 100:
    K ist nicht der Abstand zwischen den Folgengliedern, sondern eine obere Grenze, die keines der Folgenglieder im Betrag überschreiten soll. Bei der Folge dn sind die Folgenglieder immer -1 und +1 im Wechsel. Wenn du die Beträge jedes Folgengliedes betrachtest, ist das immer +1. Wenn du also K=1 wählst, erhältst du die Bedingung bei der Beschränkheit: |dn| kleiner gleich K=1 [insbesondere sogar |dn|=1]. Deshalb ist die Folge dn beschränkt.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 2 Jahren
  1. Default

    18:19, wäre K nicht 2? Weil den Abstand zwischen 1 und -1 2 ist.

    Von Cardenas 100, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    Es gibt zwei Schranken: eine obere (in diesem Fall die 1) und eine untere Schranke (die Null), was im Video nicht thematisch wird. Es geht dabei nur um die Frage der Beschränktheit, also ob die Bedingung erfüllt ist: Gibt es so ein K oder nicht? Die Zahl K aus der Bedingung ist, fall die Bedingung erfüllt ist, immer eine obere Schranke, und -K ist dann in jedem Fall eine untere Schranke. Es gibt in diesem Beispiel aber eine noch grössere untere Schranke, die Null. Für die erste Beispielfolge gibt es keine Zahl K, so dass die Bedingung erfüllt wäre. Insofern verstehe ich Deinen letzten Satz nicht.

    Von Lutz Klaczynski, vor etwa 3 Jahren
  3. Ich 2012 quadr 80kb

    Super zusammengefasst und mir noch mal die Monotonie in Erinnerung gerufen, danke!

    Kleine Anmerkung bei: 16:25 sagst du, dass die Folge mit k=1 beschränkt ist. Klar ist die Folge beschränkt, aber die Schranke ist nicht der Startwert, sondern Null, weil die Folge gegen Null läuft, aber niemals erreicht. Ansonsten wäre laut dieser Definition ja auch die Folge obendrüber beschränkt^^

    Von Werbung, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Sie ist beides: monoton steigend und fallend, siehe Definition.
    Das ist hier keine Umgangssprache, sondern Mathematik. Es gibt noch
    die Präzision: streng monoton fallend/steigend, man hat dann das strikte kleiner/grösser als. Eine Folge, die monoton fallend und
    monoton steigend ist, kann nur konstant sein.

    Tut mir Leid, ein Video auf die schnelle kann ich nicht zur Rekursion machen. Aber das kriegst Du schon hin, ist nicht schwer.

    Von Lutz Klaczynski, vor etwa 4 Jahren
  5. Default

    Wenn die Zahlenfolge bei Monotonie z.B. a=(2,2,2,2,2...) ist, ist sie dann fallend oder steigend oder was ist sie sonst?

    Von Isi95, vor etwa 4 Jahren
  6. Default

    super :)

    Von Minol, vor mehr als 4 Jahren
  7. Default

    gut

    Von Kai123, vor etwa 7 Jahren
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