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Transkript Wurzeln und irrationale Zahlen (6)

Hallo! Jetzt kommt der Sinn des Ganzen, was hier steht, und zwar: Gehen wir noch mal durch, was wir hier gemacht haben. Wir haben angenommen \sqrt2 sei eine rationale Zahl, sei also ein Bruch. Dann gibt es ein p und ein q, das sind natürliche Zahlen, sodass man schreiben kann \sqrt2=p/q oder p q-tel, ist ja auch egal. Dann haben wir das quadriert, wir haben eine Umformung gemacht und wir haben gesagt, okay, hier steht eine grade Zahl auf der Linksseite, dann wissen wir auch, dass nicht nur dieses Quadrat, sondern p selbst auch gerade ist. Das heißt, wir können also dieses p zum Beispiel durch 2b ersetzen, durch eine natürliche Zahl, die mit 2 multipliziert wird. Dann haben wir das hier eingesetzt und umgeformt und sind darauf gekommen, dass also nicht nur hier p eine gerade Zahl sein muss, sondern auch q eine gerade Zahl sein muss, denn q2 ist gerade, also ist q auch gerade. Dann haben wir das wieder ersetzt mit einer natürlichen Zahl, die mit 2 multipliziert q ergibt, das ist ja bei geraden Zahlen so, und haben wieder Umformungen gemacht und sind darauf gekommen, dass nun wieder b eine gerade Zahl sein muss, weil das Quadrat von b eine gerade Zahl ist. Und das könnten wir jetzt immer weiter machen. Wir könnten jetzt sagen, dass b eine gerade Zahl ist, dann ersetzen wir das wieder durch 2× eine andere Zahl. Dann kriegen wir die Situation hier wieder mit diesen beiden Zweien. Wir können eine 2 quasi aus der Gleichung rauskürzen, würden dann feststellen, dass m eine gerade Zahl ist. Das können wir wieder ersetzen und so weiter, und so weiter. Das bedeutet: Wenn \sqrt2 ein Bruch wäre, dann enthielten p und q, dann enthielten also der Zähler und der Nenner unendlich viele Zweien. Das kann aber nicht sein. Es gibt keinen Bruch, bei dem der Zähler unendlich viele Zweien enthält und deshalb, da das also nicht funktioniert, müsste man sagen, kann \sqrt2 kein Bruch sein. Das sage ich deshalb so langsam, weil man sich das mal wirklich überlegen muss. Also wir haben uns gedacht: was wäre, wenn \sqrt2 ein Bruch wäre? Da haben wir gesehen: Da funktioniert was nicht, beziehungsweise wir haben gesehen: Wir können immer wieder 2 davon abspalten quasi, diesen Bruch also durch 2 kürzen. Das könnten wir unendlich oft weitermachen, wenn es ein Bruch wäre. Und damit können wir davon ausgehen, dass \sqrt2 kein Bruch ist. Dazu muss ich noch sagen, ir müssen noch zusätzlich davon ausgehen, dass entweder \sqrt2 ein Bruch ist oder kein Bruch ist. Da wird sich mal jemand denken: wieso? Warum sagt der das? Ja. Das hat den Grund, wir müssten quasi die 3. Möglichkeit ausschließen. Es gibt ja, hier in dem Fall nicht gut vorstellbar, aber normalerweise im Leben ist es ja so, dass man nicht nur das Eine oder das Andere hat beziehungsweise das Eine oder das Gegenteil. Es kann ja auch etwas Drittes der Fall sein. Aber wir gehen hier davon aus, dass entweder \sqrt2 ein Bruch ist oder kein Bruch ist und das etwas völlig anderes gar nicht infrage kommt. Wenn wir also davon ausgehen und wissen: Es kann kein Bruch sein, \sqrt2 kann kein Bruch sein, weil wir ihn unendlich oft kürzen könnten, wenn es einer wäre, das geht ja nicht, das ist ja ein Widerspruch, also ist es kein Bruch. Damit wissen wir aber auch, dass \sqrt2 kein periodischer, also ein unendlicher periodischer, Dezimalbruch sein kann. Es kann keine Dezimalzahl sein, überhaupt gar keine, weder eine endliche, also, es kann keine endliche und keine unendliche periodische Dezimalzahl sein, denn wir haben ja gesehen, dass man alle Brüche in endliche beziehungsweise in unendliche Dezimalzahlen übersetzen kann. Umgekehrt geht das außerdem auch, und deshalb haben wir nun also einen großen Schritt gemacht in der Entwicklung unserer Mathematik, wir wissen nämlich, wie irrationale Zahlen aussehen, denn wir haben alles andere ausgeschlossen. Irrationale Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Das wissen wir deshalb, weil wir gesehen haben: Eine irrationale Zahl wie zum Beispiel \sqrt2 kann kein Bruch sein, es kann keine endliche Dezimalzahl sein, sowieso schon nicht, es kann keine periodische Dezimalzahl sein, also unendliche periodische Dezimalzahl. Dann bleiben nur noch die unendlichen nicht periodischen Dezimalzahlen übrig. \sqrt2 ist eine solche Zahl, ebenso \sqrt3. Viele andere Wurzeln auch, ich zähle sie jetzt nicht alle auf, sind auch irrationale Zahlen und damit haben wir also geklärt, dass es die wirklich gibt und geben muss, und wie man sonst noch damit rechnet und wie man damit klarkommt, kommt in den nächsten Filmen. Bis dahin, viel Spaß, tschüss!

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