Wurzeln aus Brüchen 1

Hallo,
wir machen Wurzeln von Brüchen.
Die Wurzel eines Bruches, auch die kann man bestimmen. Und noch einmal zur Erinnerung: Es gibt kein Verfahren, mit dessen Hilfe man die Wurzel jeder beliebigen Zahl bestimmen kann. Das bedeutet, wir können auch von Brüchen nicht einfach die Wurzeln bestimmen. Wir können uns aber ein paar Brüche suchen, deren Wurzeln wir bestimmen können, um ein gutes Gefühl dafür zu kriegen, wo die Wurzeln von Brüchen so sind.
Und dazu können wir uns Folgendes überlegen. Wir wissen ja, dass das Wurzelziehen etwas mit Quadrierung zu tun hat. Das ist ja quasi die Umkehrung davon, also so ähnlich, nicht ganz. Wir könnten uns überlegen, wie kann man denn Brüche quadrieren. Das bedeutet, wir haben einen Bruch. Zum Beispiel (a/b)^2. Dann rechnen wir a/b×a/b und weil wir immer Zähler×Zähler und Nenner×Nenner rechnen, haben wir dann a^2/b^2. Das bedeutet also, wenn wir jetzt einen Bruch haben, dessen Zähler und dessen Nenner eine Quadratzahl ist, dann können wir sehr einfach die Wurzel bestimmen, denn wir müssen ja nur aus Zähler und Nenner die Wurzel bestimmen. Die sehen wir dann schon, vielleicht, hoffentlich. Und wie das geht, dazu möchte ich mal ein Beispiel zeigen:
Zum Beispiel haben wir hier ¼. ¼, da sind im Zähler und Nenner zwei Quadratzahlen. Die 1 ist auch immer eine Quadratzahl. Ich glaube, ich hab schon irgendwann darauf hingewiesen, mache ich gerne noch einmal. 4 ist auch ein Quadrat einer natürlicher Zahlen. Meistens benutzt man das Synonym. Quadratzahl und Quadrat natürlicher Zahlen, das ist nicht ganz korrekt. Deshalb werde ich versuchen, mich an das Wort Quadrat einer natürlichen Zahl zu halten, an diesen Begriff. Also wir haben Zähler und Nenner, das sind Quadrate natürlicher Zahlen. Wir können dann die Wurzel eines solchen Bruches recht einfach bestimmen, indem wir nämlich aus dem Zähler und dem Nenner die Wurzel ziehen. Ich schreibe hier nicht mehr 1^2 hin. Das sollte man einfach wissen, dass die 1 eine Quadratzahl ist. Das bedeutet also, die \sqrt¼=½, ½, weil ½×½=¼.
Das kann man sich auch hier an diesem Zahlenstrahl vorstellen, wo das ist. Ich nehme hier einfach mal die \sqrt¼, das ist ½. Das wollte ich eigentlich anders geschrieben haben. Macht nichts, kann ich jetzt noch einmal schreiben. Hier ist ¼, ¼ ist hier bei 0,25. Der Zahlenstrahl ist jetzt so groß, dass die 1 noch nicht einmal ganz auf den Tisch passt. 0,1, 0,2 und ¼ is 0,25. Jetzt kann man sich anschauen, wo die Wurzel von ¼ ist. Die ist ja hier. Die \sqrt¼=½. Pack ich auch noch mal so dazu, ich hoffe, es ist gut erkennbar. Und warum mach ich das so aufwendig? Nur um sehr deutlich darauf hinzuweisen, dass die Wurzel einer Zahl, die kleiner als 1 ist - ¼ ist kleiner als 1 -, größer als diese Zahl ist. Bisher hatten wir das bei natürlichen Zahlen, dass die Wurzeln kleiner sind als diese Zahlen. Wenn wir Zahlen haben, die zwischen 0 und 1 liegen, dann wissen wir, die Wurzel ist größer, als die Zahl, aus der sie gezogen wird. Hier ist der Beweis. 
Und um das noch ein kleines bisschen plakativer zu machen, möchte ich diesen Bruch hier mit 2 erweitern. Passt gerade noch so hin. Und damit haben wir \sqrt¼=2/4. Nämlich einfach das doppelte von ¼.
Ich hoffe, es ist alles sehr anschaulich klar geworden. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.